১. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

$A=\left[\begin{matrix}x y & y z & z x \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x & y & z\end{matrix}\right]$

বামপক্ষ $=\left|\begin{matrix}y z & z x & x y \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \\ P & Q & R\end{matrix}\right|$

$=\left|\begin{matrix}\frac{x y z}{x} & \frac{x y z}{y} & \frac{x y z}{z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \\ p & Q & R\end{matrix}\right|$

$=x y z\left|\begin{matrix}\frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \\ \frac{1}{x} & \frac{1}{y} & \frac{1}{z} \\ P & Q & R\end{matrix}\right|$

$=x y z \times 0 $

$[\because$ প্রথম দুইটি সারি একই]

= 0 = ডানপক্ষ

$\therefore\left|\begin{matrix}\mathrm{yz} & \mathrm{zx} & \mathrm{xy} \\ \frac{1}{\mathrm{x}} & \frac{1}{\mathrm{y}} & \frac{1}{\mathrm{z}} \\ \mathrm{P} & \mathrm{Q} & \mathrm{R}\end{matrix}\right|=0$. (দেখানো হলো)

এখানে $xyz\ne0$, যাতে মূল নির্ণায়কের ভগ্নাংশগুলি সংজ্ঞায়িত

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{matrix}x y & y z & z x \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x & y & z\end{matrix}\right]$

$\therefore |A| =\left|\begin{matrix}x y & y z & z x \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x & y & z\end{matrix}\right|$

$=x y z\left|\begin{matrix}y & z & x \\ x & y & z \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}\right| $

$=x y z\left|\begin{matrix}y-x & z-x & x \\ x-z & y-z & z \\ 1-1 & 1-1 & 1\end{matrix}\right|$

$\left[\begin{matrix}\because c_1^{\prime}=c_1-c_3 \\ c_2^{\prime}=c_2-c_3\end{matrix}\right] $

$=x y z\left|\begin{matrix}y-x & z-x & x \\ x-z & y-z & z \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right|$

$=x y z\left|\begin{matrix}y-x & z-x \\ x-z & y-z\end{matrix}\right|$

$=x y z\{(y-x)(y-z)-(x-z)(z-x)\} $

$=x y z\left(y^2-y z-x y+z x-z x+x^2+z^2-z x\right) $

$=x y z\left(x^2+y^2+z^2-x y-y z-z x\right) $

$=x y z \times \frac{1}{2}\left(2 x^2+2 y^2+2 z^2-2 x y-2 y z-2 z x\right) $

$=\frac{1}{2} x y z\left(x^2-2 x y+y^2+y^2-2 y z+z^2+z^2-2 z x+x^2\right) $

$=\frac{1}{2} x y z\left\{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2\right\} $

$|A|=0 $ এবং $ x y z \neq 0 $ হলে, $(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=0$

কতগুলো বর্গরাশির যোগফল শূন্য হলে, তাদের প্রত্যেকটি রাশির মান আলাদা আলাদাভাবে শূন্য হয়.

$\therefore(x-y)^2=0 $

বা, $x-y=0 $

বা, $ x=y$

এবং $(\mathrm{y}-\mathrm{z})^2=0$

বা, $y-z=0$

বা, $y=z$

এবং $(z-x)^2=0$

বা, $\mathrm{z}-\mathrm{x}=0$

বা, $z=x$

$\therefore x=y=z$. (দেখানো হলো)

বর্গের যোগফল যুক্তিতে $x,y,z$ বাস্তব সংখ্যা ধরা হয়েছে

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{matrix}x y & y z & z x \\ x^2 & y^2 & z^2 \\ x & y & z\end{matrix}\right]$

$\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{z}=1$ হলে, $A=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}\right]$

$\therefore A+2 I_3 $

$=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}\right]+2\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] $

$=\left[\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{matrix}\right]=B$ (ধরি)

$\therefore |B| =\left|\begin{matrix}3 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 3\end{matrix}\right| $

$=3(9-1)-1(3-1)+1(1-3)$

$=24-2-2=20 \neq 0$

$\therefore \mathbf{B}^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য.

Adj $B=\left[\begin{matrix}B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33}\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}$

B এর সহগসমূহ,

$B_{11}=\left|\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=9-1=8 . $

$B_{12}=-\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{13}=\left|\begin{matrix}1 & 3 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=1-3=-2$

$B_{21}=-\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{22}=\left|\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=9-1=8$

$B_{23}=-\left|\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=-(3-1)=-2$

$B_{31}=\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 3 & 1\end{matrix}\right|=1-3=-2$

$\mathrm{B}_{32}=-\left|\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=-(3-1)=-2 $

$ \mathrm{~B}_{33}=\left|\begin{matrix}3 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=9-1=8$

$Adj \mathrm{B}=\left[\begin{matrix}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}$

$=\left[\begin{matrix}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{matrix}\right] $

$ \therefore\left(\mathrm{A}+2 \mathrm{I}_3\right)^{-1}=\mathrm{B}^{-1}$

$=\frac{1}{|B|} \operatorname{Adj} B=\frac{1}{20}\left[\begin{matrix}8 & -2 & -2 \\ -2 & 8 & -2 \\ -2 & -2 & 8\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}\frac{8}{20} & \frac{-2}{20} & \frac{-2}{20} \\ \frac{-2}{20} & \frac{8}{20} & \frac{-2}{20} \\ \frac{-2}{20} & \frac{-2}{20} & \frac{8}{20}\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{matrix}\right]$

নির্ণেয় $\left(A+2 I_3\right)^{-1}=\left[\begin{matrix}\frac{2}{5} & -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & \frac{2}{5} & -\frac{1}{10} \\ -\frac{1}{10} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{matrix}\right]$.

২. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

চতুর্ভুজ $ABCD$-তে $AD$ হলো $X$-অক্ষের সমান্তরাল; $D(8,2)$ ও $C(6,-4)$. $A,B$ একই সরলরেখায়, $B$ ঋণাত্মক $Y$-অক্ষে; $O$ মূলবিন্দু

দূরত্ব দুটি $|x|,|y|$. তাই সঞ্চারপথের নির্ভুল সমীকরণ $x^2=4p|y|$. $p>0$ হলে এটি ঊর্ধ্ব ও নিম্নমুখী দুটি পরাবৃত্তের সম্মিলন, অর্থাৎ যথাক্রমে $y\ge0$-এ $x^2=4py$ এবং $y\le0$-এ $x^2=-4py$. $p=0$ হলে $x=0$; $p<0$ হলে শুধু $(0,0)$

$C(6,-4),D(8,2)$-এর রেখা $3x-y-22=0$. মূলবিন্দু থেকে লম্বের রেখা $x+3y=0$. যুগপৎ সমাধানে পাদবিন্দু $(33/5,-11/5)$

দেওয়া আছে, AB রেখার সমীকরণ,

$2 x+y+2=0$ ............ (i)

বা, $2 x+y=-2$

বা, $\frac{x}{-1}+\frac{y}{-2}=1$

$\therefore A B$ রেখা $y$-অক্ষকে $B(0,-2)$ বিন্দুতে ছেদ করে.

$\mathrm{B}(0,-2), \mathrm{D}(8,2)$

$AD || XOX'$ বলে, A বিন্দুর কোটি $= D$ বিন্দুর কোটি $=2$

$A(-2,2),B(0,-2),C(6,-4),D(8,2)$ এবং $AC,BD$-এর ছেদবিন্দু $P$. $AP:PC=m:n$

ধরি, A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(a, 2)$

আবার, (i) নং রেখাটি $A(a, 2)$ বিন্দুগামী

$\therefore 2 a+2+2=0 $

বা, $ 2 a=-4 $

$ \therefore a=-2 $

$\therefore $ A বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-2,2)$

$\therefore \mathrm{A}(-2,2), \mathrm{C}(6,-4)$

ধরি, AC রেখাংশকে BD রেখা P বিন্দুতে $m : n$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে.

$\therefore P $ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=\left(\frac{6 m-2 n}{m+n}, \frac{-4 m+2 n}{m+n}\right)$

এখন, B, P ও D একই সরলরেখায় অবস্থিত বলে,

PB এর ঢাল $=\mathrm{BD}$ এর ঢাল

বা, $\frac{\frac{-4 m+2 n}{m+n}+2}{\frac{6 m-2 n}{m+n}-0}=\frac{2+2}{8-0}$

বা, $\frac{-4 m+2 n+2 m+2 n}{6 m-2 n}=\frac{1}{2}$

বা, $\frac{-2 m+4 n}{6 m-2 n}=\frac{1}{2}$

বা, $6 m-2 n=-4 m+8 n$

বা, $10 \mathrm{~m}=10 \mathrm{n}$

বা, $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{n}}=\frac{1}{1}$

$\therefore \mathrm{m}: \mathrm{n}=1: 1$

$\therefore A C$ রেখাংশকে BD সরলরেখা $1: 1$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে.

৩. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

স্থানাঙ্ক সমতলে $AB$ রেখার সমীকরণ $3x-4y-12=0$; এটি ধনাত্মক $X$-অক্ষকে $A$ এবং ঋণাত্মক $Y$-অক্ষকে $B$-তে ছেদ করে

দেওয়া আছে, $\mathrm{x}=\mathrm{t}$

$ y=3 t+1$

বা, $y=3 x+1$ ........... (1)

ধরি, (1)নং রেখার সমান্তরাল সরলরেখার সমীকরণ,

$y-3 x+k=0$

(2)নং রেখাটি $(1,3)$ বিন্দুগামী, সুতরাং $3-3+\mathrm{k}=0$

$\therefore \mathrm{k}=0$

$k$ এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $y-3 x=0$

$\therefore$ নির্ণেয় সরলরেখার সমীকরণ : $\mathrm{y}-3 \mathrm{x}=0$.

$AB:3x-4y-12=0$-এর ঢাল $3/4$, $A=(4,0)$. $A$-গামী রেখা $y=m(x-4)$. $45^\circ$ শর্তে $|(m-3/4)/(1+3m/4)|=1$, ফলে $m=7$ অথবা $-1/7$. রেখাদ্বয় $7x-y-28=0$ এবং $x+7y-4=0$

অক্ষদ্বয়কে স্পর্শকারী বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r>0$ হলে কেন্দ্র $(\pm r,\pm r)$. $3x-4y-12=0$-থেকে দূরত্ব $r$ বসিয়ে পাওয়া যায়: $(r,r)$-এ $r=3$; $(-r,-r)$-এ $r=2$; $(r,-r)$-এ $r=1$ বা $6$; $(-r,r)$-এ $7r+12=5r$ অসম্ভব. তাই সম্ভাব্য কেন্দ্র $(3,3),(-2,-2),(1,-1),(6,-6)$. একটি চাইলে ত্রিভুজের অন্তর্বৃত্তের কেন্দ্র $(1,-1)$ নেওয়া যায়

৪. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

$Y$-অক্ষের বাঁয়ে অবস্থিত একটি বৃত্ত $Y$-অক্ষ এবং দুই অনুভূমিক রেখা $y=8$ ও $y=-2$-কে স্পর্শ করে. $A=(0,8)$, $O=(0,0)$

দেওয়া আছে,

$r=8 \cos \theta-6 \sin \theta$

বা, $r^2=8 r \cos \theta-6 r \sin \theta$

বা, $x^2+y^2=8 x-6 y$

$\left[x=r \cos \theta, y=r \sin \theta\right.$ এবং $\left.x^2+y^2=r^2\right]$

বা, $x^2+y^2-2.4 . x+2.3 . y+0=0$ '

$\therefore $ বৃত্তটির ব্যাসার্ধ,$ \mathrm{r} =\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-\mathrm{c}} $

$=\sqrt{(-4)^2+3^2-0} $

$=\sqrt{16+9-0}=5$ একক

নির্ণেয় ব্যাসার্ধ 5 একক.

$y=8$ ও $y=-2$ সমান্তরাল স্পর্শকের ব্যবধান $10$, তাই ব্যাসার্ধ $5$ ও কেন্দ্রের কোটি $3$. চিত্রে বৃত্তটি $Y$-অক্ষের বাঁয়ে এবং তাকে স্পর্শ করে, তাই কেন্দ্রের ভুজ $-5$. সমীকরণ $(x+5)^2+(y-3)^2=25$, অর্থাৎ $x^2+y^2+10x-6y+9=0$

$OA$-এর প্রান্তবিন্দু $O(0,0),A(0,8)$; ব্যাসবৃত্তের কেন্দ্র $(0,4)$ ও ব্যাসার্ধ $4$. $6x+8y+15=0$-এর লম্ব স্পর্শক $8x-6y+k=0$. স্পর্শশর্ত $|k-24|/10=4$ থেকে $k=64,-16$. তাই $8x-6y+64=0$, $8x-6y-16=0$

৫. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

দৃশ্যকল্প-১ : $4 \cos ^3 \mathrm{~A}-\cos \theta=3 \cos \mathrm{~A}$

দৃশ্যকল্প-২ : $\cot \mathrm{A}+\cot \mathrm{B}+\cot \mathrm{C}$ $=\cot \mathrm{A} \cot \mathrm{B} \cot \mathrm{C}$.

$\sin^2u-\sin^2v=\sin(u+v)\sin(u-v)$-এ $u=\pi/4+\theta/2$, $v=\pi/4-\theta/2$ বসিয়ে বামপক্ষ $=\sin(\pi/2)\sin\theta=\sin\theta$

প্রদত্ত সমীকরণ থেকে $\cos3A=1/2$; শুধু $A=20^\circ$ সিদ্ধান্ত যথেষ্ট নয়. সকল সমাধান যাচাই করতে $t=\tan A$ ধরি. $\cos^23A=1/4$ থেকে $4(1-3t^2)^2=(1+t^2)^3$, অর্থাৎ $3-27t^2+33t^4-t^6=0$. আবার গুণফল $\tan A\tan2A\tan3A\tan4A=\frac{8t^4(3-t^2)}{(1-3t^2)(1-6t^2+t^4)}=3$, কারণ তিনগুণ হর থেকে লব বিয়োগ করলে উক্ত শূন্য বহুপদী পাওয়া যায়. $\cos3A=1/2$-এর সমাধানে সংশ্লিষ্ট tangent-গুলি সংজ্ঞায়িত

cot-এর শর্তকে $\sin A\sin B\sin C$ দিয়ে গুণ করলে $\cos(A+B+C)=0$ পাওয়া যায়. তাই $A+B+C=\pi/2+k\pi$; উৎসে $k=0$ নিঃশর্ত ধরা হয়েছে. মূল দাবিটি সাধারণভাবে সত্য নয়: $A=B=\pi/3,C=5\pi/6$-এ cot-শর্ত সত্য, অথচ বামপক্ষ $3/4$, ডানপক্ষ $5/4$. যদি $\cos(A+B)=\sin C$ নিশ্চিত হয়, যেমন $A+B+C=\pi/2$ হলে, পরিচিতি $\cos^2A+\cos^2B=1+\cos(A+B)\cos(A-B)$ ও $\cos(A-B)+\cos(A+B)=2\cos A\cos B$ দিয়ে দাবিটি প্রমাণিত হয়

৬. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

ত্রিভুজ $PQR$

আমরা জানি, $\tan 45^{\circ}=1$

বা, $\tan \left(22^{\circ}+23^{\circ}\right)=1$

বা, $\frac{\tan 22^{\circ}+\tan 23^{\circ}}{1-\tan 22^{\circ} \tan 23^{\circ}}=1$

$\left[\because \tan (\mathrm{~A}+\mathrm{B})=\frac{\tan \mathrm{A}+\tan \mathrm{B}}{1-\tan \mathrm{A} \cdot \tan \mathrm{B}}\right]$

বা, $\tan 22^{\circ}+\tan 23^{\circ}$

$=1-\tan 22^{\circ} \tan 23^{\circ}$

$\therefore \tan 22^{\circ}+\tan 23^{\circ}$

$=1-\tan 22^{\circ} \tan 23^{\circ}$. (দেখানো হলো)

ত্রিভূজে $P+Q+R=\pi$. প্রদত্ত সমতা থেকে $\sin P-\sin Q=\cos Q-\cos P,$ অর্থাৎ $2\sin\frac{P-Q}{2}\left(\cos\frac{P+Q}{2}-\sin\frac{P+Q}{2}\right)=0.$ প্রথম গুণক শূন্য হলে, $-\pi

$PQ=10,QR=6,RP=8$ হওয়ায় $6^2+8^2=10^2$; ত্রিভুজ সমকোণী. ক্ষেত্রফল $\Delta=6\cdot8/2=24$, অর্ধপরিসীমা $s=12$. অন্তর্বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_1=\Delta/s=2$ এবং পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $r_2=PQ/2=5$. তাই $r_1:r_2=2:5$. প্রশ্নে বহিঃবৃত্ত বলতে উৎসের ব্যবহৃত $abc/(4\Delta)$ সূত্র অনুসারে পরিবৃত্ত বোঝানো হয়েছে; কোনো বহিঃস্পর্শী বৃত্ত নয়

৭. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

দৃশ্যকল্প-১ : $\mathrm{m} \cot ^{-1} \mathrm{x}=\cot ^{-1} \mathrm{y}$

দৃশ্যকল্প-২ : $f(\mathrm{x})=\mathrm{x}-\mathrm{x}^2-\mathrm{x}^3$.

দেওয়া আছে, $f(\mathbf{x})=\mathbf{x}^2$

$\therefore f(x+h)=(x+h)^2 $

এখন, $ \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h} $

$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{(x+h)^2-x^2}{h}$

$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{x^2+2 h x+h^2-x^2}{h} $

$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{2 h x+h^2}{h} $

$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{h(2 x+h)}{h} $

$=\lim _{h \rightarrow 0} 2 x+h=2 x+0=2 x$

নির্ণেয় মান: $2x$

$\cot^{-1}y=m\cot^{-1}x$-কে সরাসরি অন্তরীকরণে $-y_1/(1+y^2)=-m/(1+x^2)$, তাই $(1+x^2)y_1=m(1+y^2)$. পুনরায় অন্তরীকরণে $(1+x^2)y_2+2xy_1=2myy_1$, অর্থাৎ $(1+x^2)y_2-2(my-x)y_1=0$

$f^{\prime}=1-2x-3x^2=-(x+1)(3x-1)$, $f^{\prime\prime}=-2-6x$. তাই $x=1/3$-এ স্থানীয় সর্বোচ্চ $f(1/3)=5/27$; $x=-1$-এ স্থানীয় সর্বনিম্ন $f(-1)=-1$. সমগ্র বাস্তব ডোমেইনে ঘন ফাংশনের পরম চরম মান নেই

৮. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও।

$f(x)=x+1, g(x)=e^x .$

ধরি, $\cos x=z$

বা, $-\sin x d x=d z$

$\int \tan x d x =\int \frac{\sin x}{\cos x} d x $

$=\int-\frac{d z}{z} $

$=-\ln |z|+c $

$=\ln \left|z^{-1}\right|+c $

$=\ln \left|\frac{1}{z}\right|+c$

$=\ln \left|\frac{1}{\cos x}\right|+c=\ln |\sec x|+c$

$\therefore \int \tan x d x=\ln |\sec x|+c$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $f(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1$ এবং $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$

এখন, $\int \frac{f(x-1) g(x)}{\{f(x)\}^2} d x$

$=\int \frac{x e^x}{(x+1)^2} d x $

$=\int e^x\left[\frac{x+1-1}{(x+1)^2}\right] d x $

$=\int e^x\left[\frac{x+1}{(x+1)^2}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] d x $

$=\int e^x\left[\frac{1}{x+1}-\frac{1}{(x+1)^2}\right] d x $

$=\int e^x\left[\frac{1}{x+1}+\frac{d}{d x}\left(\frac{1}{x+1}\right)\right] d x $

$=\frac{e^x}{x+1}+c$

$\left[\because \int e^x\left(f(x)+f^{\prime}(x)\right) d x=e^x f(x)+c\right] $

$\therefore \int \frac{f(x-1) g(x)}{\{f(x)\}^2} d x=\frac{e^x}{x+1}+c$

নির্ণেয় যোগজফল : $\frac{e^x}{x+1}+c$

$f(x-1)=x$, তাই সমাকলন $\int_{-2}^2x^2\sqrt{16-x^2}\,dx$. $x=4\sin\theta$ নিলে সীমা $\pm\pi/6$ এবং $\cos\theta>0$. সমাকলন $256\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sin^2\theta\cos^2\theta\,d\theta=32[\theta-\sin4\theta/4]_{-\pi/6}^{\pi/6}=32\pi/3-8\sqrt3$