দেওয়া আছে,

$C = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

আমরা জানি,

$2 \times 2$ মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স, $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$\therefore I - C = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 1-1 & 0-(-1) \\ 0-0 & 1-0 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$(I - C)$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স হবে যদি $(I - C)^2 = I - C$ হয়.

এখন,

$(I - C)^2 = (I - C)(I - C)$

$= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \\ 0\cdot0+1\cdot0 & 0\cdot1+1\cdot1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0+0 & 0+1 \\ 0+0 & 0+1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

$= I - C$

যেহেতু $(I - C)^2 = I - C$,

$\therefore (I - C)$ একটি সমঘাতী ম্যাট্রিক্স.

দেওয়া আছে,

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

এবং $f(x) = x^2 + 3x - 2$

সুতরাং, $f(A) = A^2 + 3A - 2I_3$ [যেখানে $I_3$ হলো $3 \times 3$ মাত্রার অভেদক ম্যাট্রিক্স]

এখানে,

$A^2 = A \cdot A$

$= \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4-2+2 & 2+0+3 & 2+3+1 \\ -4+0+6 & -2+0+9 & -2+0+3 \\ 4-6+2 & 2+0+3 & 2+9+1 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix}$

$3A = 3 \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix}$

$2I_3 = 2 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

$\therefore f(A) = A^2 + 3A - 2I_3$

$= \begin{bmatrix} 4 & 5 & 6 \\ 2 & 7 & 1 \\ 0 & 5 & 12 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 & 3 & 3 \\ -6 & 0 & 9 \\ 6 & 9 & 3 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 4+6-2 & 5+3-0 & 6+3-0 \\ 2-6-0 & 7+0-2 & 1+9-0 \\ 0+6-0 & 5+9-0 & 12+3-2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} 8 & 8 & 9 \\ -4 & 5 & 10 \\ 6 & 14 & 13 \end{bmatrix}$

দেওয়া আছে,

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

$\therefore B = A^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ -2 & 0 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$

এখন, $B$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক,

$\vert\{\}B\vert\{\} = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 2 \\ 1 & 0 & 3 \\ 1 & 3 & 1 \end{vmatrix}$

$= 2(0 - 9) - (-2)(1 - 3) + 2(3 - 0)$

$= -18 + 2(-2) + 6$

$= -18 - 4 + 6$

$= -16$

যেহেতু $\vert\{\}B\vert\{\} \neq 0$, সুতরাং $B^{-1}$ বিদ্যমান.

ধরি, $B$ ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলোর সহগুণকসমূহ $B_{ij}$.

$B_{11} = (-1)^{1+1} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 0 - 9 = -9$

$B_{12} = (-1)^{1+2} \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(1 - 3) = 2$

$B_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 - 0 = 3$

$B_{21} = (-1)^{2+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = -(-2 - 6) = 8$

$B_{22} = (-1)^{2+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0$

$B_{23} = (-1)^{2+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(6 - (-2)) = -8$

$B_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} -2 & 2 \\ 0 & 3 \end{vmatrix} = -6 - 0 = -6$

$B_{32} = (-1)^{3+2} \begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -(6 - 2) = -4$

$B_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} 2 & -2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0 - (-2) = 2$

$\therefore Adj(B) = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33} \end{bmatrix}^T$

$= \begin{bmatrix} -9 & 2 & 3 \\ 8 & 0 & -8 \\ -6 & -4 & 2 \end{bmatrix}^T$

$= \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix}$

আমরা জানি,

$B^{-1} = \frac{1}{\vert\{\}B\vert\{\}} Adj(B)$

$\therefore B^{-1} = \frac{1}{-16} \begin{bmatrix} -9 & 8 & -6 \\ 2 & 0 & -4 \\ 3 & -8 & 2 \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} \frac{-9}{-16} & \frac{8}{-16} & \frac{-6}{-16} \\ \frac{2}{-16} & \frac{0}{-16} & \frac{-4}{-16} \\ \frac{3}{-16} & \frac{-8}{-16} & \frac{2}{-16} \end{bmatrix}$

$= \begin{bmatrix} \frac{9}{16} & -\frac{1}{2} & \frac{3}{8} \\ -\frac{1}{8} & 0 & \frac{1}{4} \\ -\frac{3}{16} & \frac{1}{2} & -\frac{1}{8} \end{bmatrix}$

$\left[\begin{matrix}p-2 & 3 \\ 4 & 5\end{matrix}\right]$ ব্যতিক্রমী ম্যাট্রিক্স হলে,

$\left|\begin{matrix}p-2 & 3 \\ 4 & 5\end{matrix}\right|=0$

বা, $\quad 5 p-10-12=0$

বা, $5 \mathrm{p}=22$

$ \therefore \quad p=\frac{22}{5} $

নির্ণেয় মান : $\mathrm{p}=\frac{22}{5}$.

প্রদত্ত রেখাদ্বয়ের সমীকরণ, $y=6$ ......... (i)

এবং $x-y-6=0$ .......... (ii)

(i) নং হতে পাই, $y=0 . x+6$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $\mathrm{m}_1=0$

(ii) নং হতে পাই, $y=x-6$

$\therefore$ রেখাটির ঢাল, $\mathrm{m}_2=1$

রেখাটির মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ হলে, $\tan \theta=\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|$

বা, $\tan \theta=\frac{|0-1|}{|1+0|}=1$

বা, $\tan \theta=1$

বা, $\quad \tan \theta=\tan 45^{\circ}$

$\therefore \quad \theta=45^{\circ}$

অর্থাৎ রেখা দুইটির অন্তর্ভুক্ত সূক্ষ্মকোণ $45^{\circ}$.

এখানে, $A(2,-2)$ ও $B(-1,4)$ বিন্দুগামী $A B$ রেখার ঢাল

$ =\frac{4+2}{-1-2}=\frac{6}{-3}=-2$

AB রেখার সমীকরণ, $y-4=-2(x+1)$

বা, $y-4=-2 x-2$

বা, $2 x+y=2$

বা, $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}=1$

রেখাটি x অক্ষকে $\mathrm{R}(1,0)$

রেখাটি x অক্ষকে R(1, 0)

এবং y অক্ষকে S(0, 2) বিন্দুতে ছেদ করে.

ধরি, RS এর সমত্রিখন্ডনকারী বিন্দুদ্বয় P ও Q.

এখন, P বিন্দু RS কে 1:2 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করে,

$\therefore \quad \mathrm{P}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{1 \cdot 0+2 \cdot 1}{1+2}, \frac{1 \cdot 2+2 \cdot 0}{1+2}\right)=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$

$ \therefore \quad \mathrm{P}=\left(\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)$

$R=(1,0)$ ও $S=(0,2)$-এর মধ্যবর্তী রেখাংশে ক্রম $R,P,Q,S$; $P,Q$ রেখাংশ $RS$-কে সমান তিন ভাগে ভাগ করে. $O=(0,0)$

আবার, Q বিন্দু PS এর মধ্যবিন্দু

$\therefore \quad \mathrm{Q}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$ =\left(\frac{\frac{2}{3}+0}{2}, \frac{\frac{2}{3}+2}{2}\right)=\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) $

$ \therefore Q\left(\frac{1}{3}, \frac{4}{3}\right) $

OP রেখার সমীকরণ, $y-0=\left(\frac{\frac{2}{3}-0}{\frac{2}{3}-0}\right)(x-0)$

বা, $y=1 \cdot x$

$\therefore \quad \mathrm{y}=\mathrm{x}$

OQ রেখার সমীকরণ : $y-0=\frac{\frac{4}{3}-0}{\frac{1}{3}-0}(x-0)$

নির্ণেয় OP ও OQ রেখার সমীকরণ $y=x$ এবং $y=4 x$.

দেওয়া আছে,

$ x^2+y^2-6 x-8=0$ ......... (i)

এবং $\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2+16 \mathrm{x}+3=0$

বা, $x^2+y^2+2.8 . x+2.0 . y+3=0$ ........ (ii)

$\therefore$ (ii)নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)=(-8,0)$

ধরি, (i)নং বৃত্ত ও $x=4$ রেখার ছেদবিন্দু দিয়ে যায় এরূপ বৃত্তের সমীকরণ

$ x^2+y^2-6 x-8+k(x-4)=0$ .......... (iii)

বা, $x^2+y^2-6 x-8+k x-4 k=0$

বা, $x^2+y^2+2 \cdot \frac{1}{2}(k-6) x+2 \cdot 0 \cdot y-8-4 k=0$ .......... (iv)

$\therefore$ (iv)নং বৃত্তের কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)=\left(\frac{6-\mathrm{k}}{2}, 0\right)$

শর্তমতে,

$ \frac{6-k}{2}=-8$

বা, $6-k=-16$

বা, $k=22$

k-এর মান (iii)নং এ রসিয়ে পাই,

$ x^2+y^2-6 x-8+22(x-4)=0$

বা, $x^2+y^2-6 x-8+22 x-88=0$

$ \therefore x^2+y^2+16 x-96=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $x^2+y^2+16 x-96=0$.

দেওয়া আছে,

$ x^2+y^2-6 x-8=0 $ ........ (i)

$x^2+y^2+16 x+3=0 $ ........ (ii)

(i) ও (ii)নং বৃত্তের সাধারণ জ্যা-এর সমীকরণ,

$ x^2+y^2-6 x-8-x^2-y^2-16 x-3=0$

বা, $-22 x-11=0$

বা, $-11(2 x+1)=0$

$ \therefore \quad 2 x+1=0$ .......... (iii)

(i)নং বৃত্ত ও (iii)নং রেখার ছেদবিন্দুগামী যে কোনো বৃত্তের সমীকরণ,

$ x^2+y^2-6 x-8+k(2 x+1)=0$

বা, $x^2+y^2+(2 k-6) x-8+k=0$

বা, $x^2+y^2+2(k-3) x+(k-8)=0$ .......... (iv)

(iv)নং এর কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)=(3-\mathrm{k}, 0)$

যা $2 x+1=0$ রেখার উপর অবস্থিত

$\therefore \quad 2(3-k)+1=0$

বা, $6-2 k+1=0$

বা, $7=2 \mathrm{k}$

$\therefore \quad k=\frac{7}{2}$

k-এর মান (iv)নং এ বসিয়ে পাই,

$ x^2+y^2-6 x-8+\frac{7}{2}(2 x+1)=0$

বা, $2 x^2+2 y^2-12 x-16+14 x+7=0$

$ \therefore \quad 2 x^2+2 y^2+2 x-9=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $2 x^2+2 y^2+2 x-9=0$.

দেওয়া আছে, $\tan \beta=4 \cot \alpha$

বা, $\frac{\tan \beta}{\cot \alpha}=4$

বা, $\tan \alpha \tan \beta=4\left[\because \frac{1}{\cot \alpha}=\tan \alpha\right]$

বা, $\frac{2 \sin \alpha \sin \beta}{2 \cos \alpha \cos \beta}=4\left[\because \tan \theta=\frac{\sin \theta}{\cos \theta}\right]$

বা, $\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}=4$

বা, $\frac{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha+\beta)+\cos (\alpha-\beta)}{\cos (\alpha-\beta)-\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha+\beta)-\cos (\alpha-\beta)}=\frac{4+1}{4-1}$

[যোজন-বিয়োজন করে]

বা, $\frac{2 \cos (\alpha-\beta)}{-2 \cos (\alpha+\beta)}=\frac{5}{3}$

বা, $\frac{-\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}=\frac{3}{5}$

$\therefore \frac{\cos (\alpha+\beta)}{\cos (\alpha-\beta)}=-\frac{3}{5}$. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\mathrm{S}=\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2}$ এবং $\Delta=\mathrm{ABC}$ এর ক্ষেত্রফল

$ \Delta \mathrm{ABC}$- এ, $\mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi$

বামপক্ষ $= \sin (\mathrm{B}+\mathrm{C}-\mathrm{A})+\sin (\mathrm{C}+\mathrm{A}-\mathrm{B})+\sin (\mathrm{A}+\mathrm{B}-\mathrm{C}) $

$= \sin (\pi-\mathrm{A}-\mathrm{A})+\sin (\pi-\mathrm{B}-\mathrm{B})+\sin (\pi-\mathrm{C}-\mathrm{C}) $

$ \{[\because \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi] \} $

$= \sin (\pi-2 \mathrm{~A})+\sin (\pi-2 \mathrm{~B})+\sin (\pi-2 \mathrm{C}) $

$= \sin 2 \mathrm{~A}+\sin 2 \mathrm{~B}+\sin 2 \mathrm{C} $

$= 2 \sin (\mathrm{~A}+\mathrm{B}) \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\sin 2 \mathrm{C} $

$= 2 \sin (\pi-\mathrm{C}) \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})+\sin 2 \mathrm{C}[\because \mathrm{~A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi] $

$= 2 \sin \mathrm{C} \cos (\mathrm{~A}-\mathrm{B})+2 \sin \mathrm{C} \cos \mathrm{C} $

$= 2 \sin \mathrm{C}[\cos (\mathrm{~A}-\mathrm{B})+\cos \mathrm{C}] $

$= 2 \sin C[\cos (A-B)+\cos \{\pi-(A+B)\}][\because A+B+C=\pi] $

$= 2 \sin C[\cos (A-B)-\cos (A+B)] $

$= 2 \sin C \cdot 2 \sin A \sin B=4 \sin A \sin B \sin C $

$= 4 \times \frac{2 \Delta}{b c} \times \frac{2 \Delta}{c a} \times \frac{2 \Delta}{a b}$

$\left[\because \Delta=\frac{1}{2} b c \sin A=\frac{1}{2} c a \sin B=\frac{1}{2} a b \sin C\right] $

$= \frac{32 \Delta^3}{a^2 b^2 c^2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \sin (B+C-A)+\sin (C+A-B)+\sin (A+B-C)=\frac{32 \Delta^3}{a^2 b^2 c^2} $ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $4 \mathrm{~s}(\mathrm{~s}-\mathrm{b})=3 \mathrm{ca}$

বা, $4\left(\frac{a+b+c}{2}\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)=3 c a$

বা, $4\left\{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)^2-\left(\frac{a+b+c}{2}\right) \cdot b\right\}=3 c a$

বা, $4\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a}{4}-\frac{a b+b^2+b c}{2}\right)=3 c a$

বা, $\quad 4\left(\frac{a^2+b^2+c^2+2 a b+2 b c+2 c a-2 a b-2 b^2-2 b c}{4}\right)=3 c a$

বা, $a^2+c^2-b^2+2 c a=3 c a$

বা, $a^2+c^2-b^2=3 c a-2 c a$

বা, $a^2+c^2-b^2=c a$

বা, $\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{b}^2}{2 \mathrm{ca}}=\frac{1}{2}$

বা, $\cos \mathrm{B}=\cos 60^{\circ}\left[\because \cos \mathrm{B}^{\circ}=\frac{\mathrm{a}^2+\mathrm{c}^2-\mathrm{b}^2}{2 \mathrm{ca}}\right]$

$\therefore \mathrm{B}=60^{\circ}$

$\therefore \quad \angle \mathrm{B}$ এর মান $60^{\circ}$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 5x}{3x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \left(\frac{5x}{2}\right)}{3x^2}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{2 \sin^2 \left(\frac{5x}{2}\right)}{3 \cdot \left(\frac{4}{25}\right) \cdot \left(\frac{5x}{2}\right)^2}$

$= \frac{2}{3} \times \frac{25}{4} \lim_{x \to 0} \left( \frac{\sin \left(\frac{5x}{2}\right)}{\frac{5x}{2}} \right)^2$

$= \frac{25}{6} \times (1)^2 \quad \left[ \because \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \right]$

$= \frac{25}{6}$

নির্ণেয় মান : $\frac{25}{6}$.

দেওয়া আছে,

$f(\theta) = \cos \theta$

$\therefore f(3\theta) = \cos 3\theta$

ধরি, $g(\theta) = \cos 3\theta$

সুতরাং, $g(\theta + h) = \cos(3\theta + 3h)$

মূল নিয়মের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি,

$\frac{d}{d\theta} g(\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{g(\theta + h) - g(\theta)}{h}$

$\therefore \frac{d}{d\theta} (\cos 3\theta) = \lim_{h \to 0} \frac{\cos(3\theta + 3h) - \cos 3\theta}{h}$

ত্রিকোণমিতির সূত্র $\cos C - \cos D = -2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ প্রয়োগ করে পাই:

$= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin \left(\frac{3\theta + 3h + 3\theta}{2}\right) \sin \left(\frac{3\theta + 3h - 3\theta}{2}\right)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{-2 \sin \left(3\theta + \frac{3h}{2}\right) \sin \left(\frac{3h}{2}\right)}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \left[ -2 \sin \left(3\theta + \frac{3h}{2}\right) \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{\sin \left(\frac{3h}{2}\right)}{\frac{3h}{2}} \right]$

লিমিটের মান বসিয়ে পাই:

$= -2 \sin(3\theta) \cdot \frac{3}{2} \cdot 1$

$= -3 \sin 3\theta$

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}^2=16 \mathrm{x}=4 \cdot 4 \mathrm{x}$

$ \therefore y^2=4 a x $ যেখানে, $a=4$

সুতরাং, উপকেন্দ্রিক লম্বের সমীকরণ, $x=a$ বা, $x=4$

আবার, $\mathrm{y}^2=16 \mathrm{x}$

বা, $y=\sqrt{16 x}=4 \sqrt{x}$

পরাবৃত্ত $y^2=16x$ ডানদিকে উন্মুক্ত; উপকেন্দ্রিক লম্ব $x=4$. চিহ্নিত আবদ্ধ অঞ্চল $0\le x\le4$, $-4\sqrt x\le y\le4\sqrt x$, অর্থাৎ পরাবৃত্তের উভয় শাখা ও $x=4$-এর মধ্যবর্তী অঞ্চল

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল, $A=2 \int_0^4 y d x=2 \int_0^4 4 \sqrt{x} d x$

$=2 \times 4 \int_0^4 x^{\frac{1}{2}} d x=8\left[\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right]_0^4$

বা, $A=8\left[\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}\right]_0^4$

বা, $A=8 \times \frac{2}{3}\left[4^{\frac{3}{2}}-0\right]=\frac{16}{3} \times 8=\frac{128}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল : $\frac{128}{3}$ বর্গ একক.