ধরি, $A=\left[\begin{matrix}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{matrix}\right]$

$A$ ম্যাট্রিক্সটি সমঘাতী হলে $A^2=A$ হবে.

এখন, $\mathrm{A}^2=\mathrm{A} . \mathrm{A}$

$=\left[\begin{matrix}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{matrix}\right] $

$ =\left[\begin{matrix}4+3-5 & -6-12+15 & -10-15+20 \\ -2-4+5 & 3+16-15 & 5+20-20 \\ 2+3-4 & -3-12+12 & -5-15+16\end{matrix}\right] $

$=\left[\begin{matrix}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{matrix}\right]=A$

যেহেতু $A^2=A$

সুতরাং, $A=\left[\begin{matrix}2 & -3 & -5 \\ -1 & 4 & 5 \\ 1 & -3 & -4\end{matrix}\right]$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{matrix}2 \\ -1 \\ 1\end{matrix}\right]$ এবং $B=\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

$ \therefore \mathrm{AB}=\left[\begin{matrix}2 \\-1 \\1\end{matrix}\right] \cdot\left[\begin{matrix}-2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}2 \times(-2) & 2 \times 3 & 2 \times 1 \\ -1 \times(-2) & -1 \times 3 & -1 \times 1 \\ 1 \times(-2) & 1 \times 3 & 1 \times 1\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}-4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1\end{matrix}\right]$

আবার, $(A B)^2=A B \cdot A B$

$=\left[\begin{matrix}-4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}-4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1\end{matrix}\right] $

$=\left[\begin{matrix}16+12-4 & -24-18+6 & -8-6+2 \\ -8-6+2 & 12+9-3 & 4+3-1 \\ 8+6-2 & -12-9+3 & -4-3+1\end{matrix}\right] $

$=\left[\begin{matrix}24 & -36 & -12 \\ -12 & 18 & 6 \\ 12 & -18 & -6\end{matrix}\right]$

প্রদত্ত রাশি $=(A B)^2+A B-3 I_3$

$=\left[\begin{matrix}24 & -36 & -12 \\ -12 & 18 & 6 \\ 12 & -18 & -6\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}-4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1\end{matrix}\right]-3\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right] $

$=\left[\begin{matrix}24 & -36 & -12 \\ -12 & 18 & 6 \\ 12 & -18 & -6\end{matrix}\right]+\left[\begin{matrix}-4 & 6 & 2 \\ 2 & -3 & -1 \\ -2 & 3 & 1\end{matrix}\right]-\left[\begin{matrix}3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}24-4-3 & -36+6-0 & -12+2-0 \\ -12+2-0 & 18-3-3 & 6-1-0 \\ 12-2-0 & -18+3-0 & -6+1-3\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}17 & -30 & -10 \\ -10 & 12 & 5 \\ 10 & -15 & -8\end{matrix}\right] $

$ \therefore (\mathrm{AB})^2+\mathrm{AB}-3 \mathrm{I}_3=\left[\begin{matrix}17 & -30 & -10 \\ -10 & 12 & 5 \\ 10 & -15 & -8\end{matrix}\right]$

দেওয়া আছে,

$C=\left[\begin{matrix}-3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2\end{matrix}\right], $

$D=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right]$ এবং $X=\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right]$

এখন, $CX = D$

বা, $\left[\begin{matrix}-3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right] $

$\therefore\left[\begin{matrix}-3 x+6 y+2 z \\ 2 x-2 y-z \\ -2 x+3 y+2 z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 \\ 0 \\ 3\end{matrix}\right]$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, $-3 x+6 y+2 z=1$;

$ 2 x-2 y-z=0 $ এবং $-2 x+3 y+2 z=3$

$x, y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D =\left|\begin{matrix}-3 & 6 & 2 \\ 2 & -2 & -1 \\ -2 & 3 & 2\end{matrix}\right| $

$=-3(-4+3)-6(4-2)+2(6-4)$

$=3-12+4=-5$

এখন, $D_x =\left|\begin{matrix}1 & 6 & 2 \\ 0 & -2 & -1 \\ 3 & 3 & 2\end{matrix}\right| $

$=1(-4+3)-6(0+3)+2(0+6)$

$=-1-18+12=-7$

$D_y =\left|\begin{matrix}-3 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & -1 \\ -2 & 3 & 2\end{matrix}\right| $

$=-3(0+3)-1(4-2)+2(6+0)$

$=-9-2+12=1 $

এবং $D_z =\left|\begin{matrix}-3 & 6 & 1 \\ 2 & -2 & 0 \\ -2 & 3 & 3\end{matrix}\right| $

$=-3(-6-0)-6(6+0)+1(6-4) $

$=18-36+2=-16$

$\therefore x=\frac{D_x}{D}=\frac{-7}{-5}$

$=\frac{7}{5}, y=\frac{D_y}{D}=\frac{1}{-5}=-\frac{1}{5}$

এবং $z=\frac{D_z}{D}=\frac{-16}{-5}=\frac{16}{5}$

নির্ণেয় সমাধান, $(x, y, z)=\left(\frac{7}{5},-\frac{1}{5}, \frac{16}{5}\right)$.

$\left[\begin{matrix}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{matrix}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে যদি $\left|\begin{matrix}x-2 & 3 \\4 & 5\end{matrix}\right|=0 $ হয়.

অর্থাৎ, $\left|\begin{matrix}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{matrix}\right|=0$

বা, $5(x-2)-4 \times 3=0$

বা, $5 x-10-12=0$.

বা, $5 x-22=0$

বা, $5 x=22$

$\therefore x=\frac{22}{5}$

$\therefore x=\frac{22}{5}$ হলে, $\left[\begin{matrix}x-2 & 3 \\ 4 & 5\end{matrix}\right]$ একটি ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হবে.

নির্ণেয় মান : $x=\frac{22}{5}$.

দেওয়া আছে, $M=\left[\begin{matrix}(b+c)^2 & a^2 & a^2 \\ b^2 & (c+a)^2 & b^2 \\ c^2 & c^2 & (a+b)^2\end{matrix}\right]$

$a=b=c= 1$ হলে, $M=\left[\begin{matrix}(1+1)^2 & 1^2 & 1^2 \\ 1^2 & (1+1)^2 & 1^2 \\ 1^2 & 1^2 & (1+1)^2\end{matrix}\right]$

$\therefore M=\left[\begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{matrix}\right]$

$\therefore |M|=\left|\begin{matrix}4 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 4\end{matrix}\right|$

$=4(16-1)-1(4-1)+1(1-4) $

$=60-3-3=54 \neq 0$

$\therefore \mathbf{M}^{-1}$ বিদ্যমান.

Adj $\mathbf{M}=\left[\begin{matrix}\mathbf{M}_{11} & \mathbf{M}_{12} & \mathbf{M}_{13} \\ \mathbf{M}_{21} & \mathbf{M}_{22} & \mathbf{M}_{23} \\ \mathbf{M}_{31} & \mathbf{M}_{32} & \mathbf{M}_{33}\end{matrix}\right]^{\mathbf{T}}$

$M$ এর সহগুণকগুলি হচ্ছে:

$ M_{11}=\left|\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 4\end{matrix}\right|=16-1=15 $

$M_{12}=-\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 4\end{matrix}\right|=-(4-1)=-3 $

$M_{13}=\left|\begin{matrix}1 & 4 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=1-4=-3$

$M_{21}=-\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 4\end{matrix}\right|=-(4-1)=-3 $

$ M_{22}=\left|\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 4\end{matrix}\right|=16-1=15 $

$M_{23}=-\left|\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=-(4-1)=-3 $

$ M_{31}=\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 4 & 1\end{matrix}\right|=1-4=-3$

$M_{32}=-\left|\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=-(4-1)=-3$

$M_{33}=\left|\begin{matrix}4 & 1 \\ 1 & 4\end{matrix}\right|=16-1=15$

$\therefore \operatorname{Adj}(\mathrm{M})=\left[\begin{matrix}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{matrix}\right]^{\top}$

$=\left[\begin{matrix}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{matrix}\right]$

$\therefore \mathbf{M}^{-1}=\frac{1}{|\mathbf{M}|} \operatorname{Adj}(\mathbf{M})$$=\frac{1}{54}\left[\begin{matrix}15 & -3 & -3 \\ -3 & 15 & -3 \\ -3 & -3 & 15\end{matrix}\right]$

$=\frac{1}{54} \times 3\left[\begin{matrix}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{matrix}\right]$

$=\frac{1}{18}\left[\begin{matrix}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{matrix}\right]$

নির্ণেয় $\mathrm{M}^{-1}=\frac{1}{18}\left[\begin{matrix}5 & -1 & -1 \\ -1 & 5 & -1 \\ -1 & -1 & 5\end{matrix}\right]$.

দেওয়া আছে, $4 x+3 y-12=0$

বা, $4 x+3 y=12$

বা, $\frac{x}{3}+\frac{y}{4}=1$

$4x+3y=12$ রেখাটি $X$-অক্ষকে $A=(3,0)$ ও $Y$-অক্ষকে $B=(0,4)$-এ ছেদ করে; $O=(0,0)$

রেখাটি $x$-অক্ষ হতে, $OA = 3$ একক এবং $y$ অক্ষ হতে, $OB = 4$ একক ছেদ করে. রেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে $OAB$ ত্রিভুজ উৎপন্ন করে.

$\therefore \triangle \mathrm{OAB} $ এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2} \times \mathrm{OA} \times \mathrm{OB} $

$ =\frac{1}{2} \times 3 \times 4 $ বর্গ একক = 6 বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক.

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $4 x+3 y-12=0$ ......... (1)

রেখাটির ঢাল $=\frac{-4}{3}$

(1) নং রেখার সাথে লম্বরেখার ঢাল $=\frac{-1}{-\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$

$\left(\frac{11}{2}, 5\right)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{3}{4}$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ,

$(11/2,5)$ বিন্দু থেকে প্রদত্ত সরলরেখায় লম্ব অঙ্কিত; রেখার পাদবিন্দুতে সমকোণ চিহ্নিত

$ y-y_1=m\left(x-x_1\right)$

বা, $y-5=\frac{3}{4}\left(x-\frac{11}{2}\right)$

বা, $y-5=\frac{3}{4} \cdot \frac{2 x-11}{2}$

বা, $8 y-40=6 x-33$

বা, $6 x-8 y+7=0$

এখন, লম্বরেখা অর্থাৎ, (2) নং রেখার পাদবিন্দু হবে (1) নং ও (2) নং রেখার ছেদবিন্দু.

সমীকরণ $4x+3y-12=0$-কে $8$ দিয়ে গুণে $32x+24y-96=0$ এবং $6x-8y+7=0$-কে $3$ দিয়ে গুণে $18x-24y+21=0$. যোগে $50x-75=0$

বা, $50 x=75$

বা, $x=\frac{75}{50}$

$\therefore x=\frac{3}{2}$

(1) নং সমীকরণে $x=\frac{3}{2}$ বসিয়ে পাই,

$4 \cdot \frac{3}{2}+3 y-12=0$

বা, $6+3 y=12$

বা, $3 y=6$

বা, $y=2$

$\therefore$ পাদবিন্দু $\left(\frac{3}{2}, 2\right)$

ধরি, প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক (a, b)

$\left(\frac{11}{2}, 5\right)$ ও $(\mathrm{a}, \mathrm{b})$ এর মধ্যবিন্দ $\left(\frac{\frac{11}{2}+\mathrm{a}}{2}, \frac{5+\mathrm{b}}{2}\right)=\left(\frac{11+2 \mathrm{a}}{4}, \frac{5+\mathrm{b}}{2}\right)$

প্রশ্নমতে, $\left(\frac{11+2 a}{4}, \frac{5+b}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}, 2\right)$

$ \therefore\frac{11+2 a}{4}=\frac{3}{2} $

বা, $11+2 a=6 $

বা, $2 a=6-11=-5 $

$ \therefore a=\frac{-5}{2}$

এবং $\frac{5+b}{2}=2$

বা, $5+b=4$

বা, $b=4-5$

$\therefore \mathrm{b}=-1$

$\therefore$ প্রতিবিম্বের স্থানাঙ্ক $\left(\frac{-5}{2},-1\right)$.

প্রদত্ত সরলরেখার সমীকরণ, $4 x+3 y-12=0$ ........ (1)

রেখাটির ঢাল, $\mathrm{m}_1=\frac{-4}{3}$

ধরি, $(4,5)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ,

$ y-5=m(x-4)$ ........ (2)

রেখাটির ঢাল $=m$

(1) ও (2) নং রেখার মধ্যবর্তী কোণ $\varphi=45^{\circ}$ হলে,

$ \tan \varphi= \pm \frac{m-m_1}{1+m \cdot m_1}$

বা, $\tan 45^{\circ}= \pm \frac{m-\frac{-4}{3}}{1+m \cdot \frac{-4}{3}}$

বা, $1= \pm \frac{3 m+4}{3-4 m}$

বা, $3-4 m= \pm(3 m+4)$

$'+'$ চিহ্ন নিয়ে, $3-4 m=3 m+4$

বা, $-7 \mathrm{~m}=1$

$\therefore m=\frac{-1}{7}$

$'-'$ চিহ্ন নিয়ে, $ 3-4 m=-3 m-4 $

$3-4 m=-3 m-4 $

বা, $-m=-7 $

$\therefore m=7$

$m$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$m=\frac{-1}{7} $ হলে, $ y-5=\frac{-1}{7}(x-4) $

বা, $ 7 y-35=-x+4$

$\therefore x+7 y-39=0 $

$m=7 $ হলে, $y-5=7(x-4) $

বা, $y-5=7 x-28$

$\therefore 7 x-y-23=0 $

নির্ণেয় রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, $x+7 y-39=0,7 x-y-23=0$.

দেওয়া আছে, ব্যাস এর প্রান্তবিন্দুদ্বয় $(-2,3)$ ও $(3,-4) $

$\therefore (-2,3)$ ও $(3,-4)$ -বিন্দুদ্বয়ের সংযোগ রেখাকে ব্যাস ধরে বৃত্তের সমীকরণ :

$\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right)+\left(y-y_1\right)\left(y-y_2\right)=0$

বা, $(x+2)(x-3)+(y-3)(y+4)=0$

বা, $x^2+2 x-3 x-6+y^2-3 y+4 y-12=0$

$\therefore \quad x^2+y^2-x+y-18=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ : $x^2+y^2-x+y-18=0$

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+2 x+3 y+1=0 $ ......... (1)

$ x^2+y^2+4 x+3 y+3=0 $ ......... (2)

ধরি, ছেদবিন্দুগামী বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2+y^2+2 x+3 y+1+k\left(x^2+y^2+4 x+3 y+3\right)=0$ ......... (3)

প্রশ্নমতে, (3)নং সমীকরণ মূলবিন্দুগামী

$\therefore 0+0+0+0+1+k(0+0+0+0+3)=0$

বা, $k=-\frac{1}{3}$

(3)নং এ k-এর মান বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2 x+3 y+1-\frac{1}{3}\left(x^2+y^2+4 x+3 y+3\right)=0$

বা, $3 x^2+3 y^2+6 x+9 y+3-x^2-y^2-4 x-3 y-3=0$

বা, $2 x^2+2 y^2+2 x+6 y=0$

$\because x^2+y^2+x+3 y=0$

বা, $x^2+y^2+2 \cdot \frac{1}{2} x+2 \cdot \frac{3}{2} y=0 \quad \therefore g=\frac{1}{2}, f=\frac{3}{2}, c=0$

$\therefore \mathbf{x}$ অক্ষে খণ্ডিতাংশের পরিমাণ

$ =2 \sqrt{\mathrm{~g}^2-\mathrm{c}}=2 \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2-0}=1 $ একক

নির্ণেয় $x$-অক্ষের খণ্ডিতাংশ 1 একক.

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+2 x+3 y+1=0$

বা, $x^2+y^2+2 \cdot 1 \cdot x+2 \cdot \frac{3}{2} y+1=0$

$\therefore $ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)=\left(-1,-\frac{3}{2}\right)$

এবং ব্যাসাধ, $\mathrm{r}=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-\mathrm{c}}=\sqrt{1+\frac{9}{4}-1}=\frac{3}{2}$

ধরি, $m$ ঢালবিশিষ্ট এবং $(-1,1)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, যা বৃত্তে স্পর্শক

$y-1=m(x+1)$

বা, $y-m x-1-m=0$

বা, $-m x+y-(m+1)=0$

বা, $m x-y+(m+1)=0$

প্রশ্নমতে,

$\left|\frac{m(-1)-\left(-\frac{3}{2}\right)+(m+1)}{\sqrt{m^2+1}}\right|=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{-m+\frac{3}{2}+m+1}{\sqrt{m^2+1}}=\frac{3}{2}$

বা, $\frac{\left(\frac{5}{2}\right)^2}{\mathrm{~m}^2+1}=\frac{9}{4}$ [উভয়পক্ষকে বর্গ করে]

বা, $\frac{25}{4}=\frac{9}{4}\left(\mathrm{~m}^2+1\right)$

বা, $25=9 \mathrm{~m}^2+9$

বা, $25-9=9 \mathrm{~m}^2$

$\therefore \mathrm{m}^2=\frac{16}{9} $

$\therefore \mathrm{~m}= \pm \frac{4}{3}$

$\therefore$ স্পর্শকের সমীকরণ,

$y-1=\frac{4}{3}(x+1)$

বা, $3 y-3=4 x+4$

বা, $4 \mathrm{x}-3 \mathrm{y}+3+4=0$

$\therefore \quad 4 x-3 y+7=0$

এবং $y-1=-\frac{4}{3} \cdot(x+1)$

বা, $3 y-3=-4 x-4$

বা, $4 x+3 y-3+4=0$

$\therefore \quad 4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}+1=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ, $4 x-3 y+7=0$ এবং $4 x+3 y+1=0$.

ত্রিভুজের সাইন সূত্র হতে,

$ \frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2 R $

$\therefore a=2 R \sin A $ এবং $ b=2 R \sin B$

বামপক্ষ $=\frac{a+b}{a-b} =\frac{2 R \sin A+2 R \sin B}{2 R \sin A-2 R \sin B} $

$=\frac{2 R(\sin A+\sin B)}{2 R(\sin A-\sin B)} $

$ =\frac{2 \sin \frac{A+B}{2} \cos \frac{A-B}{2}}{2 \cos \frac{A+B}{2} \sin \frac{A-B}{2}} $

$=\frac{\sin \frac{A+B}{2}}{\cos \frac{A+B}{2}} \cdot \frac{\cos \frac{A-B}{2}}{\sin \frac{A-B}{2}} $]

$=\tan \frac{A+B}{2} \cdot \cot \frac{A-B}{2}=$ ডানপক্ষ

$ \therefore \frac{a+b}{a-b}=\tan \frac{A+B}{2} \cdot \cot \frac{A-B}{2} $ (প্রমাণিত)

উভয়পক্ষ সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য $a\ne b$

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x}{2 x^2} $

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \sin ^2 \frac{x}{2}}{2 x^2}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 \frac{x}{2}}{x^2}$

$ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2} \times \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}} \cdot \frac{1}{2}$

$ =1 \times \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

নির্ণেয় মান : $\frac{1}{4}$.