$\left[\begin{matrix}5 & 6 \\ x & -3\end{matrix}\right]$ ম্যাট্রিক্সটি বিপরীতযোগ্য না হলে, $\left|\begin{matrix}5 & 6 \\ x & -3\end{matrix}\right|=0$ হবে .

অর্থাৎ, $\left|\begin{matrix}5 & 6 \\ x & -3\end{matrix}\right|=0$

বা, $5 \times(-3)-\mathrm{x} \times 6=0$

বা, $-15-6 x=0$

বা, $-6 x=15$

বা, $x=\frac{15}{-6}$

$\therefore \quad \mathrm{x}=-\frac{5}{2}$

নির্ণেয় মান : $x=-\frac{5}{2}$.

$A(9,0)$ ও $B(0,7)$-এর রেখাংশে $M$ অবস্থিত; $AM:MB=2:3$

এখানে, $\mathrm{AM}: \mathrm{MB}=2: 3$

অর্থাৎ, $M$ বিন্দু $AB$ কে $2:3$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে.

$\therefore \quad \mathbf{M}$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক

$=\left(\frac{2 \cdot 0+3 \cdot 9}{2+3}, \frac{2 \cdot 7+3 \cdot 0}{2+3}\right) $

$ =\left(\frac{27}{5}, \frac{14}{5}\right)$

AB রেখার ঢাল $=\frac{0-7}{9-0}=\frac{-7}{9}$

AB এর সাথে লম্বরেখার ঢাল $=\frac{-1}{-\frac{7}{9}}=\frac{9}{7}$

$\mathrm{M}\left(\frac{27}{5}, \frac{14}{5}\right)$ বিন্দুগামী ও $\frac{9}{7}$ ঢালবিশিষ্ট সরলরেখার সমীকরণ,

$y-\frac{14}{5}=\frac{9}{7}\left(x-\frac{27}{5}\right)$

বা, $7(5 y-14)=5 \times 9\left(x-\frac{27}{5}\right)$

বা, $35 y-98=45 x-243$

বা, $45 x-35 y-145=0$

বা, $9 x-7 y-29=0$

নির্ণেয় লম্বরেখার সমীকরণ, $9 \mathrm{x}-7 \mathrm{y}-29=0$.

দেওয়া আছে, $5 x-3 y-1=0$

বা, $5 x-3 y=1$

বা, $\frac{x}{\frac{1}{5}}+\frac{y}{\frac{-1}{3}}=1$

রেখাটি $x$ অক্ষকে $\mathrm{A}\left(\frac{1}{5}, 0\right)$ এবং $y$ অক্ষকে $\mathrm{B}\left(0, \frac{-1}{3}\right)$ বিন্দুতে ছেদ করে.

$\therefore \mathrm{AB}$ এর মধ্যবিন্দু $=\left(\frac{\frac{1}{5}+0}{2}, \frac{0-\frac{1}{3}}{2}\right)=\left(\frac{1}{10}, \frac{-1}{6}\right)$

নির্ণেয় অক্ষদ্বয়ের মধ্যবর্তী খন্ডিত অংশের মধ্যবিন্দু $\left(\frac{1}{10}, \frac{-1}{6}\right)$.

প্রদত্ত রেখাদ্বয়, $2 x+3 y+6=0$ ........ (i)

$3 x+2 y-6=0$ ........ (ii)

এখানে, $a_1 a_2+b_1 b_2=2.3+3.2=12>0$

$\therefore $ (i) ও (ii) এর মধ্যবর্তী স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক

$\frac{2 x+3 y+6}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{3 x+2 y-6}{\sqrt{3^2+2^2}}$

বা, $2 x+3 y+6=3 x+2 y-6$

বা, $-x+y=-12$

বা, $\mathrm{y}=\mathrm{x}-12$

$\therefore$ ঢাল, $\mathrm{m}=1$

অর্থাৎ, $\tan \theta=1$

বা, $\tan \theta=\tan 45^{\circ}$

$\therefore \theta=45^{\circ}$

$\therefore$ স্থূলকোণের সমদ্বিখন্ডক $x$ অক্ষের সাথে 45° এবং $y$ অক্ষের সাথে $90°-45° = 45°$ কোণ উৎপন্ন করে.

অর্থাৎ, $y$ অক্ষের সাথে 45° কোণ উৎপন্ন করে.

দুই উল্লম্ব সমান্তরাল রেখার মধ্যবর্তী দুটি বৃত্তই রেখাদ্বয় এবং $X$-অক্ষকে স্পর্শ করে; একটি $X$-অক্ষের উপরে, অন্যটি নিচে

দেওয়া আছে, রেখাগুলো হলো:
$x = 2 \dots (1)$
$x = 6 \dots (2)$
$y = 0 \dots (3)$

$(1)$ ও $(2)$ নং রেখাদ্বয় $y$-অক্ষের সমান্তরাল এবং এদের মধ্যবর্তী দূরত্বই হবে বৃত্তের ব্যাস.
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাস $= 6 - 2 = 4$
$\therefore$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ, $a = \frac{4}{2} = 2$

বৃত্তটির কেন্দ্রের ভুজ ($h$) হবে $x = 2$ ও $x = 6$ রেখাদ্বয়ের ঠিক মাঝখানে.
$\therefore h = \frac{2 + 6}{2} = 4$

যেহেতু বৃত্তটি $y = 0$ (অর্থাৎ $x$-অক্ষ) রেখাকে স্পর্শ করে, তাই এর কেন্দ্রের কোটি ($k$)-এর পরমমান ব্যাসার্ধের সমান হবে.
$\therefore \vert\{\}k\vert\{\} = a = 2 \implies k = \pm 2$

তাহলে, বৃত্তটির কেন্দ্র $(4, 2)$ অথবা $(4, - 2)$ এবং ব্যাসার্ধ $2$.

ক্ষেত্র ১: কেন্দ্র $(4, 2)$ হলে বৃত্তের সমীকরণ,

$(x - 4)^2 + (y - 2)^2 = 2^2$

$\implies x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = 4$

$\implies x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$

ক্ষেত্র ২: কেন্দ্র $(4, - 2)$ হলে বৃত্তের সমীকরণ,

$(x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 2^2$

$\implies x^2 - 8x + 16 + y^2 + 4y + 4 = 4$

$\implies x^2 + y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ:
$x^2 + y^2 - 8x - 4y + 16 = 0$ অথবা $x^2 + y^2 - 8x + 4y + 16 = 0$

বামপক্ষ $=\sin 33^{\circ}+\cos 33^{\circ} $

$=\sin 33^{\circ}+\cos \left(90^{\circ}-57^{\circ}\right)$

$=\sin 33^{\circ}+\sin 57^{\circ} $

$=2 \sin 45^{\circ} \cos 12^{\circ} $

$=2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \cos 12^{\circ} $

$=\sqrt{2} \cos 12^{\circ}=$ ডানপক্ষ

$ \therefore \quad \sin 33^{\circ} +\cos 33^{\circ}=\sqrt{2} \cos 12^{\circ} . $ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$ \mathrm{A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi, f(\mathrm{x})=\sin \mathrm{x} $

$\therefore f(4 \mathrm{~A})=\sin 4 \mathrm{~A}, f(4 \mathrm{~B})=\sin 4 \mathrm{~B}, f(4 \mathrm{C})=\sin 4 \mathrm{C} $

$ f(2 \mathrm{~A})=\sin 2 \mathrm{~A}, f(2 \mathrm{~B})=\sin 2 \mathrm{~B}, f(2 \mathrm{C})=\sin 2 \mathrm{C} $

বামপক্ষ $=f(4 \mathrm{~A})+f(4 \mathrm{~B})+f(4 \mathrm{C}) $

$=\sin 4 \mathrm{~A}+\sin 4 \mathrm{~B}+\sin 4 \mathrm{C} $

$=2 \sin (2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B}) \cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})+\sin 4 \mathrm{C} $

$=2 \sin (2 \pi-2 \mathrm{C}) \cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})+\sin 4 \mathrm{C}$

$=-2 \sin 2 \mathrm{C} \cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})+\sin 2.2 \mathrm{C} $

$=-2 \sin 2 \mathrm{C} \cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})+2 \sin 2 \mathrm{C} \cos 2 \mathrm{C} $

$ =-2 \sin 2 \mathrm{C}[\cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})-\cos 2 \mathrm{C}] $

$=-2 \sin 2 \mathrm{C}[\cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})-\cos \{2 \pi-(2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B})\}] $

$=-2 \sin 2 \mathrm{C}[\cos (2 \mathrm{~A}-2 \mathrm{~B})-\cos (2 \mathrm{~A}+2 \mathrm{~B})] $

$ =-2 \sin 2 \mathrm{C} .2 \sin 2 \mathrm{~A} \sin 2 \mathrm{~B} $

$=-4 \sin 2 \mathrm{~A} \sin 2 \mathrm{~B} \sin 2 \mathrm{C} $

$=-4 f(2 \mathrm{~A}) f(2 \mathrm{~B}) f(2 \mathrm{C}) $

= ডানপক্ষ

$\therefore \quad f(4 \mathrm{~A}) +f(4 \mathrm{~B})+f(4 \mathrm{C})$ $=-4 f(2 \mathrm{~A}) f(2 \mathrm{~B}) f(2 \mathrm{C}) $ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

বামপক্ষ $=b^4+c^4+a^4-\sqrt{3} b^2 c^2 $

$ =\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2+\left(-a^2\right)^2+2 b^2 c^2-2 a^2 b^2-2 c^2 a^2 $

$ -\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2 c^2+2 a^2 b^2 $

$ =\left(b^2+c^2-a^2\right)^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$ =\left(\frac{b^2+c^2-a^2}{2 b c} \times 2 b c\right)^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$ =(\cos A \times 2 b c)^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$ =\left(\cos 15^{\circ} \times 2 b c\right)^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$ =\left(\frac{\sqrt{3}+1}{2 \sqrt{2}}\right)^2 \times 4 b^2 c^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$=\frac{3+1+2 \sqrt{3}}{4 \times 2} \times 4 b^2 c^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$=(2+\sqrt{3}) b^2 c^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$=2 b^2 c^2+\sqrt{3} b^2 c^2-\sqrt{3} b^2 c^2-2 b^2 c^2+2 a^2\left(b^2+c^2\right) $

$=2 a^2\left(b^2+c^2\right)=$ ডানপক্ষ

$ \therefore \quad b^4 +c^4+a^4-\sqrt{3} b^2 c^2 $ $=2 a^2\left(b^2+c^2\right) $ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $f(\mathbf{x})=\mathrm{e}^{\mathrm{x}}$,

$\therefore f(\sqrt{3} \mathrm{x})=\mathrm{e}^{\sqrt{3} \mathrm{x}}$

ধরি, $g(x)=e^{\sqrt{3} x} \therefore g(x+h)=e^{\sqrt{3}(x+h)}=e^{\sqrt{3} x} \cdot e^{\sqrt{3} h}$

অন্তরজের সংজ্ঞা থেকে পাই,

$\frac{d}{d x}\{g(x)\} =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{g(x+h)-g(x)}{h} $

$\therefore \frac{d}{d x}\left(e^{\sqrt{3} x}\right) =\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{3}(x+h)}-e^{\sqrt{3} x}}{h} $

$=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{3} x} \cdot e^{\sqrt{3} h}-e^{\sqrt{3} x}}{h}=e^{\sqrt{3} x} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{e^{\sqrt{3} h}-1}{h} $

$=e^{\sqrt{3} x} \lim _{h \rightarrow 0} \frac{1}{h}\left\{\left(1+\sqrt{3} h+\frac{(\sqrt{3})^2 h^2}{2!}+\frac{(\sqrt{3})^3 h^3}{3!}+\ldots . .\right)-1\right\} $

$=e^{\sqrt{3} x} \lim _{h \rightarrow 0}\left(\sqrt{3}+\frac{(\sqrt{3})^2 h}{2!}+\frac{(\sqrt{3})^3 h^2}{3!}+\ldots \ldots . .\right) $

$=e^{\sqrt{3} x} \cdot \sqrt{3}=\sqrt{3} e^{\sqrt{3} x} $

$\therefore \frac{d}{d x}\left(e^{\sqrt{3} x}\right) =\sqrt{3} e^{\sqrt{3} x} .$

ধরি, $\mathrm{y}=(\mathrm{x})^{\frac{1}{3 \mathrm{x}}}$

উভয়পক্ষে $ln$ নিয়ে পাই,

বা, $\ln y=\ln x^{\frac{1}{3 x}}=\frac{1}{3 x} \ln x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

বা, $\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}(\ln \mathrm{x})+\ln \mathrm{x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{1}{3 \mathrm{x}}\right)$

বা, $\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}} \cdot \frac{1}{\mathrm{x}}+\frac{1}{3} \cdot \ln \mathrm{x}\left(-\frac{1}{\mathrm{x}^2}\right)$

বা, $\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1}{3 \mathrm{x}^2}-\frac{\ln \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}^2}$

বা, $\frac{1}{\mathrm{y}} \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=\frac{1-\ln \mathrm{x}}{3 \mathrm{x}^2}$.

বা, $\frac{d y}{d x}=y\left(\frac{1-\ln x}{3 x^2}\right)$

$\therefore \frac{d}{d x}(x)^{\frac{1}{3 x}}=x^{\frac{1}{3 x}}\left(\frac{1-\ln x}{3 x^2}\right)$

বাস্তব লগারিদমিক পদ্ধতিতে $x>0$

প্রদত্ত বক্ররেখা, $f(x)=2 x^3-3 x^2-6 x+20$

ধরি, $\mathrm{y}=f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}^3-3 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}+20$

বক্রেরখাটি $y$ অক্ষকে ছেদ করলে, $\mathrm{x}=0$

$ \therefore y=2(0)^3-3(0)^2-6(0)+20 $

$ \therefore y=20 $

অর্থাৎ, বক্ররেখাটি $y$ অক্ষকে $(0,20)$ বিন্দুতে ছেদ করে.

এখন, $\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=2.3 \mathrm{x}^2-3.2 \mathrm{x}-6.1+0$ $=6 \mathrm{x}^2-6 \mathrm{x}-6=6\left(\mathrm{x}^2-\mathrm{x}-1\right)$

$\therefore(0,20)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের ঢাল, $m=\frac{d y}{d x}=6(0-0-1)=-6$

$(0,20)$ বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শকের সমীকরণ, $\mathrm{y}-20=-6(\mathrm{x}-0)$

বা, $y-20=-6 x$

$\therefore 6 \mathrm{x}+\mathrm{y}-20=0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণ : $6 x+y-20=0$

ধরি, $x^2=z$

বা, $2 x d x=d z$

$\therefore x d x=\frac{d z}{2}$

$\int 6 x e^{x^2} d x $

$=\int 6 e^z \frac{d z}{2} $

$=3 \int e^z d z $

$=3 e^z+c$

$=3 e^{x^2}$

$ \therefore \int 6 x e^{x^2} d x=3 e^{x^2}+c$

নির্ণেয় মান : $ 3 e^{x^2}+c$