ধরি, $P=\left(\begin{matrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{matrix}\right)$

$P$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি হবে যদি $P^2=I$ হয়

এখন, $\mathrm{P}^2=\mathrm{P} . \mathrm{P}$

$=\left(\begin{matrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{matrix}\right) $

$=\left(\begin{matrix}4-3 & 6-6 \\ -2+2 & -3+4\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right)=I$

যেহেতু $\mathrm{P}^2=I$

সুতরাং, $\left(\begin{matrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{matrix}\right)$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতি.

প্রশ্নমতে, $\mathrm{CX}^{\mathrm{T}}=\mathrm{D}^{\mathrm{T}}$

বা, $\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)\left[\begin{matrix}x & y & z\end{matrix}\right]^T=\left[\begin{matrix}1 & 2 & 3\end{matrix}\right]^T$

বা, $\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x \\ y \\ z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3\end{matrix}\right)$

$\therefore \quad\left(\begin{matrix}x+2 y+z \\ -x+2 y+0 \cdot z \\ 3 x+4 y+5 z\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3\end{matrix}\right)$

ম্যাট্রিক্সের সমতা অনুসারে, $\mathrm{x}+2 \mathrm{y}+\mathrm{z}=1$,

$-x+2 y+0 \cdot z =2 $ এবং

$3 x+4 y+5 z =3$

$x, y$ ও $z$ এর সহগ গুচ্ছ নিয়ে গঠিত নির্ণায়ক,

$ D=\left|\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right| $

$=1(10-0)-2(-5-0)+1(-4-6) $

$=10+10-10=10$

এখন, $\mathrm{D}_{\mathrm{x}}=\left|\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ 2 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right|$

$=1(10-0)-2(10-0)+1(8-6) $

$ =10-20+2=-8$

$D_y =\left|\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 3 & 5\end{matrix}\right| $

$ =1(10-0)-1(-5-0)+1(-3-6)$

$=10+5-9=6$

$D_z =\left|\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 4 & 3\end{matrix}\right|$

$=1(6-8)-2(-3-6)+1(-4-6) $

$ =-2+18-10=6$

$ \therefore \quad x=\frac{D_x}{D}=\frac{-8}{10}=\frac{-4}{5}, y=\frac{D_y}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} $

এবং $ z=\frac{D_z}{D}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} $

নির্ণেয় সমাধান, $(x, y, z)=\left(-\frac{4}{5}, \frac{3}{5}, \frac{3}{5}\right)$

দেওয়া আছে, $\mathrm{C}=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)$

$\therefore C^T=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 1 \\ -1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 5\end{matrix}\right)^T$

$=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5\end{matrix}\right)$

$ \therefore \left|C^T\right|=\left|\begin{matrix}1 & -1 & 3 \\ 2 & 2 & 4 \\ 1 & 0 & 5\end{matrix}\right| $

$=1(10-0)+1(10-4)+3(0-2)$

$=10+6-6=10$

$\therefore \quad\left(C^{\mathrm{T}}\right)^{-1}$ বিদ্যমান.

Adj $C^T=\left(\begin{matrix}C_{11}^T & C_{12}^T & C^T\{ \}_{13}^T \\ C_{21}^T & C_{22}^T & C^T\{ \}_{23}^T \\ C_{31}^T & C_{32}^T & C^T\{ \}_{33}\end{matrix}\right)^T$

$C^T$ এর সহগুণকসমূহ:

$C^T\{ \}_{11}=\left|\begin{matrix}2 & 4 \\ 0 & 5\end{matrix}\right|$

$=10-0=10 $

$C^T\{ \}_{12}=-\left|\begin{matrix}2 & 4 \\ 1 & 5\end{matrix}\right|$

$=-(10-4)=-6 $

$C^T\{ \}_{13}=\left|\begin{matrix}2 & 2 \\ 1 & 0\end{matrix}\right|$

$=0-2=-2$

$C^T\{ \}_{21}=-\left|\begin{matrix}-1 & 3 \\ 0 & 5\end{matrix}\right|$

$=-(-5-0)=5 $

$C^T\{ \}_{22}=\left|\begin{matrix}1 & 3 \\ 1 & 5\end{matrix}\right|$

$=5-3=2 $

$ C^T\{ \}_{23}=-\left|\begin{matrix}1 & -1 \\ 1 & 0\end{matrix}\right|$

$=-(0+1)=-1$

$C_{31}^T=\left|\begin{matrix}-1 & 3 \\ 2 & 4\end{matrix}\right|$

$=-4-6=-10$

$C_{32}^T=-\left|\begin{matrix}1 & 3 \\ 2 & 4\end{matrix}\right|$

$=-(4-6)=2 $

$C_{33}^T=\left|\begin{matrix}1 & -1 \\ 2 & 2\end{matrix}\right|$

$=2+2=4$

$ Adj C^T=\left(\begin{matrix}10 & -6 & -2 \\ 5 & 2 & -1 \\ -10 & 2 & 4\end{matrix}\right)^T$

$=\left(\begin{matrix}10 & 5 & -10 \\ -6 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4\end{matrix}\right) $

$ \therefore \quad\left(C^T\right)^{-1}=\frac{1}{\left|C^T\right|} \operatorname{Adj} C^T $

$=\frac{1}{10}\left(\begin{matrix}10 & 5 & -10 \\ -6 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & 4\end{matrix}\right) $

$=\left(\begin{matrix}\frac{10}{10} & \frac{5}{10} & \frac{-10}{10} \\ \frac{-6}{10} & \frac{2}{10} & \frac{2}{10} \\ \frac{-2}{10} & \frac{-1}{10} & \frac{4}{10}\end{matrix}\right)$

$=\left(\begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{matrix}\right)$

নির্ণেয় $\left(C^T\right)^{-1}=\left(\begin{matrix}1 & \frac{1}{2} & -1 \\ -\frac{3}{5} & \frac{1}{5} & \frac{1}{5} \\ -\frac{1}{5} & -\frac{1}{10} & \frac{2}{5}\end{matrix}\right)$

বামপক্ষ = $=\left|\begin{matrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{matrix}\right| $

$=\left|\begin{matrix}0 & a-b & a^2-b^2 \\ 0 & b-c & b^2-c^2 \\ 1 & c & c^2\end{matrix}\right|$

$\left[\begin{matrix}r_1{ }^{\prime}=r_1-r_2 \\ r_2{ }^{\prime}=r_2-r_3\end{matrix}\right] $

$=\left|\begin{matrix}a-b & a^2-b^2 \\ b-c & b^2-c^2\end{matrix}\right| $

$=(a-b)(b-c)\left|\begin{matrix}1 & a+b \\ 1 & b+c\end{matrix}\right| $

$=(a-b)(b-c)(b+c-a-b) $

$=(a-b)(b-c)(c-a)=$ ডানপক্ষ

$\therefore\left|\begin{matrix}1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2\end{matrix}\right|$

$=(a-b)(b-c)(c-a)$. (দেখানো হলো)

আমরা জানি, M ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ, $\mathrm{y}=\mathrm{mx}+\mathrm{c}$

$\therefore \quad-1$ ঢালবিশিষ্ট রেখার সমীকরণ, $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+\mathrm{c}$

বা, $x+y-c=0$ .......... (i)

$(0,0)$ হতে (i) নং রেখার দূরত্ব $=\frac{|0+0-c|}{\sqrt{1^2+1^2}}=\frac{|-c|}{\sqrt{2}}$

প্রশ্নমতে, $\frac{|-\mathrm{c}|}{\sqrt{2}}=2$

বা, $c= \pm 2 \sqrt{2}$

(i) নং সমীকরণে C এর মান বসিয়ে পাই, $\mathrm{x}+\mathrm{y} \pm 2 \sqrt{2}=0$

নির্ণেয় সমীকরণ, $x+y+2 \sqrt{2}=0$ অথবা $x+y-2 \sqrt{2}=0$.

$M(-3,-1)$ থেকে $N(9,5)$ পর্যন্ত রেখাংশের উপর ক্রম $M,P,Q,N$; $P,Q$ তার সমত্রিখণ্ডক বিন্দু. $O$ মূলবিন্দু

MN কে সমত্রিখন্ডনকারী বিন্দুদ্বয় P ও Q.

P, MN কে 1 : 2 অনুপাতে অন্তঃবিভক্ত করে,

$\therefore \quad \mathrm{P}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$=\left(\frac{1 \cdot 9+2 \cdot(-3)}{1+2}, \frac{1 \cdot 5+2 \cdot(-1)}{1+2}\right) $

$ =\left(\frac{3}{3}, \frac{3}{3}\right)=\mathrm{P}(1,1) $

Q, PN এর মধ্যবিন্দু,

$ \therefore \quad \mathrm{Q} $ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $=\mathrm{Q}\left(\frac{1+9}{2}, \frac{1+5}{2}\right)=(5,3) $

$\therefore \quad \triangle \mathrm{OQP} $ এর ক্ষেত্রফল $ =\frac{1}{2}\left|\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ 5 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right| $ বর্গ একক

$=\frac{1}{2}(5-3)$ বর্গ একক

$ =\frac{1}{2} \times 2=1$ র্গ একক

নির্ণেয় ক্ষেত্রফল 1 বর্গ একক.

ধরি, $(4, 3)$ কেন্দ্র এবং $r$ ব্যাসার্ধবিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ:

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = r^2 \dots \dots (i)$

যেহেতু বৃত্তটি $5x - 12y + 3 = 0$ রেখাকে স্পর্শ করে, সেহেতু কেন্দ্র $(4, 3)$ হতে উক্ত রেখার লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $r$ এর সমান হবে.

$\therefore r = \left\vert\{\} \frac{5(4) - 12(3) + 3}{\sqrt{5^2 + (-12)^2}} \right\vert\{\}$

$\Rightarrow r = \left\vert\{\} \frac{20 - 36 + 3}{\sqrt{25 + 144}} \right\vert\{\}$

$\Rightarrow r = \left\vert\{\} \frac{-13}{\sqrt{169}} \right\vert\{\} = \left\vert\{\} \frac{-13}{13} \right\vert\{\} = \vert\{\}-1\vert\{\} = 1$

এখন, $(i)$ নং সমীকরণে $r = 1$ বসিয়ে পাই,

$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 1^2$

$\Rightarrow x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9 - 1 = 0$

$\therefore x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2 + y^2 - 8x - 6y + 24 = 0$.

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ:

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \dots \dots (1)$

বৃত্তটি $A(0, -2)$ বিন্দুগামী,

$\therefore 0^2 + (-2)^2 + 2g(0) + 2f(-2) + c = 0$

$\Rightarrow 4 - 4f + c = 0 \dots \dots (2)$

আবার, বৃত্তটি $B(-2, 0)$ বিন্দুগামী,

$\therefore (-2)^2 + 0^2 + 2g(-2) + 2f(0) + c = 0$

$\Rightarrow 4 - 4g + c = 0 \dots \dots (3)$

দেওয়া আছে, বৃত্তটি $x$-অক্ষকে স্পর্শ করে. সুতরাং আমরা জানি, $g^2 = c$.

$(3)$ নং সমীকরণে $c = g^2$ বসিয়ে পাই,

$4 - 4g + g^2 = 0$

$\Rightarrow (g - 2)^2 = 0$

$\therefore g = 2$

$g$ এর মান বসিয়ে পাই, $c = g^2 = 2^2 = 4$.

$c = 4$ মানটি $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$4 - 4f + 4 = 0$

$\Rightarrow 8 - 4f = 0$

$\therefore f = 2$

এখন $g, f$ ও $c$ এর মান $(1)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x^2 + y^2 + 2(2)x + 2(2)y + 4 = 0$

$\therefore x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ $x^2 + y^2 + 4x + 4y + 4 = 0$.

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ,

$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$

$\Rightarrow x^2 + y^2 + 2(-1)x + 2(-2)y + 1 = 0 \dots \dots (1)$

এখানে, $g = -1, f = -2$ এবং $c = 1$.

$\therefore$ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-g, -f) = (1, 2)$

এবং ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$ একক.

ধরি, $B(-2, 0)$ বিন্দুগামী এবং $m$ ঢালবিশিষ্ট স্পর্শকের সমীকরণ:

$y - 0 = m(x - (-2))$

$\Rightarrow y = m(x + 2)$

$\Rightarrow mx - y + 2m = 0 \dots \dots (2)$

যেহেতু $(2)$ নং রেখাটি বৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই কেন্দ্র $(1, 2)$ হতে স্পর্শকের লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধের সমান হবে.

প্রশ্নমতে,

$\frac{\vert\{\}m(1) - 2 + 2m\vert\{\}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$\Rightarrow \frac{\vert\{\}3m - 2\vert\{\}}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$\frac{(3m - 2)^2}{m^2 + 1} = 4$

$\Rightarrow 9m^2 - 12m + 4 = 4m^2 + 4$

$\Rightarrow 9m^2 - 4m^2 - 12m = 0$

$\Rightarrow 5m^2 - 12m = 0$

$\Rightarrow m(5m - 12) = 0$

হয়, $m = 0$

অথবা, $5m - 12 = 0 \Rightarrow m = \frac{12}{5}$

এখন, $m$ এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

যখন $m = 0$,

$0\cdot x - y + 2(0) = 0 \Rightarrow y = 0$

যখন $m = \frac{12}{5}$,

$\frac{12}{5}x - y + 2\left(\frac{12}{5}\right) = 0$

$\Rightarrow 12x - 5y + 24 = 0$ (উভয়পক্ষকে $5$ দ্বারা গুণ করে)

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ $y = 0$ অথবা $12x - 5y + 24 = 0$.

দেওয়া আছে, $l=\sqrt{\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2-\sqrt{2} \mathrm{mn}}$

বা, $l^2=m^2+n^2-\sqrt{2} m n$ [বর্গ করে]

বা, $\mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2-l^2=\sqrt{2} \mathrm{mn}$

বা, $\frac{m^2+n^2-l^2}{m n}=\sqrt{2}$

বা, $\frac{m^2+n^2-l^2}{2 m n}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ [উভয়পক্ষে 2 নারা ভাগ করে]

বা, $\cos L=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos \mathrm{L}=\cos 45^{\circ}$

$\therefore \mathbf{L}=45^{\circ}$

আমরা জানি,

$ \angle \mathrm{M}+\angle \mathrm{N}+\angle \mathrm{L}=180^{\circ} $

বা, $ \angle \mathrm{M}+\angle \mathrm{N}=180^{\circ}-\angle \mathrm{L} $

$\therefore \angle \mathrm{M}+\angle \mathrm{N}=180^{\circ}-45^{\circ}=135^{\circ} $

নির্ণেয় মান $135^{\circ}$.

দেওয়া আছে, $e^{x y}-2 x y=5$

উভয়পক্ষকে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$ \frac{d}{d x}\left(e^{x y}-2 x y\right)=\frac{d}{d x}(5)$

বা, $\frac{d}{d x}\left(e^{x y}\right)-2 \frac{d}{d x}(x y)=0$

বা, $e^{x y} \cdot \frac{d}{d x}(x y)-2\left(y \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \cdot \frac{d}{d x}(y)\right)=0$

বা, $e^{x y}\left(y \cdot \frac{d}{d x}(x)+x \frac{d}{d x}(y)\right)-2\left(y+x \frac{d y}{d x}\right)=0$

বা, $e^{x y}\left(y+x \cdot \frac{d y}{d x}\right)-2\left(y+x \frac{d y}{d x}\right)=0$

বা, $\left(y+x \frac{d y}{d x}\right)\left(e^{x y}-2\right)=0$

বা, $\frac{d y}{d x}\left(x e^{x y}-2 x\right)=2 y-y e^{x y}$

$\therefore \quad \frac{d y}{d x}=\frac{2 y-y e^{x y}}{x e^{x y}-2 x}$

নির্ণেয় $\frac{d y}{d x}=\frac{2 y-y e^{x y}}{x e^{x y}-2 x}$.

দেওয়া আছে, $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}^3+x y^2-3 x^2+4 x+3 y$

এখন, $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=0$ হলে, $\mathrm{x}^3+\mathrm{xy}^2-3 \mathrm{x}^2+4 \mathrm{x}+3 \mathrm{y}=0 $

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$ \frac{d}{d x}\left(x^3+x y^2-3 x^2+4 x+3 y\right)=0$

বা, $3 x^2+y^2+2 x y \frac{d y}{d x}-6 x+4+3 \frac{d y}{d x}=0$

বা, $\frac{d y}{d x}(2 x y+3)=-3 x^2-y^2+6 x-4$

বা, $\frac{d y}{d x}=\frac{-3 x^2-y^2+6 x-4}{2 x y+3}$

$\therefore (1,-1)$ বিন্দুতে, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{-3-1+6-4}{-2+3}=-2$

$\therefore(1,-1)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল,

$\mathrm{m}_{\perp}=-\frac{1}{\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}}=\frac{1}{2}$

$(1,-1)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ,

$ y+1=\frac{1}{2}(x-1)$

বা, $2 y+2=x-1$

বা, $x-2 y-3=0$

নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, $x-2 y-3=0$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{p}=4-\mathrm{x}^2$

এখন, $\int \frac{4-p}{p} d x =\int\left(\frac{4}{p}-\frac{p}{p}\right) d x $

$=\int\left(\frac{4}{p}-1\right) d x=\int \frac{4}{p} d x-\int d x $

$ =\int \frac{4}{4-x^2} d x-\int 1 d x $

$= 4 \int \frac{d x}{2^2-x^2}-\int 1 d x $

$= 4 \times \frac{1}{2 \times 2} \ln \left|\frac{2+x}{2-x}\right|-x+c $

$\left[\because \int \frac{d x}{a^2-x^2}=\frac{1}{2 a} \ln \left|\frac{a+x}{a-x}\right|+c\right] $

$= \ln \left|\frac{2+x}{2-x}\right|-x+c $

$\therefore \int \frac{4-p}{p} d x= \ln \left|\frac{2+x}{2-x}\right|-x+c .$