ধরি, $P=\left[\begin{matrix}a & a+1 \\ -a+1 & -a\end{matrix}\right]$

$ \mathrm{a}=3$ হলে, $\mathrm{P}=\left[\begin{matrix} 3 & 3+1 \\ -3+1 & -3\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix} 3 & 4 \\-2 & -3\end{matrix}\right] .$

$P$ ম্যাট্রিক্সটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স হবে যদি $P^2=I$ হয়.

এখন, $\mathrm{P}^2=\mathrm{P} . \mathrm{P}$

$=\left[\begin{matrix}3 & 4 \\ -2 & -3\end{matrix}\right]\left[\begin{matrix}3 & 4 \\ -2 & -3\end{matrix}\right] $

$ =\left[\begin{matrix}9-8 & 12-12 \\ -6+6 & -8+9\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{matrix}\right]=I$

যেহেতু $P^2=I$

সুতরাং $P=\left[\begin{matrix}a & a+1 \\ -a+1 & -a\end{matrix}\right]$ একটি অভেদঘাতী ম্যাট্রিক্স;

যখন $a=3$. ('দেখানো হলো)

দেওয়া আছে, $A=\left[\begin{matrix}3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3\end{matrix}\right]$

এখন, $A B=I$

বা, $A^{-1} \cdot A B=A^{-1} \cdot I$

বা, I. $B=A^{-1}\left[\because A^{-1} \cdot A=I\right.$

এবং $\left.A^{-1} \cdot I=A^{-1}\right]$

$\therefore \quad B=A^{-1}$ ........ (1)

এখন, $|A|=\left|\begin{matrix}3 & -1 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ 1 & -1 & 3\end{matrix}\right|$

$ =3(-9+1)+1(3-1)-1(-1+3) $

$ =-24+2-2=-24 \neq 0 $

$\therefore \quad \mathbf{A}^{-1}$ বিদ্যমান.

$\operatorname{Adj} A=\left[\begin{matrix}A_{11} & A_{12} & A_{13} \\ A_{21} & A_{22} & A_{23} \\ A_{31} & A_{32} & A_{33}\end{matrix}\right]^T$

A এর সহগুণকসমূহ

$A_{11}=\left|\begin{matrix}-3 & 1 \\ -1 & 3\end{matrix}\right|=-9+1=-8 $

$A_{12}=-\left|\begin{matrix}1 & 1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=-(3-1)=-2 $

$A_{13}=\left|\begin{matrix}1 & -3 \\ 1 & -1\end{matrix}\right|=-1+3=2$

$A_{21}=-\left|\begin{matrix}-1 & -1 \\ -1 & 3\end{matrix}\right|=-(-3-1)=4 $

$A_{22}=\left|\begin{matrix}3 & -1 \\ 1 & 3\end{matrix}\right|=9+1=10 $

$A_{23}=-\left|\begin{matrix}3 & -1 \\ 1 & -1\end{matrix}\right|=-(-3+1)=2 $

$A_{31}=\left|\begin{matrix}-1 & -1 \\ -3 & 1\end{matrix}\right|=-1-3=-4$

$A_{32}=-\left|\begin{matrix}3 & -1 \\ 1 & 1\end{matrix}\right|=-(3+1)=-4 $

$A_{33}=\left|\begin{matrix}3 & -1 \\ 1 & -3\end{matrix}\right|=-9+1=-8$

$\therefore Adj A=\left[\begin{matrix}-8 & -2 & 2 \\ 4 & 10 & 2 \\ -4 & -4 & -8\end{matrix}\right]^{\mathrm{T}}$

$=\left[\begin{matrix}-8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8\end{matrix}\right] $

$ \therefore A^{-1}=\frac{1}{|A|} \text { Adj } A=\frac{1}{-24}\left[\begin{matrix}-8 & 4 & -4 \\ -2 & 10 & -4 \\ 2 & 2 & -8\end{matrix}\right]$

$=\left[\begin{matrix}\frac{-8}{-24} & \frac{4}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{-2}{-24} & \frac{10}{-24} & \frac{-4}{-24} \\ \frac{2}{-24} & \frac{2}{-24} & \frac{-8}{-24}\end{matrix}\right]=\left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$

(1)নং হতে পাই, $B=A^{-1}=\left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$

নির্ণেয় $B=\left[\begin{matrix}\frac{1}{3} & -\frac{1}{6} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{12} & -\frac{5}{12} & \frac{1}{6} \\ -\frac{1}{12} & -\frac{1}{12} & \frac{1}{3}\end{matrix}\right]$

দেওয়া আছে, $B=\left[\begin{matrix}6 & 4 \\ 3 & 2\end{matrix}\right] $

$\therefore |B|=\left|\begin{matrix}6 & 4 \\ 3 & 2\end{matrix}\right|=12-12=0$

যেহেতু $|B| = 0$ সুতরাং B ম্যাট্রিক্স বিপরীতযোগ্য নয়.

$\therefore B$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত যোগ্যতা নেই.

দেওয়া আছে, $D=\left|\begin{matrix}(b+c)^2 & a^2+1 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2+1 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2+1 & 1\end{matrix}\right|$

বামপক্ষ = $D=\left|\begin{matrix}(b+c)^2 & a^2+1 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2+1 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2+1 & 1\end{matrix}\right| $

$=\left|\begin{matrix}(b+c)^2 & a^2+1-1 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2+1-1 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2+1-1 & 1\end{matrix}\right|$

$\left[\because c_2^{\prime}=c_2-c_3\right]$

$=\left|\begin{matrix}(b+c)^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2 & c^2 & 1\end{matrix}\right| $

$=\left|\begin{matrix}(b+c)^2-a^2 & a^2 & 1 \\ (c+a)^2-b^2 & b^2 & 1 \\ (a+b)^2-c^2 & c^2 & 1\end{matrix}\right|$

$\left[\because c_1^{\prime}=c_1-c_2\right] $

$=\left|\begin{matrix}(a+b+c)(b+c-a) & a^2 & 1 \\ (a+b+c)(c+a-b) & b^2 & 1 \\ (a+b+c)(a+b-c) & c^2 & 1\end{matrix}\right| $

$=(a+b+c)\left|\begin{matrix}b+c-a & a^2 & 1 \\ c+a-b & b^2 & 1 \\ a+b-c & c^2 & 1\end{matrix}\right|$

$=(a+b+c)\left|\begin{matrix}b+c-a-c-a+b & a^2-b^2 & 1-1 \\ c+a-b-a-b+c & b^2-c^2 & 1-1 \\ a+b-c & c^2 & 1\end{matrix}\right|$

$\left[\begin{matrix}r_1^{\prime}=r_1-r_2 \\ r_2^{\prime}=r_2-r_3\end{matrix}\right]$

$=(a+b+c)\left|\begin{matrix}-2(a-b) & a^2-b^2 & 0 \\ -2(b-c) & b^2-c^2 & 0 \\ a+b-c & c^2 & 1\end{matrix}\right| $

$=(a+b+c)\left|\begin{matrix}-2(a-b) & a^2-b^2 \\ -2(b-c) & b^2-c^2\end{matrix}\right| $

$=(a+b+c)\left|\begin{matrix}-2(a-b) & (a+b)(a-b) \\ -2(b-c) & (b+c)(b-c)\end{matrix}\right| $

$=-2(a-b)(b-c)(a+b+c)\left|\begin{matrix}1 & a+b \\ 1 & b+c\end{matrix}\right| $

$=-2(a-b)(b-c)(a+b+c)(b+c-a-b) $

$=-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$

= ডানপক্ষ

$\therefore \quad D=-2(a+b+c)(a-b)(b-c)(c-a)$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $y$ অক্ষ থেকে $(m, 5)$ বিন্দুটির দূরত্ব = বিন্দুটির ভুজ $= |m| (3, -3)$ এবং $(m, 5)$ বিন্দুদ্বয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

$=\sqrt{(3-m)^2+(-3-5)^2}=\sqrt{(m-3)^2+64}$ একক

প্রশ্নমতে, $\sqrt{(\mathrm{m}-3)^2+64}=|\mathrm{m}|$

বা, $m^2-6 m+9+64=m^2$ [বর্গ করে]

বা, $6 \mathrm{~m}=73$

$ \therefore \quad m=\frac{73}{6}$

নির্ণেয় মান : $m=\frac{73}{6}$.

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ,

$4x - 5y + 7 = 0 \dots \dots (1)$

$(1)$ নং রেখার সমান্তরাল যেকোনো রেখার সমীকরণ,

$4x - 5y + k = 0 \dots \dots (2)$

মূলবিন্দু $(0, 0)$ হতে $(2)$ নং রেখার লম্ব দূরত্ব

$= \frac{\vert\{\}4(0) - 5(0) + k\vert\{\}}{\sqrt{4^2 + (-5)^2}}$

$= \frac{\vert\{\}k\vert\{\}}{\sqrt{16 + 25}}$

$= \frac{\vert\{\}k\vert\{\}}{\sqrt{41}}$

প্রশ্নমতে, মূলবিন্দু থেকে রেখাটির দূরত্ব $8$ একক.

$\therefore \frac{\vert\{\}k\vert\{\}}{\sqrt{41}} = 8$

পরমমান (Modulus) তুলে দিলে আমরা পাই,

$k = \pm 8\sqrt{41}$

এখন, $k$ এর মান $(2)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$4x - 5y \pm 8\sqrt{41} = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ $4x - 5y \pm 8\sqrt{41} = 0$

প্রদত্ত রেখার সমীকরণ, $4x - 5y + 7 = 0$

$\Rightarrow 4x - 5y = -7$

$\Rightarrow \frac{4x}{-7} + \frac{-5y}{-7} = 1$

$\Rightarrow \frac{x}{-\frac{7}{4}} + \frac{y}{\frac{7}{5}} = 1$

এই রেখাটি $x$-অক্ষকে $A$ এবং $y$-অক্ষকে $B$ বিন্দুতে ছেদ করে.

সুতরাং, ছেদবিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $A\left(-\frac{7}{4}, 0\right)$ এবং $B\left(0, \frac{7}{5}\right)$.

দেওয়া আছে, $C$ বিন্দুটি $AB$ রেখাংশকে $2:5$ অনুপাতে অন্তর্বিভক্ত করে.

অন্তর্বিভক্তিকরণের সূত্রানুসারে $C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $(x, y)$ হলে,

ভুজ, $x = \frac{2(0) + 5\left(-\frac{7}{4}\right)}{2 + 5} = \frac{-\frac{35}{4}}{7} = -\frac{35}{4 \times 7} = -\frac{5}{4}$

কোটি, $y = \frac{2\left(\frac{7}{5}\right) + 5(0)}{2 + 5} = \frac{\frac{14}{5}}{7} = \frac{14}{5 \times 7} = \frac{2}{5}$

$\therefore C$ বিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(-\frac{5}{4}, \frac{2}{5}\right)$.

এবং মূলবিন্দু $O(0, 0)$.

আমরা জানি, $(x_1, y_1)$ এবং $(x_2, y_2)$ বিন্দুগামী রেখার ঢাল $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$

অতএব, $OC$ রেখার ঢাল, $m_1 = \frac{\frac{2}{5} - 0}{-\frac{5}{4} - 0} = \frac{\frac{2}{5}}{-\frac{5}{4}} = \frac{2}{5} \times \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{8}{25}$

ধরি, $OC$ রেখার উপর লম্ব রেখার ঢাল $m_2$.

যেহেতু দুটি রেখা পরস্পর লম্ব হলে তাদের ঢালদ্বয়ের গুণফল $-1$ হয়, সেহেতু:

$m_1 \times m_2 = -1$

$\Rightarrow \left(-\frac{8}{25}\right) \times m_2 = -1$

$\Rightarrow m_2 = \frac{25}{8}$

$OC$ রেখার লম্বের ঢাল $\frac{25}{8}$

দেওয়া আছে,

$ 3 x^2+3 y^2-12 x+6 y-3=0$

বা, $x^2+y^2-4 x+2 y-1=0$

বা, $x^2+y^2+2(-2) x+2 \cdot 1 \cdot y-1=0$

$\therefore $ বৃত্তটির কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)=(2,-1)$

$\therefore x$ অক্ষের কর্তিত অংশের দৈর্ঘ্য $=2 \sqrt{g^2-c}$

$ =2 \sqrt{4+1}=2 \sqrt{5}$ একক

নির্ণেয় $x$ অক্ষের কর্তিত অংশের দৈর্ঘ্য $2 \sqrt{5}$ একক.

ধরি, বৃত্তের সমীকরণ,

$ x^2+y^2+2 g x+2 f y+c=0$ ......... (1)

এর কেন্দ্র $(-\mathrm{g},-f)$ এবং ব্যাসার্ধ $=\sqrt{\mathrm{g}^2+f^2-\mathrm{c}}$

(1)নং বৃত্তটি $(0,2)$ ও $(-1,3)$ বিন্দগামী,

$ \therefore 0+4+0+4 f+c=0$

বা, $4+4 f+\mathrm{c}=0$ ........ (2)

এবং $1+9-2 \mathrm{~g}+6 f+\mathrm{c}=0$

বা, $10-2 \mathrm{~g}+6 f+\mathrm{c}=0$ ........ (3)

যেহেতু বৃত্তটি $y$ অক্ষকে স্পর্শ করে,

$\therefore f^2=c$ ........ (4)

(2)নং হতে পাই,

$4+4 f+f^2=0$

বা, $(f+2)^2=0$

$\therefore f=-2$

(3)নং এ $f$ ও c এর মান বসিয়ে পাই,

$ 10-2 g-12+4=0$

বা, $2=2 \mathrm{~g}$

$\therefore \mathrm{g}=1$

$\therefore$ ব্যাসাধ $=\sqrt{1+4-4}=1$ একক

নির্ণেয় ব্যাসার্ধ 1 একক.

দেওয়া আছে,

$x^2+y^2+a x+b y-4=0 $ .......... (1)

$ p x+q y-1=0$ .......... (2)

এখন, $\mathrm{a}=-2, \mathrm{~b}=-4, \mathrm{p}=3, \mathrm{q}=-4$ হলে,

(1)নং হতে পাই,

$ x^2+y^2-2 x-4 y-4=0$

বা, $x^2+y^2+2(-1) x+2(-2) y-4=0$ ....... (3)

$\therefore$ কেন্দ্র $(-g,-f)=(1,2)$ এবং ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=\sqrt{1+4+4}=3$ একক

এবং (2)নং হতে পাই, $3 x-4 y-1=0$ ....... (4)

ধরি, (4)নং সমীকরণের লম্ব রেখার সমীকরণ, $4 x+3 y+k=0$ ....... (5)

প্রশ্নমতে,

$\left|\frac{4.1+3.2+k}{\sqrt{16+9}}\right|=3$

বা, $\left|\frac{10+k}{5}\right|=3$

বা, $10+\mathrm{k}= \pm 15$

বা, $k= \pm 15-10$

$ \therefore \quad k=5,-25$

$k$ -এর মান (5)নং এ বসিয়ে পাই,

$ 4 x+3 y+5=0$ এবং $4 x+3 y-25=0$

নির্ণেয় স্পর্শকরেখার সমীকরণ, $4 x+3 y+5=0$ এবং $4 x+3 y-25=0$.

$\tan 75^{\circ} =\tan \left(45^{\circ}+30^{\circ}\right) $

$ =\frac{\tan 45^{\circ}+\tan 30^{\circ}}{1-\tan 45^{\circ} \cdot \tan 30^{\circ}} $

$ =\frac{1+\frac{1}{\sqrt{3}}}{1-1 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}=\frac{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}} $

$ =\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}-1} $

$=\frac{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} $

$=\frac{(\sqrt{3})^2+2 \sqrt{3}+1}{(\sqrt{3})^2-(1)^2}$

$ =\frac{4+2 \sqrt{3}}{2}=\frac{2(2+\sqrt{3})}{2} $

$=2+\sqrt{3} $

নির্ণেয় মান : $2+\sqrt{3}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{A}=60^{\circ}$

আমরা জানি, ত্রিভুজের সাইন সূত্রানুসারে,

$ \frac{\mathrm{a}}{\sin \mathrm{~A}}=\frac{\mathrm{b}}{\sin \mathrm{~B}}=\frac{\mathrm{c}}{\sin \mathrm{C}}=2 \mathrm{R} $

$\therefore \mathrm{a}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~A}, \mathrm{~b}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~B},$ $ \mathrm{c}=2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C} $

এখন, $ \frac{\mathrm{b}+\mathrm{c}}{2 \mathrm{a}} =\frac{2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~B}+2 \mathrm{R} \sin \mathrm{C}}{2 \cdot 2 \mathrm{R} \sin \mathrm{~A}} $

$=\frac{\sin \mathrm{B}+\sin \mathrm{C}}{2 \sin \mathrm{~A}}=\frac{2 \sin \frac{\mathrm{~B}+\mathrm{C}}{2} \cos \frac{\mathrm{~B}-\mathrm{C}}{2}}{2 \cdot 2 \sin \frac{\mathrm{~A}}{2} \cos \frac{\mathrm{~A}}{2}} $

$=\frac{\sin \left(\frac{\pi-\mathrm{A}}{2}\right) \cos \frac{\mathrm{B}-\mathrm{C}}{2}}{2 \sin \frac{\mathrm{~A}}{2} \cos \frac{\mathrm{~A}}{2}}$

$[\because \mathrm{~A}+\mathrm{B}+\mathrm{C}=\pi] $

$=\frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} $

$=\frac{\cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin 30^{\circ}}\left[\because A=60^{\circ}\right] $

বা, $\frac{b+c}{2 a}=\cos \frac{B-C}{2}$

$\therefore \quad \frac{b+c}{a}=2 \cos \frac{B-C}{2}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$m=\sin 2 \alpha $

$n=\sin 2 \beta $

$r=\sin 2 \gamma $

এবং $ \alpha+\beta+\gamma=\pi $

বামপক্ষ $=m^2+n^2+r^2+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=\sin ^2 2 \alpha+\sin ^2 2 \beta+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=\frac{1}{2}\left(2 \sin ^2 2 \alpha+2 \sin ^2 2 \beta\right)+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

$=\frac{1}{2}(1-\cos 4 \alpha+1-\cos 4 \beta)+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=1-\frac{1}{2}(\cos 4 \alpha+\cos 4 \beta)+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=1-\frac{1}{2} \cdot 2 \cos \frac{4 \alpha+4 \beta}{2} \cos \frac{4 \alpha-4 \beta}{2}+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

$=1-\cos (2 \alpha+2 \beta) \cos (2 \alpha-2 \beta)+\sin ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=1-\cos (2 \pi-2 \gamma) \cos (2 \alpha-2 \beta)+1-\cos ^2 2 \gamma$

$+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

$\left[\begin{matrix}\because \alpha+\beta+\gamma=\pi \\ \therefore 2 \alpha+2 \beta=2 \pi-2 \gamma\end{matrix}\right]$

$=2-\cos 2 \gamma \cos (2 \alpha-2 \beta)-\cos ^2 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos 2 \gamma\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

$=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos (2 \pi-2 \alpha-2 \beta)\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma$

$=2-\cos 2 \gamma\{\cos (2 \alpha-2 \beta)+\cos (2 \alpha+2 \beta)\}+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=2-\cos 2 \gamma \cdot 2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

$=2-2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma $

= 2 = ডানপক্ষ

$ \therefore \mathrm{m}^2+\mathrm{n}^2+\mathrm{r}^2+2 \cos 2 \alpha \cos 2 \beta \cos 2 \gamma=2 $ (প্রমাণিত)

প্রদত্ত রাশি $=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5^x-5^{-x}}{5^x+5^{-x}}=$

$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{5^x\left(1-\frac{5^{-x}}{5^x}\right)}{5^x\left(1+\frac{5^{-x}}{5^x}\right)} $

$=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{1-\frac{1}{5^{2 x}}}{1+\frac{1}{5^{2 x}}}$

$=\frac{1-\frac{1}{\infty}}{1+\frac{1}{\infty}}=\frac{1-0}{1+0}=1$

দেওয়া আছে, $y(x-2)(x-3)-x+7=0$

বা, $y\left(x^2-5 x+6\right)-x+7=0$

বা, $x^2 y-5 x y-x+6 y+7=0$

রেখাটি $x$ অক্ষকে ছেদ করলে $\mathrm{y}=0$

$ \therefore x^2 \cdot 0-5 x \cdot 0-x+6 \cdot 0+7=0$

বা, $0-0-\mathrm{x}+0+7=0$

বা, $0-x+7=0$

$ \therefore x=7$

$\therefore \mathrm{x}$ -অক্ষের ছেদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(7,0)$

এখন, $x^2 y-5 x y-x+6 y+7=0$ কে $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই

$\left(x^2 \frac{d y}{d x}+y \frac{d}{d x} x^2\right)-5\left(x \frac{d y}{d x}+y \frac{d}{d x}(x)\right)-\frac{d x}{d x}+6 \frac{d y}{d x}+\frac{d}{d x}(7)=0$

বা, $x^2 \frac{d y}{d x}+2 x y-5 x \frac{d y}{d x}-5 y-1+6 \frac{d y}{d x}+0=0$

বা, $\left(x^2-5 x+6\right) \frac{d y}{d x}=1+5 y-2 x y$

বা, $\frac{d y}{d x}=\frac{1+5 y-2 x y}{x^2-5 x+6}$

$\therefore (7,0)$ বিন্দুতে $\frac{d y}{d x}=\frac{1+0-0}{7^2-(5 \times 7)+6}=\frac{1}{20}$

$\therefore(7,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের ঢাল, $m=-\frac{1}{\frac{d y}{d x}}=-\frac{1}{\frac{1}{20}}=-20$

$(7,0)$ বিন্দুতে অঙ্কিত অভিলম্বের সমীকরণ, $y-0=-20(x-7)$

বা, $y=-20 x+140$

$\therefore 20 x+y-140=0$

নির্ণেয় অভিলম্বের সমীকরণ, $20 x+y-140=0$.

দেওয়া আছে, $g(x)=e^{p x} \sin q x$ এবং $y=g(x)$

$\therefore y=g(x)=e^{p x} \sin q x$

$x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$y_1 =\sin q x \cdot \frac{d}{d x}\left(e^{p x}\right)+e^{p x} \cdot \frac{d}{d x}(\sin q x) $

$ =p e^{p x} \sin q x+q e^{p x} \cos q x=e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x) $

পুনরায় $x$ এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

$ y_2=(p \sin q x+q \cos q x) \frac{d}{d x} e^{p x}+e^{p x} \frac{d}{d x}(p \sin q x+q \cos q x)$

বা, $y_2=p e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x)+e^{p x}\left(p q \cos q x-q^2 \sin q x\right)$

বা, $y_2=e^{p x}\left(p^2 \sin q x+p q \cos q x+p q \cos q x-q^2 \sin q x\right)$

বা, $y_2=e^{p x}\left(2 p^2 \sin q x+2 p q \cos q x-p^2 \sin q x-q^2 \sin q x\right)$

বা, $y_2=2 p e^{p x}(p \sin q x+q \cos q x)-\left(p^2+q^2\right) e^{p x} \sin q x=2 p y_1-\left(p^2+q^2\right) y$

$\therefore \quad \mathrm{y}_2-2 \mathrm{py}_1+\left(\mathrm{p}^2+\mathrm{q}^2\right) \mathrm{y}=0$. [প্রমাণিত]

পরাবৃত্ত $y^2=4x$-এর ঊর্ধ্ব শাখা ও $y=x$ রেখার মধ্যবর্তী ছায়াঘেরা অঞ্চল $0\le x\le4$, $x\le y\le2\sqrt x$; $A=(4,4)$ থেকে $x$-অক্ষে লম্বের পাদবিন্দু $B=(4,0)$

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}^2=4 \mathrm{x}$ ......... (i)

এবং $\mathbf{y}=\mathbf{x}$ ......... (ii)

(i)নং এ $y=x$ বসিয়ে পাই,

$ x^2=4 x$

বা, $x^2-4 x=0$

বা, $x(x-4)=0$

$\therefore \quad x=0, x=4$

এখানে, $\mathrm{y}_1\{ \}^2=4 \mathrm{x}$

এবং $y_2=x$

বা, $y_1= \pm \sqrt{4 x}= \pm 2 \sqrt{x}$ এবং $x$ অক্ষের উপরে $y_1$ ধনাত্মক.

$\therefore$ ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $=\int_0^4\left(y_1-y_2\right) d x$

$ =\int_0^4(2 \sqrt{x}-x) d x $

$=\left[2 \cdot \frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_0^4$

$=\left[\frac{4}{3} \cdot x^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}\right]_0^4 $

$ =\left(\frac{4}{3} \cdot 4^{\frac{3}{2}}-\frac{4^2}{2}\right)-0 $

$ =\frac{4}{3} \cdot\left(2^2\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{16}{2} $

$ =\frac{4}{3} \cdot 8-8=\frac{32}{3}-8 $

$=\frac{32-24}{3}=\frac{8}{3}$ বর্গ একক

নির্ণেয় ছায়াঘেরা অংশের ক্ষেত্রফল $\frac{8}{3}$ বর্গ একক.