$\left[\begin{matrix}0 & 3 & 2 \mathrm{x}+7 \\ 2 & 7 \mathrm{x} & 9+5 \mathrm{x} \\ 0 & 0 & 2 \mathrm{x}+5\end{matrix}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি ব্যতিক্রমী হবে যদি ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়কের মান শূন্য হয়.

অর্থাৎ, $\left|\begin{matrix}0 & 3 & 2 x+7 \\ 2 & 7 x & 9+5 x \\ 0 & 0 & 2 x+5\end{matrix}\right|=0$

বা, $0\left(14 x^2+35 x-0\right)-3(4 x+10-0)$ $+(2 x+7)(0-0)=0$

বা, $0-12 x-30+0=0$

বা, $-12 x=30 \quad-$

বা, $x=\frac{30}{-12}$

$ \therefore \quad x=-\frac{5}{2}$

নির্ণেয় মান : $x=-\frac{5}{2}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=\left[\begin{matrix}2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right], \mathrm{X}=\left[\begin{matrix}\mathrm{x} \\ \mathrm{y} \\ \mathrm{z}\end{matrix}\right]$

এবং $\mathrm{C}=\left[\begin{matrix}15 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right]$

এখন, $\mathrm{AX}=\mathrm{C}$ হলে,

$ \{\left[\begin{matrix}2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}15 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right]\} $

বা, $\left[\begin{matrix}2 x-6 y+5 z \\ 3 x+2 y+z \\ 5 x+z\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}15 \\ -1 \\ 0\end{matrix}\right]$

$\therefore$ ম্যাট্রিক্রের সমতা অনুসারে,

$2 x-6 y+5 z=15 $

$3 x+2 y+z=-1 $

এবং $5 \mathrm{x}+\mathrm{z}=0$

$x, y$ ও $z$ এর সহগগুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$D=\left|\begin{matrix}2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right| $

$=2(2-0)+6(3-5)+5(0-10)$

$=4-12-50=-58 $

$D_x =\left|\begin{matrix}15 & -6 & 5 \\ -1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1\end{matrix}\right| $

$=15(2-0)+6(-1-0)+5(0-0)$

$=30-6=24$

$D_y =\left|\begin{matrix}2 & 15 & 5 \\ 3 & -1 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right| $

$=2(-1-0)-15(3-5)+5(0+5)$

$=-2+30+25=53 $

$ D_z =\left|\begin{matrix}2 & -6 & 15 \\ 3 & 2 & -1 \\ 5 & 0 & 0\end{matrix}\right|$

$=2(0+0)+6(0+5)+$ $15(0-10) $

$=30-150=-120 $

$\therefore \mathrm{x} =\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{x}}}{\mathrm{D}}=\frac{24}{-58}=-\frac{12}{29},$

$ \mathrm{y}=\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{y}}}{\mathrm{D}}=\frac{53}{-58}=-\frac{53}{58} $

এবং $ \mathrm{z} =\frac{\mathrm{D}_{\mathrm{z}}}{\mathrm{D}}=\frac{-120}{-58}=\frac{60}{29} $

নির্ণেয় সমাধান, $(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=\left(-\frac{12}{29},-\frac{53}{58}, \frac{60}{29}\right)$.

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{matrix}2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right]$

$\mathrm{B}=\mathrm{A}^{\mathrm{T}}$ হলে, $ \mathrm{B}=\left[\begin{matrix}2 & -6 & 5 \\ 3 & 2 & 1 \\ 5 & 0 & 1\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}$

$=\left[\begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ -6 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 1\end{matrix}\right] $

$\therefore |\mathrm{B}|=\left|\begin{matrix}2 & 3 & 5 \\ -6 & 2 & 0 \\ 5 & 1 & 1\end{matrix}\right| $

$=2(2-0)-3(-6-0)+5(-6-10) $

$=4+18-80=-58 \neq 0$

$\therefore \mathrm{B}^{-1}$ বিদ্যমান.

$Adj B=\left[\begin{matrix}B_{11} & B_{12} & B_{13} \\ B_{21} & B_{22} & B_{23} \\ B_{31} & B_{32} & B_{33}\end{matrix}\right]^T$

B এর সহগুণকসমূহ:

$B_{11}=\left|\begin{matrix}2 & 0 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|$

$=2-0=2 $

$B_{12}=-\left|\begin{matrix}-6 & 0 \\ 5 & 1\end{matrix}\right|$

$=-(-6-0)=6 $

$B_{13}=\left|\begin{matrix}-6 & 2 \\ 5 & 1\end{matrix}\right|$

$=-6-10=-16 $

$B_{21}=-\left|\begin{matrix}3 & 5 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|$

$=-(3-5)=2 $

$B_{22}=\left|\begin{matrix}2 & 5 \\ 5 & 1\end{matrix}\right|$

$=2-25=-23 $

$B_{23}=-\left|\begin{matrix}2 & 3 \\ 5 & 1\end{matrix}\right|$

$=-(2-15)=13$

$\mathrm{B}_{31}=\left|\begin{matrix}3 & 5 \\ 2 & 0\end{matrix}\right|$

$=0-10=-10 $

$ \mathrm{~B}_{32}=-\left|\begin{matrix}2 & 5 \\ -6 & 0\end{matrix}\right|$

$=-(0+30)=-30 $

$ \mathrm{~B}_{33}=\left|\begin{matrix}2 & 3 \\ -6 & 2\end{matrix}\right|$

$=4+18=22 $

$\therefore Adj \mathrm{B}=\left[\begin{matrix}2 & 6 & -16 \\ 2 & -23 & 13 \\ -10 & -30 & 22\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}$

$=\left[\begin{matrix}2 & 2 & -10 \\ 6 & -23 & -30 \\ -16 & 13 & 22\end{matrix}\right] $

$ \therefore \mathrm{B}^{-1}=\frac{1}{|\mathrm{~B}|} \operatorname{Adj} \mathrm{B} $

$=\frac{1}{-58}\left[\begin{matrix}2 & 2 & -10 \\ 6 & -23 & -30 \\ -16 & 13 & 22\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}\frac{2}{-58} & \frac{2}{-58} & \frac{-10}{-58} \\ \frac{6}{-58} & \frac{-23}{-58} & \frac{-30}{-58} \\ \frac{-16}{-58} & \frac{13}{-58} & \frac{22}{-58}\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}-\frac{1}{29} & -\frac{1}{29} & \frac{5}{29} \\ -\frac{3}{29} & \frac{23}{58} & \frac{15}{29} \\ \frac{8}{29} & -\frac{13}{58} & -\frac{11}{29}\end{matrix}\right]$

নির্ণেয় $\mathrm{B}^{-1}=\left[\begin{matrix}-\frac{1}{29} & -\frac{1}{29} & \frac{5}{29} \\ -\frac{3}{29} & \frac{23}{58} & \frac{15}{29} \\ \frac{8}{29} & -\frac{13}{58} & -\frac{11}{29}\end{matrix}\right]$

মনে করি, কার্তেসীয় স্থানাঙ্ক $(x, y)$ তাহলে, $\left(2 \sqrt{3}, 90^{\circ}\right)$ বিন্দুর জন্য, $x=2 \sqrt{3} \cos 90^{\circ}=2 \sqrt{3} \cdot 0=0$

এবং $\mathrm{y}=2 \sqrt{3} \sin 90^{\circ}=2 \sqrt{3} \cdot 1=2 \sqrt{3}$

$\therefore \quad(x, y)=(0,2 \sqrt{3})$

আবার, $\left(2 \sqrt{5}, 180^{\circ}\right)$ বিন্দুর জন্য, $x=2 \sqrt{5} \cos 180^{\circ}=2 \sqrt{5} \cdot(-1) $

$ =-2 \sqrt{5}$ এবং $\mathrm{y}=2 \sqrt{5} \sin 180^{\circ}=2 \sqrt{5} \cdot 0=0$

$\therefore \quad(\mathrm{x}, \mathrm{y})=(-2 \sqrt{5}, 0)$

$\therefore$ বিন্দুদ্বয় $x$-অক্ষকে $(-2 \sqrt{5}, 0)$ এবং $y$-অক্ষকে $(0,2 \sqrt{3})$ বিন্দুতে ছেদ করে.

$\therefore$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব $=\sqrt{(0+2 \sqrt{5})^2+(2 \sqrt{3}-0)^2}$ একক

$=\sqrt{20+12} $ একক

$=\sqrt{32} $ একক $=4 \sqrt{2}$ একক

নির্ণেয় দূরত্ব $4 \sqrt{2}$ একক.

স্থানাঙ্ক সমতলে $A(4,0)$, $B(0,5)$, $P(-2,3)$, $Q(4,-1)$, $M(3,4)$ ও $N(-1,-2)$. $L$ হলো $M$ থেকে $PQ$ রেখায় অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু; অর্থাৎ $L\in PQ$ ও $ML\perp PQ$

এখানে, PQ রেখা $\mathrm{P}(-2,3)$ ও $\mathrm{Q}(4,-1)$ বিন্দুগামী,

$\therefore \mathrm{PQ}$ রেখার ঢাল $=\frac{3+1}{-2-4}=\frac{-4}{6}=\frac{-2}{3}$

$\therefore \mathrm{PQ}$ রেখার সমীকরণ,

$ y-3=\frac{-2}{3}(x+2)$

বা, $3 y-9=-2 x-4$

$\therefore 2 x+3 y=5$ ........... (1)

আবার, $\mathrm{PQ} \perp \mathrm{LM}$

$\therefore \quad L M $ রেখার ঢাল $=\frac{-1}{-\frac{2}{3}}=\frac{3}{2}$

এখন, $(3,4)$ বিন্দুগামী এবং $\frac{3}{2}$ ঢালবিশিট রেখার সমীকরণ,

$y-4=\frac{3}{2}(x-3)$

বা, $2 y-8=3 x-9$

বা, $3 x-2 y=1$

$\therefore$ LM রেখার সমীকরণ, $3 \mathrm{x}-2 \mathrm{y}=1$ ........ (2)

PQ ও LM রেখার ছেদবিন্দুই হবে $L$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক.

(1) নং সমীকরণকে 2 দ্বারা এবং (2) নং সমীকরণকে 3 দ্বারা গুণ করে যোগ করে পাই,

$ 4 x+6 y=10[(1) \times 2] $

$ 9 x-6 y=3[(2) \times 3] $

(+) করে $13 \mathrm{x} \quad=13$

$ \therefore x=1$

$x$ এর মান (1) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$ 2 \cdot 1+3 y=5$

বা, $3 y=3$

$\therefore \mathrm{y}=1$

$\therefore \mathrm{L}(1,1)$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=(1,1)$

নির্ণেয় $L$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(1,1)$.

দেওয়া আছে, $MN$ রেখার সমীকরণ,

$3 x-4 y-5=0$

(1) নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$3 x-4 y+k=0$

এখন, মূলবিন্দু $(0,0)$ হতে (2) নং রেখার দূরত্ব $=\frac{|0-0+k|}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}=\frac{|k|}{5}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|\mathrm{k}|}{5}=15 \frac{1}{2}$

বা, $\frac{|k|}{5}=\frac{31}{2}$

বা, $k= \pm \frac{155}{2}$

$k$ এর মান (2) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$3 x-4 y \pm \frac{155}{2}=0$

বা, $6 x-8 y \pm 155=0$

নির্ণেয় রেখাসমূহের সমীকরণ, $6 x-8 y+155=0,6 x-8 y-155=0$.

ত্রিভুজ $LMN$-এর বাহুর ধারক রেখা $LM:y-1=0$, $MN:3x-4y-5=0$, $LN:5x+12y+13=0$

$\angle \mathrm{LMN}$ এর সমদ্বিখন্ডক অর্থাৎ, $\mathrm{y}-1=0$ এবং $3 \mathrm{x}-4 \mathrm{y}-5=0$ রেখার মধ্যবর্তী সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক.

এখন, $\mathrm{a}_1 \mathrm{a}_2+\mathrm{b}_1 \mathrm{~b}_2=0.3+1 \cdot(-4)=-4<0$

$\therefore$ রেখাদ্বয়ের সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক:

$\frac{y-1}{\sqrt{1^2}}=\frac{3 x-4 y-5}{\sqrt{3^2+4^2}}$

বা, $\frac{y-1}{1}=\frac{3 x-4 y-5}{5}$

বা, $5 y-5=3 x-4 y-5$

$\therefore 3 x-9 y=0$ .......... (i)

$\angle \mathrm{MLN}$ এর সমদ্বিখন্ডক অর্থাৎ, $\mathrm{y}-1=0$ এবং $5 \mathrm{x}+12 \mathrm{y}+13=0$ রেখার মধ্যবর্তী সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক.

এখন, $a_1 a_2+b_1 b_2=0.5+1.12=12>0$

$\therefore$ রেখাদ্বয়ের সূক্ষকোণের সমদ্বিখন্ডক,

$\frac{y-1}{\sqrt{1}}=-\frac{5 x+12 y+13}{\sqrt{5^2+12^2}}$

বা, $\frac{y-1}{1}=-\frac{5 x+12 y+13}{13}$

বা, $13 y-13=-5 x-12 y-13$.

$\therefore \quad 5 x+25 y=0$

(i) ও (ii) উভয়েই মূলবিন্দুগামী সরলরেখা.

সুতরাং, (i) ও (ii) রেখার ছেদবিন্দু (0, 0) |

নির্ণেয় সমদ্বিখন্ডকদ্বয়ের ছেদবিন্দু (0,0).

দেওয়া আছে,

$r^2-4 r(\sqrt{3} \cos \theta-\sin \theta)+15=0$

বা, $r^2-4 \sqrt{3} r \cos \theta+4 r \sin \theta+15=0$

বা, $x^2+y^2-4 \sqrt{3} x+4 y+15=0$

$[\because x=r \cos \theta, y=r \sin \theta$ এবং $ r^2=x^2+y^2]$

বা, $x^2+y^2+2(-2 \sqrt{3}) x+2.2 \cdot y+15=0$

$\therefore \quad$ বৃত্তটির কেন্দ্র, $(-g,-f)=(2 \sqrt{3},-2)$

নির্ণেয় বৃত্তের কেন্দ্র $(2 \sqrt{3},-2)$.

ধরি, বৃত্তটির সমীকরণ :

$x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0$ .......... (1)

(1) নং বৃত্তটি R(-1,4), S(4,2), T(3,-4) বিন্দগামী

$\therefore \mathbf{R}$ বিন্দুর জন্য,

$1+16-2 g+8 f+c=0$

বা, $-2 g+8 f+17+c=0$ .......... (2)

$S$ বিন্দুর জন্য,

$16+4+8 g+4 f+c=0$

বা, $8 g+4 f+20+c=0$ .......... (3)

$T$ বিন্দুর জন্য, $9+16+6 \mathrm{~g}-8 f+\mathrm{c}=0$

বা, $6 g-8 f+25+c=0$ .......... (4)

(2)নং হতে (3)নং বিয়োগ করে পাই,

$-2 g+8 f+17+c-8 g-4 f-20-c=0$

বা, $-10 \mathrm{~g}+4 f-3=0$ .......... (5)

(3)নং হতে (4)নং বিয়োগ করে পাই,

$8 g+4 f+20+c-6 g+8 f-25-c=0$

বা, $2 g+12 f-5=0$ .......... (6)

(6)নং কে 5 আরা গুণ করে (5)নং এর সাথে যোগ করে পাই,

$-10 \mathrm{~g}+4 f-3+10 \mathrm{~g}+60 f-25=0$

বা, $64 f-28=0$

$\therefore \quad f=\frac{28}{64}=\frac{7}{16}$

$f$ এর মান (5)নং এ বসিয়ে পাই,

$-10 g+4 \times \frac{7}{16}-3=0$

বা, $\frac{7-12}{4}=10 \mathrm{~g}$

$\therefore \quad g=\frac{-5}{4 \times 10}=\frac{-1}{8}$

$f$ ও g এর মান (2)নং এ বসিয়ে পাই,

$-2\left(-\frac{1}{8}\right)+8 \times \frac{7}{16}+17+c=0$

বা, $\frac{1}{4}+\frac{7}{2}+17+c=0$

বা, $\frac{1+14+68+4 \mathrm{c}}{4}=0$

বা, $83+4 c=0$

$\therefore c=\frac{-83}{4}$

$f, \mathrm{~g}, \mathrm{c}$ এর মান (1)নং এ বসিয়ে পাই,

$x^2+y^2+2\left(-\frac{1}{8}\right) x+2\left(\frac{7}{16}\right) y-\frac{83}{4}=0$

বা, $x^2+y^2-\frac{x}{4}+\frac{7}{8} y-\frac{83}{4}=0$

বা, $8 x^2+8 y^2-2 x+7 y-166=0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ, $8 x^2+8 y^2-2 x+7 y-166=0$.

দেওয়া আছে,

$T(3,-4)$ এবং $(x-3)^2+(y-4)^2=16$ ........ (1)

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g,-f)=(3,4)$ এবং ব্যাসার্দ $=4$

ধরি, m ঢালবিশিষ্ট এবং $(3,-4)$ বিন্দুগামী সরলরেখার সমীকরণ, যা বৃত্তটির স্পর্শক

$y+4=m(x-3)$

বা, $y-m x+3 m+4=0$ ........ (2)

প্রশ্নমতে,

$\left|\frac{4-m \cdot 3+3 m+4}{\sqrt{1+m^2}}\right|=4$

বা, $\left|\frac{8}{\sqrt{\mathrm{~m}^2+1}}\right|=4$

বা, $\frac{64}{\mathrm{~m}^2+1}=16$

বা, $4=m^2+1$

বা, $\mathrm{m}^2=3$

$\therefore \quad \mathrm{m}= \pm \sqrt{3}$

(2)নং এ m-এর মান বসিয়ে পাই,

$y+4=\sqrt{3}(x-3)$

বা, $\sqrt{3} x-y-(3 \sqrt{3}+4)=0$

এবং $\mathrm{y}+4=-\sqrt{3}(\mathrm{x}-3)$

বা, $\sqrt{3} x+y+(4-3 \sqrt{3})=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $\sqrt{3} x-y-(3 \sqrt{3}+4)=0$ এবং $\sqrt{3} x+y+(4-3 \sqrt{3})=0$

দেওয়া আছে,

$\mathrm{a}=2.5$ একক

$\mathrm{c}=3.5$ একক

এবং $\mathrm{B}_{\mathrm{F}}=30^{\circ}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল

$=\frac{1}{2} \mathrm{ca} \sin \mathrm{~B} $ বর্গ একক

$=\frac{1}{2} \times 2.5 \times 3.5 \times \sin 30^{\circ}$ বর্গ একক

$=\frac{1}{2} \times 2.5 \times 3.5 \times \frac{1}{2}$ বর্গ একক

$=\frac{35}{16} $ বর্গ একক

$=2.1875$ বর্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 2.1875 বর্গ একক.

দেওয়া আছে,

$m \sin \alpha+n \sin \beta =P=m \cos \alpha+n \cos \beta $

$\therefore m \sin \alpha+n \sin \beta =P \ldots \ldots (1) $

এবং $m \cos \alpha+n \cos \beta =P \ldots \ldots (2) $

(1)নং এবং (2)নং কে বর্গ করে যোগ করি,

$(m \sin \alpha+n \sin \beta)^2+(m \cos \alpha+n \cos \beta)^2=P^2+P^2$

বা, $m^2 \sin ^2 \alpha+2 m n \sin \alpha \sin \beta+n^2 \sin ^2 \beta+m^2 \cos ^2 \alpha$

$+2 m n \cos \alpha \cos \beta+n^2 \cos ^2 \beta=2 P^2$

বা, $\mathrm{m}^2 \sin ^2 \alpha+ \mathrm{m}^2 \cos ^2 \alpha+\mathrm{n}^2 \sin ^2 \beta+\mathrm{n}^2 \cos ^2 \beta $

$+2 \mathrm{mn} \sin \alpha \cdot \sin \beta+2 \mathrm{mn} \cos \alpha \cos \beta=2 \mathrm{P}^2 $

বা, $\mathrm{m}^2\left(\sin ^2 \alpha+\cos ^2 \alpha\right) +\mathrm{n}^2\left(\sin ^2 \beta+\cos ^2 \beta\right) $

$ +2 \mathrm{mn}(\sin \alpha \sin \beta+\cos \alpha \cos \beta)=2 \mathrm{P}^2 $

বা, $m^2+n^2+2 m n \cos (\alpha-\beta)=2 P^2$

$[\because \sin ^2 \theta+\cos ^2 \theta=1$ এবং $ \cos (\mathrm{A}-\mathrm{B})=\cos \mathrm{A} \cos \mathrm{~B}+\sin \mathrm{A} \sin \mathrm{~B}]$

বা, $2 m n \cos (\alpha-\beta)=2 P^2-m^2-n^2$

বা, $\cos (\alpha-\beta)=\frac{2 P^2-m^2-n^2}{2 m n}$

বা, $\cos 2 \cdot \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{2 \mathrm{P}^2-\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2}{2 \mathrm{mn}}$

বা, $2 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)-1=\frac{2 \mathrm{P}^2-\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2}{2 \mathrm{mn}}\left[\cos 2 \mathrm{~A}=2 \cos ^2 \mathrm{~A}-1\right]$

বা, $2 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{2 \mathrm{P}^2-\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2}{2 \mathrm{mn}}+1$

বা, $2 \cos ^2\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)=\frac{2 \mathrm{P}^2-\mathrm{m}^2-\mathrm{n}^2+2 \mathrm{mn}}{2 \mathrm{mn}}=\frac{2 \mathrm{P}^2-\left(\mathrm{m}^2-2 \mathrm{mn}+\mathrm{n}^2\right)}{2 \mathrm{mn}}$

বা, $\cos ^2 \frac{\alpha-\beta}{2}=\frac{2 \mathrm{P}^2-(\mathrm{m}-\mathrm{n})^2}{4 \mathrm{mn}}$

$\therefore \quad \cos \frac{\alpha-\beta}{2}= \pm \sqrt{\frac{2 \mathrm{P}^2-(\mathrm{m}-\mathrm{n})^2}{4 \mathrm{mn}}}$. (দেখানো হলো)

ধরি, $y=x^{\cot ^{-1} x}$

উভয়পক্ষকে ln নিয়ে পাই,

$\ln y=\ln x^{\cot ^{-1} x}$

বা, $\ln y=\left(\cot ^{-1} x\right) \ln x$

বা, $\frac{d}{d x}(\ln y)=\ln x \cdot \frac{d}{d x}\left(\cot ^{-1} x\right)+\cot ^{-1} x \frac{d}{d x}(\ln x)$

বা, $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=\ln x \cdot\left(-\frac{1}{1+x^2}\right)+\cot ^{-1} x \cdot \frac{1}{x}$

বা, $\frac{1}{y} \cdot \frac{d y}{d x}=-\frac{\ln x}{1+x^2}+\frac{\cot ^{-1} x}{x}$

বা, $\frac{d y}{d x}=y\left(\frac{\cot ^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right)$

$\therefore \quad \frac{d y}{d x}=x^{\cot ^{-1} x}\left(\frac{\cot ^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right)$

$\therefore \frac{d}{d x}\left(x^{\cot ^{-1} x}\right)=x^{\cot ^{-1} x}\left(\frac{\cot ^{-1} x}{x}-\frac{\ln x}{1+x^2}\right)$

বাস্তব লগারিদমিক অন্তরীকরণের জন্য $x>0$

$ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-1}{a x}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+2 x+\frac{(2 x)^2}{2!}+\frac{(2 x)^3}{3!}+\ldots \ldots \ldots . .-1}{a x} $

$ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x\left(2+2 x+\frac{8}{6} x^2+\ldots . .\right)}{a x}$

$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2+2 x+\frac{4}{3} x^2+\ldots . .}{a} $

$ =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2}{a}\left(1+x+\frac{2}{3} x^2+\ldots .\right)=\frac{2}{a}$

নির্ণেয় মান : $\frac{2}{\mathrm{a}}$

এখানে $a\ne0$

ত্রিভুজ $PQR$-এ $\angle QPR=x$, $\angle PQR=y$. $QR$ বাহু $R$-এর পরে বর্ধিত এবং $R$-এ সংশ্লিষ্ট বহিঃকোণ $z$

চিত্রে হতে, $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}$

বামপক্ষ $=\cos ^2 x+\cos ^2 y+\cos ^2 z $

$ =\frac{1}{2}\left(2 \cos ^2 x+2 \cos ^2 y\right)+\cos ^2 z $

$ =\frac{1}{2}(1+\cos 2 x+1+\cos 2 y)+\cos ^2 z $

$ =\frac{1}{2} \cdot 2+\frac{1}{2}(\cos 2 x+\cos 2 y)+\cos ^2 z $

$=1+\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{2 x+2 y}{2} \cdot \cos \frac{2 x-2 y}{2}+\cos ^2 z $

$= 1+\cos (x+y) \cdot \cos (x-y)+\cos ^2 z $

$= 1+\cos z \cdot \cos (x-y)+\cos ^2 z $

$ =1+\cos z[\cos (x-y)+\cos z] $

$=1+\cos z \cdot 2 \cos \frac{x-y+z}{2} \cdot \cos \frac{x-y-z}{2} $

$=1+2 \cos z \cdot \cos \left(\frac{x-y+x+y}{2}\right) \cdot \cos \left(\frac{x-y-x-y}{2}\right) $

$=1+2 \cos z \cdot \cos x \cdot \cos (-y) $

$= 1+2 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos z $

= ডানপক্ষ

$ \therefore \cos ^2 x+\cos ^2 y+\cos ^2 z=1+2 \cos x \cdot \cos y \cdot \cos z \cdot $ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $g(x)=\frac{x}{(x-1)\left(x^2+1\right)}$

$\therefore \int g(x)\,dx =\int \frac{x}{(x-1)\left(x^2+1\right)} d x=\int \frac{(x-1)+1}{(x-1)\left(x^2+1\right)} d x $

$ =\int\left(\frac{1}{x^2+1}+\frac{1}{(x-1)\left(x^2+1\right)}\right) d x $

$ =\int \frac{1}{x^2+1} d x+\int \frac{1}{(x-1)\left(x^2+1\right)} d x $

$ =\tan ^{-1} x+\int \frac{1}{(x-1)\left(x^2+1\right)} d x $

$ =\tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \int\left\{\frac{1}{x-1}-\frac{x+1}{x^2+1}\right\} d x$

$ =\tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \int \frac{d x}{x-1}-\frac{1}{2} \int \frac{x+1}{x^2+1} d x $

$ =\tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{2} \int \frac{x+1}{x^2+1} d x $

$ =\tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{2} \int \frac{x}{x^2+1} d x-\frac{1}{2} \int \frac{1}{x^2+1} d x $

$ =\tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \int \frac{2 x}{x^2+1} d x-\frac{1}{2} \tan ^{-1} x $

$ =\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \ln \left|x^2+1\right|+c $

নির্ণেয় যোজিত ফল : $\frac{1}{2} \tan ^{-1} x+\frac{1}{2} \ln |x-1|-\frac{1}{4} \ln \left|x^2+1\right|+c$.