ধরি, প্রদত্ত ম্যাট্রিক্স $B = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix}$

আমরা জানি, কোনো ম্যাট্রিক্স $B$ অভেদঘাতী (Involutory) হবে যদি $B^2 = I$ হয়, যেখানে $I$ একটি অভেদক ম্যাট্রিক্স.

$B^2 = B \times B$

$B^2 = \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix}$

$B^2 = \begin{bmatrix} (4 \times 4) + (-1 \times 15) & (4 \times -1) + (-1 \times -4) \\ (15 \times 4) + (-4 \times 15) & (15 \times -1) + (-4 \times -4) \end{bmatrix}$

$B^2 = \begin{bmatrix} 16 - 15 & -4 + 4 \\ 60 - 60 & -15 + 16 \end{bmatrix}$

$B^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

যেহেতু $B^2 = I$, সুতরাং $\begin{bmatrix} 4 & -1 \\ 15 & -4 \end{bmatrix}$ একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স. (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$

প্রথমে $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক $\vert\{\}A\vert\{\}$ বের করতে হবে:

$\vert\{\}A\vert\{\} = 1(0 - 3) - 1(-1 - 0) + 2(-1 - 0)$

$\vert\{\}A\vert\{\} = 1(-3) - 1(-1) + 2(-1)$

$\vert\{\}A\vert\{\} = -3 + 1 - 2 = -4$

যেহেতু $\vert\{\}A\vert\{\} \neq 0$, তাই $A^{-1}$ নির্ণয়যোগ্য.

এখন $A$ এর সহগুণক (Cofactor) গুলো বের করি:

$A_{11} = +(0 - 3) = -3$

$A_{12} = -(-1 - 0) = 1$

$A_{13} = +(-1 - 0) = -1$

$A_{21} = -(1 - 2) = 1$

$A_{22} = +(1 - 0) = 1$

$A_{23} = -(1 - 0) = -1$

$A_{31} = +(3 - 0) = 3$

$A_{32} = -(3 - (-2)) = -5$

$A_{33} = +(0 - (-1)) = 1$

সহগুণক ম্যাট্রিক্স, $C = \begin{bmatrix} -3 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 \\ 3 & -5 & 1 \end{bmatrix}$

অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স, $\text{adj}(A) = C^T = \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

অতএব, বিপরীত ম্যাট্রিক্স $A^{-1} = \frac{1}{\vert\{\}A\vert\{\}} \text{adj}(A)$

$A^{-1} = -\frac{1}{4} \begin{bmatrix} -3 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & -5 \\ -1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$

দেওয়া আছে, $\vert\{\}Q\vert\{\} = 0$

$\vert\{\}Q\vert\{\} = \begin{vmatrix} l & l^2 & 1+l^3 \\ m & m^2 & 1+m^3 \\ n & n^2 & 1+n^3 \end{vmatrix}$

নির্ণায়কের ধর্ম অনুযায়ী ৩য় কলামটিকে দুটি নির্ণায়কের যোগফল রূপে লেখা যায়:

$\vert\{\}Q\vert\{\} = \begin{vmatrix} l & l^2 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ n & n^2 & 1 \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} l & l^2 & l^3 \\ m & m^2 & m^3 \\ n & n^2 & n^3 \end{vmatrix}$

দ্বিতীয় নির্ণায়কের ১ম, ২য় ও ৩য় সারি থেকে যথাক্রমে $l$, $m$ ও $n$ কমন নিয়ে পাই:

$\vert\{\}Q\vert\{\} = \begin{vmatrix} l & l^2 & 1 \\ m & m^2 & 1 \\ n & n^2 & 1 \end{vmatrix} + lmn \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

প্রথম নির্ণায়কের কলামগুলোর স্থান পরিবর্তন করি ($C_2 \leftrightarrow C_3$ এবং তারপর $C_1 \leftrightarrow C_2$):

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (-1)^2 \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix} + lmn \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn) \begin{vmatrix} 1 & l & l^2 \\ 1 & m & m^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

এখন $R_1' = R_1 - R_2$ এবং $R_2' = R_2 - R_3$ প্রয়োগ করে পাই:

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn) \begin{vmatrix} 0 & l-m & l^2-m^2 \\ 0 & m-n & m^2-n^2 \\ 1 & n & n^2 \end{vmatrix}$

১ম কলাম বরাবর বিস্তার করে:

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn) \cdot 1 \cdot \begin{vmatrix} l-m & l^2-m^2 \\ m-n & m^2-n^2 \end{vmatrix}$

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn) \begin{vmatrix} l-m & (l-m)(l+m) \\ m-n & (m-n)(m+n) \end{vmatrix}$

১ম সারি থেকে $(l-m)$ এবং ২য় সারি থেকে $(m-n)$ কমন নিয়ে:

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn)(l-m)(m-n) \begin{vmatrix} 1 & l+m \\ 1 & m+n \end{vmatrix}$

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn)(l-m)(m-n) (m+n - l - m)$

$\vert\{\}Q\vert\{\} = (1 + lmn)(l-m)(m-n)(n-l)$

প্রশ্নমতে, $\vert\{\}Q\vert\{\} = 0$

সুতরাং, $(1 + lmn)(l-m)(m-n)(n-l) = 0$

দেওয়া আছে $l, m, n$ অসমান.

অতএব $l \neq m \Rightarrow l-m \neq 0$

$m \neq n \Rightarrow m-n \neq 0$

$n \neq l \Rightarrow n-l \neq 0$

যেহেতু $(l-m)(m-n)(n-l) \neq 0$,

সেহেতু $1 + lmn = 0$

$\therefore lmn + 1 = 0$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $\triangle ABC$ এর শীর্ষবিন্দুগুলো হলো:

$A(0, 3)$

$B(4, 0)$

$C(3, 5)$

আমরা জানি, $(x_1, y_1)$, $(x_2, y_2)$ এবং $(x_3, y_3)$ শীর্ষবিন্দু বিশিষ্ট ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল $= \frac{1}{2} \vert\{\}x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)\vert\{\}$

অতএব, $\triangle ABC$ এর ক্ষেত্রফল:

$= \frac{1}{2} \vert\{\}0(0 - 5) + 4(5 - 3) + 3(3 - 0)\vert\{\}$

$= \frac{1}{2} \vert\{\}0 + 4(2) + 3(3)\vert\{\}$

$= \frac{1}{2} \vert\{\}0 + 8 + 9\vert\{\}$

$= \frac{1}{2} \vert\{\}17\vert\{\}$

$= \frac{17}{2}$

$= 8.5$ বর্গ একক.

দেওয়া আছে, $A(0, 3)$ এবং $B(4, 0)$.

প্রথমে $AB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি:

$\frac{y - y_1}{y_1 - y_2} = \frac{x - x_1}{x_1 - x_2}$

$\frac{y - 3}{3 - 0} = \frac{x - 0}{0 - 4}$

$\frac{y - 3}{3} = \frac{x}{-4}$

$-4y + 12 = 3x$

$3x + 4y - 12 = 0$ ............ (i)

এখন, $AB$ রেখার উপর লম্ব যেকোনো রেখার সমীকরণ হবে:

$4x - 3y + k = 0$ ............ (ii)

যেহেতু লম্ব রেখাটি $C(3, 5)$ বিন্দু দিয়ে যায়, তাই এই বিন্দুটি (ii) নং সমীকরণকে সিদ্ধ করবে:

$4(3) - 3(5) + k = 0$

$12 - 15 + k = 0$

$k = 3$

$k$ এর মান (ii) নং এ বসিয়ে $C$ বিন্দু হতে $AB$ এর উপর অঙ্কিত লম্ব রেখার সমীকরণ পাই:

$4x - 3y + 3 = 0$ ............ (iii)

এখন (i) ও (iii) নং সমীকরণ সমাধান করলেই লম্বের পাদবিন্দু পাওয়া যাবে.

(i) নং কে ৩ দ্বারা এবং (iii) নং কে ৪ দ্বারা গুণ করে যোগ করি:

$9x + 12y - 36 = 0$

$16x - 12y + 12 = 0$

যোগ করে পাই, $25x - 24 = 0$

$25x = 24$

$x = \frac{24}{25}$

$x$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$3(\frac{24}{25}) + 4y - 12 = 0$

$\frac{72}{25} + 4y = 12$

$4y = 12 - \frac{72}{25}$

$4y = \frac{300 - 72}{25}$

$4y = \frac{228}{25}$

$y = \frac{57}{25}$

সুতরাং, $C$ বিন্দু হতে $AB$ এর উপর অঙ্কিত লম্বের পাদবিন্দু $(\frac{24}{25}, \frac{57}{25})$.

দেওয়া আছে, ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দুগুলো $A(0, 3)$, $B(4, 0)$ এবং $C(3, 5)$.

প্রথমে $CA$ এবং $CB$ রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি.

$CA$ রেখার সমীকরণ:

$\frac{x - 3}{3 - 0} = \frac{y - 5}{5 - 3}$

$\frac{x - 3}{3} = \frac{y - 5}{2}$

$2x - 6 = 3y - 15$

$2x - 3y + 9 = 0$ ........ (i)

$CB$ রেখার সমীকরণ:

$\frac{x - 3}{3 - 4} = \frac{y - 5}{5 - 0}$

$\frac{x - 3}{-1} = \frac{y - 5}{5}$

$5x - 15 = -y + 5$

$5x + y - 20 = 0$ ........ (ii)

(i) ও (ii) নং রেখার অন্তর্ভুক্ত কোণের সমদ্বিখণ্ডকগুলোর সমীকরণ:

$\frac{2x - 3y + 9}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = \pm \frac{5x + y - 20}{\sqrt{5^2 + 1^2}}$

$\frac{2x - 3y + 9}{\sqrt{4 + 9}} = \pm \frac{5x + y - 20}{\sqrt{25 + 1}}$

$\frac{2x - 3y + 9}{\sqrt{13}} = \pm \frac{5x + y - 20}{\sqrt{26}}$

$\frac{2x - 3y + 9}{\sqrt{13}} = \pm \frac{5x + y - 20}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{13}}$

$\sqrt{2}(2x - 3y + 9) = \pm (5x + y - 20)$

'-' (ঋণাত্মক) চিহ্ন নিয়ে পাই:

$2\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}y + 9\sqrt{2} = - (5x + y - 20)$

$2\sqrt{2}x - 3\sqrt{2}y + 9\sqrt{2} = -5x - y + 20$

$(2\sqrt{2} + 5)x - (3\sqrt{2} - 1)y + (9\sqrt{2} - 20) = 0$ ........ (iii)

এখন যাচাই করতে হবে (iii) নং রেখাটি $\angle ACB$ এর অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক কি না. $\angle ACB$ এর অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক রেখাটির সাপেক্ষে $A(0, 3)$ ও $B(4, 0)$ বিন্দুদ্বয় বিপরীত দিকে অবস্থান করবে.

(iii) নং সমীকরণের বামপক্ষে $A(0, 3)$ বসিয়ে পাই:

$= (2\sqrt{2} + 5)(0) - (3\sqrt{2} - 1)(3) + (9\sqrt{2} - 20)$

$= 0 - 9\sqrt{2} + 3 + 9\sqrt{2} - 20$

$= -17$ (যাহা ঋণাত্মক)

(iii) নং সমীকরণের বামপক্ষে $B(4, 0)$ বসিয়ে পাই:

$= (2\sqrt{2} + 5)(4) - (3\sqrt{2} - 1)(0) + (9\sqrt{2} - 20)$

$= 8\sqrt{2} + 20 - 0 + 9\sqrt{2} - 20$

$= 17\sqrt{2}$ (যাহা ধনাত্মক)

যেহেতু $A$ ও $B$ বিন্দুর জন্য প্রাপ্ত মানদ্বয়ের চিহ্ন বিপরীত, তাই বিন্দুদ্বয় রেখাটির বিপরীত পাশে অবস্থিত. সুতরাং, ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে প্রাপ্ত রেখাটিই নির্ণেয় অভ্যন্তরীণ সমদ্বিখণ্ডক.

নির্ণেয় সমীকরণ:

$(2\sqrt{2} + 5)x - (3\sqrt{2} - 1)y + (9\sqrt{2} - 20) = 0$

ধরি, প্রদত্ত ভেক্টরদ্বয়:

$\vec{A} = 2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}$

$\vec{B} = 4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}$

আমরা জানি, দুটি ভেক্টর পরস্পর লম্ব হলে তাদের ডট গুণন (Dot Product) শূন্য হয়.

অর্থাৎ, $\vec{A} \cdot \vec{B} = 0$

$(2\hat{i} + a\hat{j} + \hat{k}) \cdot (4\hat{i} - 2\hat{j} - 2\hat{k}) = 0$

$(2 \times 4) + (a \times -2) + (1 \times -2) = 0$

$8 - 2a - 2 = 0$

$6 - 2a = 0$

$2a = 6$

$a = 3$

সুতরাং, $a$ এর মান $3$.

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, $B$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(-5, 4)$.

প্রদত্ত বৃত্তের সমীকরণ:

$2x^2 + 2y^2 - 4x - 8y + 2 = 0$

উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$x^2 + y^2 - 2x - 4y + 1 = 0$

বৃত্তটির সমীকরণকে সাধারণ সমীকরণ $x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ এর সাথে তুলনা করে পাই:

$2g = -2 \Rightarrow g = -1$

$2f = -4 \Rightarrow f = -2$

$c = 1$

বৃত্তটির কেন্দ্র, $(-g, -f) = (1, 2)$

বৃত্তটির ব্যাসার্ধ, $r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 - 1} = \sqrt{1 + 4 - 1} = \sqrt{4} = 2$

ধরি, $B(-5, 4)$ বিন্দুগামী যেকোনো সরলরেখার ঢাল $m$.

রেখাটির সমীকরণ:

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 4 = m(x - (-5))$

$y - 4 = m(x + 5)$

$y - 4 = mx + 5m$

$mx - y + 5m + 4 = 0$ ........ (i)

যেহেতু (i) নং রেখাটি প্রদত্ত বৃত্তের একটি স্পর্শক, তাই বৃত্তের কেন্দ্র $(1, 2)$ হতে রেখাটির লম্ব দূরত্ব বৃত্তের ব্যাসার্ধ $2$ এর সমান হবে.

শর্তমতে,

$\frac{\vert\{\}m(1) - (2) + 5m + 4\vert\{\}}{\sqrt{m^2 + (-1)^2}} = 2$

$\frac{\vert\{\}6m + 2\vert\{\}}{\sqrt{m^2 + 1}} = 2$

উভয়পক্ষকে ২ দিয়ে ভাগ করে পাই:

$\frac{\vert\{\}3m + 1\vert\{\}}{\sqrt{m^2 + 1}} = 1$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই:

$(3m + 1)^2 = m^2 + 1$

$9m^2 + 6m + 1 = m^2 + 1$

$8m^2 + 6m = 0$

$2m(4m + 3) = 0$

হয়, $2m = 0 \Rightarrow m = 0$

অথবা, $4m + 3 = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{4}$

এখন, (i) নং সমীকরণে $m$ এর মান বসিয়ে পাই:

যখন $m = 0$:

$0 \cdot x - y + 5(0) + 4 = 0$

$-y + 4 = 0$

$y - 4 = 0$

যখন $m = -\frac{3}{4}$:

$-\frac{3}{4}x - y + 5(-\frac{3}{4}) + 4 = 0$

উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$-3x - 4y - 15 + 16 = 0$

$-3x - 4y + 1 = 0$

$3x + 4y - 1 = 0$

নির্ণেয় স্পর্শকের সমীকরণদ্বয়: $y - 4 = 0$ এবং $3x + 4y - 1 = 0$.

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, বৃত্তটি তিনটি বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করে: $A(2, 3)$, $B(-5, 4)$ এবং $C(-6, -5)$.

ধরি, বৃত্তটির সাধারণ সমীকরণ:

$x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0$ ........ (i)

যেহেতু বৃত্তটি $A(2, 3)$ বিন্দুগামী,

$2^2 + 3^2 + 2g(2) + 2f(3) + c = 0$

$4 + 9 + 4g + 6f + c = 0$

$4g + 6f + c + 13 = 0$ ........ (ii)

যেহেতু বৃত্তটি $B(-5, 4)$ বিন্দুগামী,

$(-5)^2 + 4^2 + 2g(-5) + 2f(4) + c = 0$

$25 + 16 - 10g + 8f + c = 0$

$-10g + 8f + c + 41 = 0$ ........ (iii)

যেহেতু বৃত্তটি $C(-6, -5)$ বিন্দুগামী,

$(-6)^2 + (-5)^2 + 2g(-6) + 2f(-5) + c = 0$

$36 + 25 - 12g - 10f + c = 0$

$-12g - 10f + c + 61 = 0$ ........ (iv)

এখন, (ii) নং হতে (iii) নং বিয়োগ করে পাই:

$(4g - (-10g)) + (6f - 8f) + (13 - 41) = 0$

$14g - 2f - 28 = 0$

$2f = 14g - 28$

$f = 7g - 14$ ........ (v)

আবার, (iii) নং হতে (iv) নং বিয়োগ করে পাই:

$(-10g - (-12g)) + (8f - (-10f)) + (41 - 61) = 0$

$2g + 18f - 20 = 0$

$g + 9f - 10 = 0$ ........ (vi)

(vi) নং সমীকরণে $f$ এর মান বসিয়ে পাই:

$g + 9(7g - 14) - 10 = 0$

$g + 63g - 126 - 10 = 0$

$64g - 136 = 0$

$64g = 136$

$g = \frac{136}{64} = \frac{17}{8}$

$g$ এর মান (v) নং এ বসিয়ে পাই:

$f = 7(\frac{17}{8}) - 14 = \frac{119}{8} - \frac{112}{8} = \frac{7}{8}$

$g$ ও $f$ এর মান (ii) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$4(\frac{17}{8}) + 6(\frac{7}{8}) + c + 13 = 0$

$\frac{17}{2} + \frac{21}{4} + c + 13 = 0$

$\frac{34 + 21 + 52}{4} + c = 0$

$\frac{107}{4} + c = 0$

$c = -\frac{107}{4}$

এখন $g, f$ ও $c$ এর মান (i) নং সমীকরণে বসিয়ে পাই:

$x^2 + y^2 + 2(\frac{17}{8})x + 2(\frac{7}{8})y - \frac{107}{4} = 0$

$x^2 + y^2 + \frac{17}{4}x + \frac{7}{4}y - \frac{107}{4} = 0$

উভয়পক্ষকে $4$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$4x^2 + 4y^2 + 17x + 7y - 107 = 0$

নির্ণেয় বৃত্তের সমীকরণ: $4x^2 + 4y^2 + 17x + 7y - 107 = 0$.

'Director' শব্দটিতে মোট অক্ষর আছে ৮টি.

এখানে ব্যঞ্জনবর্ণ (Consonant) আছে ৫টি ($D, r, c, t, r$) এবং স্বরবর্ণ (Vowel) আছে ৩টি ($i, e, o$). ব্যঞ্জনবর্ণগুলোর মধ্যে $r$ আছে ২টি.

সবগুলো অক্ষরকে একত্রে বিন্যাস করার মোট উপায়ের সংখ্যা = $\frac{8!}{2!}$

যেহেতু ব্যঞ্জনবর্ণগুলোর ক্রম পরিবর্তন করা যাবে না, তাই ৫টি ব্যঞ্জনবর্ণ নিজেদের মধ্যে $\frac{5!}{2!}$ উপায়ে সাজতে পারে, যার মধ্যে তাদের নির্দিষ্ট ক্রমটি কেবল ১ বার কাউন্ট হবে.

অতএব, ব্যঞ্জনবর্ণের ক্রম অপরিবর্তিত রেখে শব্দটির অক্ষরগুলো সাজানোর মোট উপায়ের সংখ্যা:

$= \frac{\frac{8!}{2!}}{\frac{5!}{2!}}$

$= \frac{8!}{5!}$

$= \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5!}$

$= 8 \times 7 \times 6= 336$

নির্ণেয় সাজানোর উপায়ের সংখ্যা $336$.

দেওয়া আছে, $g(x) = \cos x$

তাহলে, $g(2\pi - 2x) = \cos(2\pi - 2x)$

আমরা জানি, চতুর্ভাগ সম্পর্কিত ত্রিকোণমিতিক সূত্র অনুযায়ী $\cos(2\pi - \theta) = \cos\theta$.

সুতরাং, $g(2\pi - 2x) = \cos(2x)$

ধরি, $y = \cos(2x)$

এখানে ব্যবধি দেওয়া আছে: $-\frac{\pi}{2} \leq x \leq \frac{\pi}{2}$

লেখচিত্র অঙ্কনের জন্য কিছু বিন্দুর স্থানাঙ্ক:

যখন $x = -\frac{\pi}{2}$: $y = \cos\left(2 \times -\frac{\pi}{2}\right) = \cos(-\pi) = -1$

যখন $x = -\frac{\pi}{4}$: $y = \cos\left(2 \times -\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(-\frac{\pi}{2}\right) = 0$

যখন $x = 0$: $y = \cos(0) = 1$

যখন $x = \frac{\pi}{4}$: $y = \cos\left(2 \times \frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0$

যখন $x = \frac{\pi}{2}$: $y = \cos\left(2 \times \frac{\pi}{2}\right) = \cos(\pi) = -1$

লেখচিত্রের বৈশিষ্ট্য (২টি):

১. পর্যায় (Period): পূর্ণ বাস্তব অক্ষে সংজ্ঞায়িত $y=\cos2x$-এর পর্যায় হলো $\frac{2\pi}{2} = \pi$. অর্থাৎ, এটি প্রতি $\pi$ অন্তর অন্তর তার মানের পুনরাবৃত্তি করে.

২. সর্বোচ্চ ও সর্বনিম্ন মান: ফাংশনটির সর্বোচ্চ মান $1$ (যাহা $x = 0$ বিন্দুতে পাওয়া যায়) এবং সর্বনিম্ন মান $-1$ (যাহা $x = -\frac{\pi}{2}$ ও $\frac{\pi}{2}$ বিন্দুতে পাওয়া যায়).

দেওয়া আছে, $\tan A = \frac{5}{12}$

আমরা জানি, $\tan$ এর মাধ্যমে $\sin 2A$ এর সূত্র হলো:

$\sin 2A = \frac{2\tan A}{1 + \tan^2 A}$

এখন সূত্রে $\tan A$ এর মান বসিয়ে পাই:

$\sin 2A = \frac{2 \left(\frac{5}{12}\right)}{1 + \left(\frac{5}{12}\right)^2}$

$= \frac{\frac{5}{6}}{1 + \frac{25}{144}}$

$= \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144 + 25}{144}}$

$= \frac{\frac{5}{6}}{\frac{169}{144}}$

$= \frac{5}{6} \times \frac{144}{169}$

$= \frac{5 \times 24}{169}$

$= \frac{120}{169}$

নির্ণেয় মান: $\sin 2A = \frac{120}{169}$

উদ্দীপকের চিত্র হতে ত্রিভুজ $PQR$-এর বাহুগুলো এবং কোণগুলোর সম্পর্ক ব্যবহার করে প্রমাণ করতে হবে যে:

$\frac{PR - PQ}{QR} \cos\alpha = \sin(\beta - \theta)$

ত্রিকোণমিতিক সাইন সূত্র (Sine Rule) প্রয়োগ:

ত্রিভুজ $PQR$-এ সাইন সূত্রানুসারে পাই:

$\frac{PQ}{\sin 2\theta} = \frac{QR}{\sin 2\alpha} = \frac{PR}{\sin 2\beta}$

এখান থেকে বাহুগুলোকে ধ্রুবক $k$ এর মাধ্যমে প্রকাশ করে পাই:

$PQ = k \sin 2\theta$

$QR = k \sin 2\alpha$

$PR = k \sin 2\beta$

বামপক্ষের লব ও হরের মান বসানো:

বামপক্ষ $= \frac{PR - PQ}{QR} \cos\alpha$

এখানে $PR, PQ$ এবং $QR$ এর মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{k \sin 2\beta - k \sin 2\theta}{k \sin 2\alpha} \cos\alpha$

$= \frac{\sin 2\beta - \sin 2\theta}{\sin 2\alpha} \cos\alpha$

ত্রিকোণমিতিক রূপান্তর:

লবে $\sin C - \sin D$ এর সূত্র $[\sin C - \sin D = 2 \cos\frac{C+D}{2} \sin\frac{C-D}{2}]$ প্রয়োগ করে এবং হরে $\sin 2\alpha = 2 \sin\alpha \cos\alpha$ ভেঙে পাই:

$= \frac{2 \cos\frac{2\beta + 2\theta}{2} \sin\frac{2\beta - 2\theta}{2}}{2 \sin\alpha \cos\alpha} \cos\alpha$

$= \frac{2 \cos(\beta + \theta) \sin(\beta - \theta)}{2 \sin\alpha \cos\alpha} \cos\alpha$

কোণের সম্পর্ক ব্যবহার:

আমরা জানি, ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি $2\alpha + 2\beta + 2\theta = 180^\circ$ বা $\alpha + \beta + \theta = 90^\circ$

সুতরাং, $\beta + \theta = 90^\circ - \alpha$

এখান থেকে পাই, $\cos(\beta + \theta) = \cos(90^\circ - \alpha) = \sin\alpha$

এখন মান বসিয়ে পাই:

$= \frac{2 \sin\alpha \sin(\beta - \theta)}{2 \sin\alpha \cos\alpha} \cos\alpha$

$= \sin(\beta - \theta)$

অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ (প্রমাণিত).

প্রদত্ত রাশি:

$\lim_{y \to \beta} \frac{\tan y - \tan \beta}{y - \beta}$

ধরি, $y - \beta = h$. যখন $y \to \beta$, তখন $h \to 0$ এবং $y = \beta + h$.

তাহলে সীমা বসিয়ে পাই:

$\lim_{h \to 0} \frac{\tan(\beta + h) - \tan \beta}{h}$

এখন $\tan(\beta + h)$ এর বিস্তার বা ত্রিকোণমিতিক রূপ ব্যবহার করে:

$= \lim_{h \to 0} \frac{\frac{\sin(\beta + h)}{\cos(\beta + h)} - \frac{\sin \beta}{\cos \beta}}{h}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\beta + h)\cos \beta - \cos(\beta + h)\sin \beta}{h \cdot \cos(\beta + h)\cos \beta}$

লবে ত্রিকোণমিতির সূত্র $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ প্রয়োগ করে:

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin(\beta + h - \beta)}{h \cdot \cos(\beta + h)\cos \beta}$

$= \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} \cdot \lim_{h \to 0} \frac{1}{\cos(\beta + h)\cos \beta}$

আমরা জানি, $\lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = 1$. সুতরাং:

$= 1 \cdot \frac{1}{\cos(\beta + 0)\cos \beta}$

$= \frac{1}{\cos^2 \beta}$

$= \sec^2 \beta$

নির্ণেয় মান: $\sec^2 \beta$ (অথবা অন্তরকরণের সূত্র অনুযায়ী $\frac{d}{dy}(\tan y) = \sec^2 y$ থেকে সরাসরি লেখা যায়). সীমার জন্য $\cos\beta\ne0$ এবং কোণ রেডিয়ানে মাপা হতে হবে

ধরি, প্রদত্ত ইন্টিগ্রাল:

$I = \int \frac{\cos x}{4 - \cos^2 x} \, dx$

হরের $\cos^2 x$ কে সাইনে রূপান্তর করি ($\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$):

$I = \int \frac{\cos x}{4 - (1 - \sin^2 x)} \, dx$

$I = \int \frac{\cos x}{4 - 1 + \sin^2 x} \, dx$

$I = \int \frac{\cos x}{3 + \sin^2 x} \, dx$

এখন প্রতিস্থাপন পদ্ধতি ব্যবহার করি:

ধরি, $\sin x = z$

তাহলে, $\cos x \, dx = dz$

মানগুলো বসিয়ে পাই:

$I = \int \frac{dz}{3 + z^2} = \int \frac{dz}{(\sqrt{3})^2 + z^2}$

আমরা জানি, $\int \frac{dx}{a^2 + x^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C$

সুতরাং,

$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{z}{\sqrt{3}}\right) + C$

$z$ এর মান ($\sin x$) ফিরিয়ে বসিয়ে পাই:

$I = \frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{\sqrt{3}}\right) + C$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{\sqrt{3}} \tan^{-1}\left(\frac{\sin x}{\sqrt{3}}\right) + C$ (যেখানে $C$ হলো সমাকলন ধ্রুবক).

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই:

$f(y) = \frac{y}{(y^2 + 4)(y + 1)}$

নির্ণেয় ইন্টিগ্রাল:

$\int_{0}^{2} f(y) \, dy = \int_{0}^{2} \frac{y}{(y^2 + 4)(y + 1)} \, dy$

আংশিক ভগ্নাংশে রূপান্তর:

$\frac{y}{(y^2 + 4)(y + 1)} = \frac{Ay + B}{y^2 + 4} + \frac{C}{y + 1}$

উভয়পক্ষকে $(y^2 + 4)(y + 1)$ দ্বারা গুণ করে পাই:

$y = (Ay + B)(y + 1) + C(y^2 + 4)$

$y = -1$ বসিয়ে পাই:

$-1 = C((-1)^2 + 4) \implies -1 = 5C \implies C = -\frac{1}{5}$

$y^2$ এর সহগ তুলনা করে ($A + C = 0 \implies A = -C = \frac{1}{5}$)

ধ্রুবক পদের তুলনা করে ($B + 4C = 0 \implies B = -4C = \frac{4}{5}$)

তাহলে আংশিক ভগ্নাংশটি দাঁড়ায়:

$\frac{y}{(y^2 + 4)(y + 1)} = \frac{\frac{1}{5}y + \frac{4}{5}}{y^2 + 4} - \frac{\frac{1}{5}}{y + 1} = \frac{1}{5} \left( \frac{y}{y^2 + 4} + \frac{4}{y^2 + 4} - \frac{1}{y + 1} \right)$

সমাকলন (Integration) নির্ণয়:

$\int_{0}^{2} \frac{1}{5} \left[ \frac{y}{y^2 + 4} + \frac{4}{y^2 + 4} - \frac{1}{y + 1} \right] dy$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(y^2 + 4) + 4 \cdot \frac{1}{2}\tan^{-1}\left(\frac{y}{2}\right) - \ln(y + 1) \right]_{0}^{2}$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(y^2 + 4) + 2\tan^{-1}\left(\frac{y}{2}\right) - \ln(y + 1) \right]_{0}^{2}$

সীমা (Limits) বসিয়ে মান হিসাব:

ঊর্ধ্বসীমা $y = 2$ বসিয়ে:

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(2^2 + 4) + 2\tan^{-1}\left(\frac{2}{2}\right) - \ln(2 + 1) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(8) + 2\tan^{-1}(1) - \ln(3) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(8) + 2\left(\frac{\pi}{4}\right) - \ln(3) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{3}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{2} - \ln(3) \right]$ (যেহেতু $\frac{1}{2}\ln(8) = \frac{1}{2}\ln(2^3) = \frac{3}{2}\ln(2)$)

নিম্নসীমা $y = 0$ বসিয়ে:

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(0 + 4) + 2\tan^{-1}(0) - \ln(0 + 1) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(4) + 0 - 0 \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(2^2) \right] = \frac{1}{5} \ln(2)$

উভয় সীমার বিয়োগফল:

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{3}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{2} - \ln(3) - \ln(2) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \left(\frac{3}{2} - 1\right)\ln(2) + \frac{\pi}{2} - \ln(3) \right]$

$= \frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(2) + \frac{\pi}{2} - \ln(3) \right]$

নির্ণেয় মান: $\frac{1}{5} \left[ \frac{1}{2}\ln(2) - \ln(3) + \frac{\pi}{2} \right]$

দৃশ্যকল্প-২ অনুযায়ী, পরাবৃত্তের সমীকরণ $y^2 = 4ax$ এবং সরলরেখার সমীকরণ $y = 2x$.

ছেদবিন্দু নির্ণয়:

পরাবৃত্ত ও সরলরেখার সমীকরণ হতে $y$ এর মান বসিয়ে পাই:

$(2x)^2 = 4ax$

$4x^2 = 4ax$

$4x^2 - 4ax = 0$

$4x(x - a) = 0$

এখান থেকে পাই, $x = 0$ এবং $x = a$.

যখন $x = 0$, তখন $y = 0$ এবং যখন $x = a$, তখন $y = 2a$.

অতএব, ছেদবিন্দুদ্বয় হলো $(0, 0)$ এবং $(a, 2a)$.

আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়:

সীমাবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $A$ হবে পরাবৃত্তের মূল ফাংশন ও সরলরেখার মধ্যবর্তী এলাকার সমাকলন:

$A = \int_{0}^{a}$ (উপস্থিত ওপরের রেখা / বক্ররেখা - নিচের রেখা)

এখানে পরাবৃত্ত থেকে পাই, $y = \sqrt{4ax} = 2\sqrt{ax}$ এবং সরলরেখা থেকে $y = 2x$.

সুতরাং, ক্ষেত্রফল:

$A = \int_{0}^{a} (2\sqrt{ax} - 2x) \, dx$

$= \int_{0}^{a} (2\sqrt{a} x^{1/2} - 2x) \, dx$

$= \left[ 2\sqrt{a} \cdot \frac{x^{3/2}}{\frac{3}{2}} - 2 \cdot \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{a}$

$= \left[ \frac{4}{3}\sqrt{a} x^{3/2} - x^2 \right]_{0}^{a}$

$= \left( \frac{4}{3}\sqrt{a} a^{3/2} - a^2 \right) - 0$

$= \frac{4}{3}a^2 - a^2$

$= \left(\frac{4}{3} - 1\right)a^2$

$= \frac{1}{3}a^2$

$a$ এর মান নির্ণয়:

প্রশ্নমতে, আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $3$ বর্গ একক.

$\frac{1}{3}a^2 = 3$

$a^2 = 9$

$a = 3$ (যেহেতু $a > 0$)

নির্ণেয় মান: $a = 3$ চিত্রে পরাবৃত্ত ডানমুখী, তাই $a>0$. এই শর্ত বাদ দিয়ে ঋণাত্মক $a$ অনুমোদন করলে প্রতিফলিত ক্ষেত্রেও ক্ষেত্রফল $a^2/3$, ফলে $a=-3$ সম্ভব