দেওয়া আছে,

জটিল সংখ্যাটি $8-4 \sqrt{-5}$

এখন,

$8-4 \sqrt{-5} = 8 - 4\sqrt{5 \cdot (-1)}$

$= 8 - 4\sqrt{5} i \quad [\because i^2 = -1 \Rightarrow i = \sqrt{-1}]$

$= 8 - 2 \cdot 2\sqrt{5} i$

$= 8 - 2\sqrt{4 \cdot 5} i$

$= 8 - 2\sqrt{20} i$

$= 10 - 2\sqrt{20} i - 2$

$= (\sqrt{10})^2 - 2 \cdot \sqrt{10} \cdot \sqrt{2} i + (\sqrt{2} i)^2 \quad [\because (\sqrt{2}i)^2 = 2i^2 = -2]$

$= (\sqrt{10} - \sqrt{2} i)^2$

$\therefore$ নির্ণেয় বর্গমূল $= \pm \sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{2} i)^2} = \pm(\sqrt{10} - \sqrt{2} i)$

দেওয়া আছে, $x^3-6 x^2+21 x-26=0$ $......(1)$

$(1)$ নং এর একটি মূল $2+3 i$ হলে, অন্য একটি মূল হবে $2-3 i$ ধরি, তৃতীয় মূলটি $\alpha$

$2+3 i+2-3 i+\alpha=-\frac{-6}{1}$

বা, $\alpha+4=6$

বা, $\alpha=6-4$

$\therefore \quad \alpha=2$

$\therefore$ সমীকরণটির অপর মূল দুইটি হলো $2-3 i, 2$.

দেওয়া আছে, $4 \sqrt{3} \sin \theta \cdot \cos \theta=3$

বা, $2 \sin \theta \cos \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$
বা, $\sin 2 \theta=\frac{\sqrt{3}}{2}=\sin \frac{\pi}{3}$
বা, $2 \theta=n \pi+(-1)^n \cdot \frac{\pi}{3} ;$ যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

$\therefore \theta=\frac{1}{2} n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta=\frac{1}{2} n \pi+(-1)^n \frac{\pi}{6}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{p}(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{x}+i \mathrm{y}$
এবং $|\mathrm{p}(\mathrm{x}-5, \mathrm{y})|+|\mathrm{p}(\mathrm{x}+5, \mathrm{y})|=15$
বা, $|x-5+i y|+|x+5+i y|=15$
বা, $\sqrt{(x-5)^2+y^2}+\sqrt{(x+5)^2+y^2}=15$
বা, $\sqrt{x^2-10 x+25+y^2}+\sqrt{x^2+10 x+25+y^2}=15$
বা, $\sqrt{x^2+10 x+25+y^2}=15-\sqrt{x^2-10 x+25+y^2}$

বা, $x^2+10 x+25+y^2=225-30 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2}$

$+x^2-10 x+25+y^2$ [বর্গ করে]

বা, $x^2+10 x+25+y^2-225-x^2+10 x-25-y^2=-30 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2}$
বা, $20 \mathrm{x}-225=-30 \sqrt{\mathrm{x}^2-10 \mathrm{x}+25+\mathrm{y}^2}$
বা, $5(4 x-45)=-30 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2}$
বা, $4 x-45=-6 \sqrt{x^2-10 x+25+y^2}$
বা, $16 x^2-360 x+2025=36\left(x^2-10 x+25+y^2\right)$ [পুনরায় বর্গ করে]
বা, $16 \mathrm{x}^2-360 \mathrm{x}+2025=36 \mathrm{x}^2-360 \mathrm{x}+900+36 \mathrm{y}^2$
বা, $36 x^2-360 x+36 y^2-16 x^2+360 x=2025-900$
$\therefore \quad 20 x^2+36 y^2=1125$ যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ নির্দেশ করে.

প্রথম সমকোণী ত্রিভুজে ভূমি $4$, লম্ব $1$, অতিভুজ $\sqrt{17}$. দ্বিতীয়টিতে ভূমি $5$, লম্ব $1$, অতিভুজ $\sqrt{26}$. সংশ্লিষ্ট কোণ $\sin^{-1}(1/\sqrt{17})$ ও $\cos^{-1}(5/\sqrt{26})$.

প্রদত্ত রাশি $=\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{17}}+\cos ^{-1} \frac{5}{\sqrt{26}}$

$=\tan ^{-1} \frac{1}{4}+\tan ^{-1} \frac{1}{5}$

$\begin{aligned} & =\tan ^{-1} \frac{\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}{1-\frac{1}{4} \cdot \frac{1}{5}} \\ & =\tan ^{-1} \frac{\frac{5+4}{20}}{\frac{20-1}{20}} \\ & =\tan ^{-1}\left(\frac{9}{20} \times \frac{20}{19}\right) \\ & =\tan ^{-1}\left(\frac{9}{19}\right)\end{aligned}$

$=25.35^{\circ}$ (প্রায়)

নির্ণেয় মান : $25.35^{\circ}$ (প্রায়).

দেওয়া আছে, $a x^2+b y^2-36 x-4 y+43=0$
এখন, $\mathrm{a}=6$ ও $\mathrm{b}=4$ হলে,

$6 x^2+4 y^2-36 x-4 y+43=0$

বা, $6\left(x^2-6 x\right)+4\left(y^2-y\right)+43=0$
বা, $6\left(x^2-2 \cdot x \cdot 3+3^2-3^2\right)+4\left(y^2-2 \cdot y \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right)+43=0$
বা, $6(x-3)^2-54+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-1+43=0$
বা. $6(x-3)^2+4\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=12$
বা, $\frac{(x-3)^2}{2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{3}=1$
যেখানে, $\mathrm{a}^2=2$ বা, $\mathrm{a}=\sqrt{2}$
এবং $b^2=3$ বা, $b=\sqrt{3}$
$\therefore$ উপবৃত্তটির কেন্দ্র $(\alpha, \beta)=\left(3, \frac{1}{2}\right)$
$\therefore$ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2 \mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}}=\frac{2 \times 2}{\sqrt{3}}=\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক
উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\sqrt{1-\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}}=\sqrt{1-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$
$\therefore$ নিয়ামকের সমীকরণ, $y-\beta= \pm \frac{b}{e}$
বা, $y-\frac{1}{2}= \pm \frac{\frac{\sqrt{3}}{1}}{\frac{1}{\sqrt{3}}}= \pm 3$

'+' চিহ্ন নিয়ে,

$y-\frac{1}{2}=3$

বা, $2 y-1=6$
বা, $2 y-7=0$

'-' চিহ্ন নিয়ে,

$y-\frac{1}{2}=-3$

বা, $2 y-1=-6$
বা, $2 y+5=0$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $\frac{4}{\sqrt{3}}$ একক এবং নিয়ামকের সমীকরণ,

$2 y-7=0,2 y+5=0$.

দেওয়া আছে, $y^2-6 y+28 x-131=0$
বা, $y^2-2$. y. $3+3^2-3^2+28 x-131=0$
বা, $(y-3)^2=-28 x+140$
বা, $(y-3)^2=-28(x-5)$
বা, $(y-3)^2=4(-7)(x-5)$,
বা, $Y^2=4 a X$; যেখানে, $X=x-5, Y=y-3$ এবং $a=-7$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক = (a, 0)

অর্থাৎ, $\mathrm{X}=\mathrm{a}$
বা, $\quad \dot{x}-5=-7$
বা, $x=-7+5=-2$
$\therefore \quad x=-2$
এবং $Y=0$
বা, $y-3=0$
$\therefore \quad y=3$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(-2,3)$.

মূলবিন্দুকেন্দ্রিক উপবৃত্তে অনুভূমিক বৃহৎ অক্ষ, উপকেন্দ্র $S,S\prime$ এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z,Z\prime$.

ধরি, উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{\mathrm{x}^2}{\mathrm{a}^2}+\frac{\mathrm{y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$ $........(1)$

দেওয়া আছে, $\mathrm{SS}^{\prime}=32$ এবং $\mathrm{ZZ}^{\prime}=50$
x ও y অক্ষ উপবৃত্তের অক্ষ হলে কেন্দ্র $\mathrm{O}(0,0)$
যেহেতু $\mathrm{SS}^{\prime}=32$ বা, $2 \mathrm{ae}=32$ বা, $\mathrm{ae}=16$ $........(2)$

এবং $Z Z^{\prime}=50$ বা, $2 \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}=50$ বা, $\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}=25$ $........(3)$
$(2)$ নং কে $(3)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{a e}{\frac{a}{e}}=\frac{16}{25}$

বা, $e^2=\frac{16}{25}$

$\therefore \quad e=\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$

$(2)$ নং হতে পাই, $\mathrm{ae}=16$

বা, $a \times \frac{4}{5}=16$

$\therefore \quad a=20$

আমরা জানি, $b=a \sqrt{1-e^2}$
বা, $\mathrm{b}=20 \sqrt{1-\frac{16}{25}}=20 \sqrt{\frac{9}{25}}=20 \times \frac{3}{5}$

$\therefore \quad b=12$

$(1)$ নং সমীকরণে $a$ ও $b$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{20^2}+\frac{y^2}{12^2}=1$

বা, $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$
নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{x^2}{400}+\frac{y^2}{144}=1$.

ধরি, অধিবৃত্তটির সমীকরণ,

$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ $.....(1)$

দেওয়া আছে, অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\frac{\sqrt{5}}{2}>1$
এবং উপকেন্দ্র $( \pm 2,0)$
অর্থাৎ, $\mathrm{ae}=2$
বা, $\mathrm{a} \times \frac{\sqrt{5}}{2}=2$.

$\therefore \quad a=\frac{4}{\sqrt{5}}$

আবার, আমরা জানি, $b=a \sqrt{e^2-1}$
বা, $b=\frac{4}{\sqrt{5}} \sqrt{\frac{5}{4}-1}=\frac{2}{\sqrt{5}}$

$\therefore \quad b=\frac{2}{\sqrt{5}}$

এখন, $a$ ও $b$-এর মান $(1)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$\frac{x^2}{\frac{16}{5}}-\frac{y^2}{\frac{4}{5}}=1$

বা, $\frac{5 x^2}{16}-\frac{5 y^2}{4}=1$
নির্ণেয় অধিবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{5 \mathrm{x}^2}{16}-\frac{5 \mathrm{y}^2}{4}=1$,

ধরি, বল দুইটি $P$ ও $Q$ .
$\therefore \quad$ বৃহত্তম লব্ধি, $\mathrm{P}+\mathrm{Q}=17$ $..........(i)$

এবং বলদ্বয় সমকোণে ক্রিয়া করলে, $\mathrm{P}^2+\mathrm{Q}^2=(13)^2$
বা, $(\mathrm{P}+\mathrm{Q})^2-2 \mathrm{PQ}=(13)^2$
বা, $(17)^2-2 \mathrm{PQ}=(13)^2$
বা, $2 \mathrm{PQ}=(17)^2-(13)^2=289-169=120$

$\therefore \quad P Q=60$

এখন, $\mathrm{P}-\mathrm{Q}=\sqrt{(\mathrm{P}+\mathrm{Q})^2-4 \mathrm{PQ}}$

$=\sqrt{(17)^2-(4 \times 60)}=\sqrt{289-240}=\sqrt{49}=7$

বা, $P-Q=7$ $..........(i)$
$(i)$ নং ও $(ii)$ নং যোগ করে পাই, $\mathrm{P}+\mathrm{Q}+\mathrm{P}-\mathrm{Q}=17+7$

বা, $2 \mathrm{P}=24$
$\therefore \quad P=12 N$

$p$ এর মান $(i)$ নং এ বসিয়ে পাই, $12+\mathrm{Q}=17$
বা, $Q=17-12$
$Q=5 N$

এখন,$P$ ও $Q$ বলচয় $\alpha=120^{\circ}$ কোণে ক্রিয়া করলে,
লব্ধি,

$\begin{aligned}R & =\sqrt{P^2+Q^2+2 P Q \cos \alpha} \\& =\sqrt{(12)^2+5^2+2 \times 12 \times 5 \cos 120^{\circ}} \\& =\sqrt{144+25+120 \times\left(-\frac{1}{2}\right)} \\& =\sqrt{144+25-60}=\sqrt{109} \mathrm{~N}\end{aligned}$

নির্ণেয় লব্ধি $\sqrt{109} \mathrm{~N}$.

$ABC$ বৃত্তে অন্তর্লিখিত; পরিকেন্দ্র $O$, $CO$ রেখা $AB$-কে $D$-তে ছেদ করে. $CO$ বরাবর নিচের দিকে $P$ বলের সমান্তরাল অংশ $A$-তে $X$ ও $B$-তে $Y$.

এখন, $\triangle \mathrm{ABC}$ এর পরিকেন্দ্র $O$ এবং $CO$ বরাবর $P$ মানের বলটি ক্রিয়ারত আছে. $P$ এর সমান্তরালে $A$ ও $B$ বিন্দুতে এর অংশদ্বয় যথাক্রমে $X$ ও $Y$. $O, A$ ও $0, B$ যোগ করি .

এখন, $\mathrm{X} \cdot \mathrm{AD}=\mathrm{Y} \cdot \mathrm{BD}$
বা, $X \cdot \frac{A D}{O D}=Y \cdot \frac{B D}{O D}$
বা, $\mathrm{X} \cdot \frac{\frac{A D}{O A}}{\frac{O D}{O A}}=\mathrm{Y} \cdot \frac{\frac{B D}{O B}}{\frac{O D}{O B}}$
বা, $X \cdot \frac{\sin \angle A O D}{\sin \angle O A D}=Y \cdot \frac{\sin \angle B O D}{\sin \angle O B D}$

বা, $\mathrm{X} \cdot \frac{\sin \angle \mathrm{AOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}=\mathrm{Y} \cdot \frac{\sin \angle \mathrm{BOD}}{\sin \angle \mathrm{OAD}}$ [য়েহেতু $\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=$ পরিবৃত্তের
ব্যাসার্ধ. তাই $\angle \mathrm{OAD}=\angle \mathrm{OBD}$ ]
বা, $\mathrm{X} \cdot \sin \angle \mathrm{AOD}=\mathrm{Y} \cdot \sin \angle \mathrm{BOD}$
বা, $\frac{X}{Y}=\frac{\sin \angle B O D}{\sin \angle A O D}=\frac{\sin (\pi-\angle B O C)}{\sin (\pi-\angle A O C)}$
বা, $\frac{\mathrm{X}}{\mathrm{Y}}=\frac{\sin \angle \mathrm{BOC}}{\sin \angle \mathrm{AOC}}=\frac{\sin 2 \angle \mathrm{BAC}}{\sin 2 \angle \mathrm{ABC}}[\because$ কেন্দ্রস্থ কোণ বৃত্তস্থ কোণের দ্বিগুণ $]$
বা, $\frac{X}{Y}=\frac{\sin 2 A}{\sin 2 B}$
$\therefore \quad \mathrm{X}: \mathrm{Y}=\sin 2 \mathrm{~A}: \sin 2 \mathrm{~B}$ (দেখানো হলো)