দেওয়া আছে,

জটিল সংখ্যাটি $2-2 \sqrt{3} i$

এখন,

$2-2 \sqrt{3} i = 3 - 2\sqrt{3}i - 1$

$= (\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot i + i^2 \quad [\because i^2 = -1]$

$= (\sqrt{3} - i)^2$

$\therefore 2-2 \sqrt{3} i$ এর বর্গমূল $=\sqrt{(\sqrt{3} - i)^2} = \pm(\sqrt{3} - i)$

নির্ণেয় বর্গমূল: $\pm(\sqrt{3}-i)$

দেওয়া আছে,

$p(x) = x^2 - ix - 1$

তাহলে, $p(x) = 0$ সমীকরণটি হলো:

$x^2 - ix - 1 = 0 \dots\dots (i)$

প্রশ্নমতে, $(i)$ নং সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha$ এবং $\beta$.

আমরা জানি,

দ্বিঘাত সমীকরণ $ax^2+bx+c=0$ এর মূলদ্বয়ের যোগফল $= -\frac{b}{a}$ এবং গুণফল $= \frac{c}{a}$

$\therefore \alpha + \beta = -\frac{-i}{1} = i$

এবং $\alpha\beta = \frac{-1}{1} = -1$

এখন,

বামপক্ষ $= \alpha^6 + \beta^6$

$= (\alpha^3)^2 + (\beta^3)^2$

$= (\alpha^3 + \beta^3)^2 - 2\alpha^3\beta^3$

$= \{(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)\}^2 - 2(\alpha\beta)^3$

মান বসিয়ে পাই,

$= \{i^3 - 3(-1)(i)\}^2 - 2(-1)^3$

$= \{-i + 3i\}^2 - 2(-1) \quad [\because i^3 = i^2 \cdot i = -1 \cdot i = -i]$

$= \{2i\}^2 + 2$

$= 4i^2 + 2$

$= 4(-1) + 2 \quad [\because i^2 = -1]$

$= -4 + 2$

$= -2$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore \alpha^6 + \beta^6 = -2 \quad$ (দেখানো হলো)

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে, $6 \mathrm{x}^3-\mathrm{x}+13=0$

বা, $6 x^3-0 \cdot x^2-x+13=0$ $........(1)$

$(1)$ নং এর মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে-

$\begin{aligned} & \alpha+\beta+\gamma=0 \\ & \alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=-\frac{1}{6}\end{aligned}$

এবং $\alpha \beta \gamma=\frac{-13}{6}$
এখন, $\Sigma(\alpha-\beta)^2=(\alpha-\beta)^2+(\beta-\gamma)^2+(\gamma-\alpha)^2$

$\begin{aligned} & =\alpha^2-2 \alpha \beta+\beta^2+\beta^2-2 \beta \gamma+\gamma^2+\gamma^2-2 \gamma \alpha+\alpha^2 \\ & =2\left(\alpha^2+\beta^2+\gamma^2\right)-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) \\ & =2\left[(\alpha+\beta+\gamma)^2-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)\right]-2(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha) \\ & =2\left[0^2-2\left(-\frac{1}{6}\right)\right]-2\left(-\frac{1}{6}\right) \\ & =2 \times \frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{3}{3}=1\end{aligned}$

নির্ণেয় মান: $1.$

বামপক্ষ $=\tan ^{-1} \frac{2}{9}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}$

$\begin{aligned} & =\tan ^{-1} \frac{\frac{2}{9}+\frac{1}{4}}{1-\frac{2}{9} \cdot \frac{1}{4}}=\tan ^{-1} \frac{\frac{8+9}{36}}{\frac{36-2}{36}} \\ & =\tan ^{-1} \frac{\frac{17}{36}}{\frac{34}{36}}=\tan ^{-1}\left(\frac{17}{36} \times \frac{36}{34}\right) \\ & =\tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} \times 2 \tan ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right) \\ & =\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1+\left(\frac{1}{2}\right)^2}\left[\because 2 \tan ^{-1} x=\sin ^{-1} \frac{2 x}{1+x^2}\right]\end{aligned}$
$=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{1}{\frac{5}{4}}=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{4}{5}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \quad \tan ^{-1} \frac{2}{9}+\tan ^{-1} \frac{1}{4}=\frac{1}{2} \sin ^{-1} \frac{4}{5}$. (প্রমাণিত)

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে,

পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$x^2 = -8y$

সমীকরণটিকে পরাবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $x^2 = 4ay$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$4a = -8$

$\Rightarrow a = -2$

আমরা জানি,

$x^2 = 4ay$ পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y = -a$

$\Rightarrow y = -(-2)$

$\therefore y = 2$

নির্ণেয় নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $y = 2$

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, একটি উপকেন্দ্র $R(2, 0)$.

যেহেতু মূলবিন্দুর সাপেক্ষে উপকেন্দ্রদ্বয় প্রতিসম, তাই অপর উপকেন্দ্রটি হবে $R'(-2, 0)$.

অর্থাৎ, উপকেন্দ্রদ্বয়ের স্থানাঙ্ক $(\pm ae, 0) = (\pm 2, 0)$

$\therefore ae = 2$

যেহেতু উপকেন্দ্রদ্বয়ের কোটি শূন্য, তাই উপবৃত্তটির বৃহৎ অক্ষ $x$-অক্ষ বরাবর অবস্থিত.

ধরি,

উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ; যেখানে $a > b$

প্রশ্নমতে, বৃহৎ অক্ষের দৈর্ঘ্য, $2a = 6$

$\Rightarrow a = 3$

এখন, $ae = 2$ সমীকরণে $a = 3$ বসিয়ে পাই,

$3e = 2$

$\therefore e = \frac{2}{3}$

আমরা জানি,

উপবৃত্তের ক্ষেত্রে,

$b^2 = a^2(1 - e^2)$

$\Rightarrow b^2 = 3^2 \left(1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right)$

$\Rightarrow b^2 = 9 \left(1 - \frac{4}{9}\right)$

$\Rightarrow b^2 = 9 \left(\frac{9 - 4}{9}\right)$

$\Rightarrow b^2 = 9 \times \frac{5}{9}$

$\therefore b^2 = 5$

এখন, সমীকরণে $a^2 = 3^2 = 9$ এবং $b^2 = 5$ বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{5} = 1$

উদ্দীপকের চিত্র হতে পাই, পরাবৃত্তের উপকেন্দ্র $R(2, 0)$ এবং নিয়ামক রেখার পাদবিন্দু $Z(-2, -4)$.

পরাবৃত্তটির অক্ষরেখা $R(2, 0)$ এবং $Z(-2, -4)$ বিন্দুগামী.

সুতরাং, অক্ষরেখার সমীকরণ,

$\frac{x - 2}{2 - (-2)} = \frac{y - 0}{0 - (-4)}$

$\Rightarrow \frac{x - 2}{4} = \frac{y}{4}$

$\Rightarrow x - 2 = y$

$\therefore x - y - 2 = 0 ........(i)$

পরাবৃত্তের নিয়ামক রেখাটি অক্ষরেখার উপর লম্ব এবং তা $Z$ বিন্দুগামী.

$(i)$ নং রেখার উপর লম্ব যেকোনো সরলরেখার সমীকরণ,

$x + y + k = 0 ........(ii)$

যেহেতু $(ii)$ নং রেখাটি নিয়ামক রেখা এবং এটি $Z(-2, -4)$ বিন্দুগামী, বিন্দুটি দ্বারা সমীকরণটি সিদ্ধ হবে:

$-2 + (-4) + k = 0$

$\Rightarrow -6 + k = 0$

$\therefore k = 6$

$k$ এর মান $(ii)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, নিয়ামক রেখার সমীকরণ: $x + y + 6 = 0$

ধরি,

পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$. $P$ বিন্দু হতে নিয়ামক রেখার উপর অঙ্কিত লম্বের দৈর্ঘ্য $PM$.

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে,

$RP = PM$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$RP^2 = PM^2$

$\Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = \left( \frac{\vert x + y + 6\vert }{\sqrt{1^2 + 1^2}} \right)^2$

$\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = \frac{(x + y + 6)^2}{2}$

$\Rightarrow 2(x^2 + y^2 - 4x + 4) = x^2 + y^2 + 36 + 2xy + 12x + 12y$

$\Rightarrow 2x^2 + 2y^2 - 8x + 8 - x^2 - y^2 - 2xy - 12x - 12y - 36 = 0$

$\Rightarrow x^2 + y^2 - 2xy - 20x - 12y - 28 = 0$

$\therefore (x - y)^2 - 20x - 12y - 28 = 0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $(x - y)^2 - 20x - 12y - 28 = 0$

দেওয়া আছে, $\mathrm{y}=2 \mathrm{x}+\mathrm{c}$ $.........(1)$

এবং $4 x^2+9 y^2=36$
বা, $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$
বা, $\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$ $.........(2)$
$(1)$ নং হতে, $m=2$
$(2)$ নং হতে, $\mathrm{a}=3, \mathrm{~b}=2$

আমরা জানি, $y=m x+c$ রেখা $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ উপবৃত্তকে স্পর্শ করার শর্ত

$\begin{aligned} \quad c & = \pm \sqrt{a^2 m^2+b^2} \\ \therefore \quad c & = \pm \sqrt{3^2 \times 2^2+2^2}= \pm 2 \sqrt{10}\end{aligned}$

ধরি, উপবৃত্তটির সমীকরণ, $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ $...(1)$

উদ্দীপক হতে, উপবৃত্তের কেন্দ্র $C(0, 0)$

উল্লম্ব উপবৃত্তের কেন্দ্র মূলবিন্দু; উপকেন্দ্র $S(0,3),S\prime(0,-3)$ এবং নিয়ামক $3y-25=0,3y+25=0$.

উপকেন্দ্রদ্বয় $(0, \pm b e)=(0, \pm 3)$
এবং নিয়ামক রেখা $3 y \pm 25=0$
বা, $y= \pm \frac{25}{3}$
$\therefore$ নিয়ামকের পাদবিন্দু $\left(0, \pm \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}\right)=\left(0, \pm \frac{25}{3}\right)$
$\therefore \quad$ be $=3$ $\qquad$
এবং $\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{e}}=\frac{25}{3}$ $\qquad$
$(2)$ নং কে $(3)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই, $\frac{b e}{\frac{b}{e}}=\frac{3}{\frac{25}{3}}$

বা, $e^2=\frac{9}{25}$

$\therefore \quad e=\frac{3}{5}$

$(1)$নং হতে, $\mathrm{be}=3$ বা, $\mathrm{b} \times \frac{3}{5}=3$

$\therefore \quad b=5$

আবার, $\mathrm{a}=b \sqrt{1-\mathrm{e}^2}=5 \times \sqrt{1-\frac{9}{25}}=5 \times \frac{4}{5}=4$

এখন, a ও b এর মান $(1)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই, $\frac{\mathrm{x}^2}{16}+\frac{\mathrm{y}^2}{25}=1$ নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{25}=1$.

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $9 \mathrm{x}^2-16 \mathrm{y}^2+72 \mathrm{x}-32 \mathrm{y}=36$
বা, $9\left(x^2+8 x\right)-16\left(y^2+2 y\right)=36$
বা, $9\left(x^2+2 \cdot x \cdot 4+4^2-4^2\right)-16\left(y^2+2 \cdot y \cdot 1+1^2-1^2\right)=36$
বা, $9(x+4)^2-144-16(y+1)^2+16=36$
বা, $9(x+4)^2-16(y+1)^2=164$
বা, $\frac{(x+4)^2}{\frac{164}{9}}-\frac{(y+1)^2}{\frac{41}{4}}=1$
বা, $\frac{(x+4)^2}{\left(\frac{2 \sqrt{41}}{3}\right)^2}-\frac{(y+1)^2}{\left(\frac{\sqrt{41}}{2}\right)^2}=1$
ইহাই প্রমিত আকারের সমীকরণ.
যেখানে, $a=\frac{2 \sqrt{41}}{3}, b=\frac{\sqrt{41}}{2}$

$\therefore e=\sqrt{1+\frac{b^2}{a^2}}=\sqrt{1+\frac{\frac{41}{4}}{\frac{164}{9}}}=\sqrt{\frac{25}{16}}=\frac{5}{4}$

$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ, $x-\alpha= \pm \frac{a}{e}$
বা, $x+4= \pm \frac{2 \sqrt{41}}{3} \times \frac{4}{5}$
বা, $x=-4 \pm \frac{8 \sqrt{41}}{15}$
ইহাই নির্শেয় নিয়ামক্ষয়ের সমীকরণ.

এক বিন্দু $O$-তে সাম্যাবস্থার বল $U,V,W$. $U,V$-এর কোণ $2\alpha$, $U,W$-এর কোণ $\alpha$, অবশিষ্ট কোণ $2\pi-3\alpha$.

মনে করি, $O$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত $U, V$ ও $W$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করেছে.

$U$ ও $V$ এর অন্তর্গত কোণ $=2 \alpha$
$\therefore \quad \mathrm{U}$ ও W এর অন্তর্গত কোণ $=\alpha$
V ও W এর অন্তর্গত কোণ $=2 \pi-2 \alpha-\alpha=2 \pi-3 \alpha$
সাম্যাবস্থায় লামির সূত্রানুসারে পাই,

$\frac{U}{\sin (2 \pi-3 \alpha)}=\frac{V}{\sin \alpha}=\frac{W}{\sin 2 \alpha}$

বা, $\frac{U}{-\sin 3 \alpha}=\frac{V}{\sin \alpha}=\frac{W}{\sin 2 \alpha}$
বা, $\frac{U}{-\left(3 \sin \alpha-4 \sin ^3 \alpha\right)}=\frac{V}{\sin \alpha}=\frac{W}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
বা, $\frac{U}{\sin \alpha\left(4 \sin ^2 \alpha-3\right)}=\frac{V}{\sin \alpha}=\frac{W}{2 \sin \alpha \cos \alpha}$
বা, $\frac{U}{4 \sin ^2 \alpha-3}=V=\frac{W}{2 \cos \alpha}$

২য় ও ৩য় অনুপাত হতে, $V=\frac{W}{2 \cos \alpha}$

বা $\cos \alpha=\frac{W}{2 V}$

১ম ও ২য় অনুপাত হতে, $\frac{U}{4 \sin ^2 \alpha-3}=V$

বা $\frac{U}{V}=4 \sin ^2 \alpha-3=4\left(1-\cos ^2 \alpha\right)-3$

বা, $\frac{U}{V}=4-4 \cos ^2 \alpha-3=1-4 \cdot\left(\frac{W}{2 V}\right)^2=1-4 \cdot \frac{W^2}{4 V^2}=1-\frac{W^2}{V^2}$
বা, $\frac{U}{V}=\frac{V^2-W^2}{V^2}$
বা, $U=\frac{V^2-W^2}{V}$
: $\mathrm{V}^2-\mathrm{W}^2=\mathrm{UV}$. (প্রমাণিত)

আমরা জানি,

$t$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব, $\mathrm{s}_{\mathrm{t}}=\mathrm{u}+\frac{1}{2} \mathrm{a}(2 \mathrm{t}-1)$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\mathrm{g}=32$ ফুট/সে².

$\therefore 6$ তম সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব,

$h_t=u+\frac{1}{2} g(2 t-1)$

বা, $h_6=0+\frac{1}{2} \times 32 \times(2 \times 6-1)$

$\therefore h_6=176$ ফুট

$\therefore$ শেষের $1$ সেকেন্ডে অতিক্রান্ত দূরত্ব $176$ ফুট.