$\begin{aligned} \frac{i}{1+i} & =\frac{i(1-i)}{(1+i)(1-i)}=\frac{i-i^2}{1^2-i^2}=\frac{i+1}{1+1}\left[\because i^2=-1\right] \\ & =\frac{1+i}{2}=\frac{1}{2}+\frac{i}{2}\end{aligned}$

$\therefore \quad \frac{\mathrm{i}}{1+\mathrm{i}}=\frac{1}{2}+\frac{\mathrm{i}}{2}$ এর মডুলাস $=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2}$

$\begin{aligned} & =\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1+1}{4}} \\ & =\sqrt{\frac{2}{4}}=\sqrt{\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\end{aligned}$

নির্ণেয় মডুলাস $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

দেওয়া আছে; z = x + iy এখন, $|3 z+1|=|z-3 i|$
বা; $|3(x+i y)+1|=|x+i y-3 i|$
বা, $|3 x+3 i y+1|=|x+i y-3 i|$
বা, $|(3 x+1)+i 3 y|=|x+i(y-3)|$
বা, $\sqrt{(3 x+1)^2+(3 y)^2}=\sqrt{x^2+(y-3)^2}$
বা, $(3 x+1)^2+(3 y)^2=x^2+(y-3)^2 \quad$ [বর্গ করে]
বা, $9 x^2+6 x+1+9 y^2=x^2+\dot{y}^2-6 y+9$
বা, $9 x^2+6 x+1+9 y^2-x^2-y^2+6 y-9=0$
বা, $8 x^2+8 y^2+6 x+6 y-8=0$
বা, $8\left(x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1\right)=0$

$\therefore \quad x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1=0 ;$ যা একটি বৃত্তের সমীকরণ.

নির্ণেয় সঞ্চারপথের সমীকরণ, $x^2+y^2+\frac{3}{4} x+\frac{3}{4} y-1=0$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}$
এখন, $z=\sqrt[3]{3+5 i}$ হলে, $x+i y=\sqrt[3]{3+5 i}$
বা, $(x+i y)^3=3+5 i$ [ঘন করে]
বা, $x^3+3 x^2 . i y+3 x(i y)^2+(i y)^3=3+5 i$
বা, $x^3+3 i x^2 y-3 x y^2-i y^3=3+5 i\left[\because i^2=-1\right.$ এবং $\left.i^3=-i\right]$
বা, $\left(x^3-3 x y^2\right)+i\left(3 x^2 y-y^3\right)=3+i 5$

উভয়পক্ষ হতে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সমীকৃত করে পাই,

$x^3-3 x y^2=3$
বা, $x\left(x^2-3 y^2\right)=3$
বা, $x^2-3 y^2=\frac{3}{x}$
বা, $\frac{x^2-3 y^2}{4}=\frac{3}{4 x}$..........(i)

এবং $3 x^2 y-y^3=5$
বা, $y\left(3 x^2-y^2\right)=5$
বা, $3 x^2-y^2=\frac{5}{y}$
বা, $\frac{3 x^2-y^2}{4}=\frac{5}{4 y}$ ..........(ii)

বামপক্ষ $=\sqrt{\frac{3}{4 x}+\frac{5}{4 y}}$

$=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2}{4}+\frac{3 x^2-y^2}{4}}$ [(1)নং ও (2)নং হতে]

$=\sqrt{\frac{x^2-3 y^2+3 x^2-y^2}{4}}=\sqrt{\frac{4 x^2-4 y^2}{4}}$

$=\sqrt{\frac{4\left(x^2-y^2\right)}{4}}=\sqrt{x^2-y^2}=$ ডানপক্ষ

$\therefore \quad \sqrt{\frac{3}{4 x}+\frac{5}{4 y}}=\sqrt{x^2-y^2}$. (প্রমাণিত)

এখানে $\sqrt[3]{3+5i}$-কে প্রধান জটিল ঘনমূল হিসেবে নিলে $x>0,y>0$ এবং $x^2-y^2>0$, তাই উভয় বর্গমূল বাস্তব ও অঋণাত্মক. অন্য ঘনমূলের শাখা নিলে বাস্তব বর্গমূলের এই ব্যাখ্যা আলাদাভাবে পরীক্ষা করতে হবে.

দেওয়া আছে,

$3x^2 - mx + 25 = 0 \dots \dots (i)$

ধরি,

$(i)$ নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

যেহেতু একটি মূল অপরটির তিনগুণ,

$\therefore$ অপর মূলটি হবে $3\alpha$

এখন, মূলদ্বয়ের যোগফল:

$\alpha + 3\alpha = -\frac{-m}{3}$

$\Rightarrow 4\alpha = \frac{m}{3}$

$\Rightarrow \alpha = \frac{m}{12} \dots \dots (ii)$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল:

$\alpha \cdot 3\alpha = \frac{25}{3}$

$\Rightarrow 3\alpha^2 = \frac{25}{3}$

$\Rightarrow \alpha^2 = \frac{25}{9}$

$\therefore \alpha = \pm\frac{5}{3} \dots \dots (iii)$

এখন, $(ii)$ ও $(iii)$ নং সমীকরণ হতে $\alpha$ এর মান তুলনা করে পাই:

$\frac{m}{12} = \pm\frac{5}{3}$

$\Rightarrow m = \pm\frac{5 \times 12}{3}$

$\Rightarrow m = \pm(5 \times 4)$

$\therefore m = \pm 20$

$\therefore m$ এর নির্ণেয় মান $\pm 20$

দেওয়া আছে,

$x^3 + qx + r = 0$

$\Rightarrow x^3 + 0\cdot x^2 + qx + r = 0 \dots \dots (i)$

$(i)$ নং সমীকরণের তিনটি মূল $\alpha, \beta, \gamma$.

বহুপদীর মূল ও সহগের সম্পর্ক হতে পাই:

মূলত্রয়ের যোগফল, $\alpha + \beta + \gamma = 0$

$\therefore \beta + \gamma = -\alpha$

দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, $\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \frac{q}{1} = q$

মূলত্রয়ের গুণফল, $\alpha\beta\gamma = -\frac{r}{1} = -r$

যেহেতু $\alpha$, $(i)$ নং সমীকরণের একটি মূল, তাই এটি সমীকরণটিকে সিদ্ধ করবে:

$\alpha^3 + q\alpha + r = 0$

$\Rightarrow \alpha^3 = -r - q\alpha$

এখন,

বামপক্ষ $= (\beta-\gamma)^2$

$= (\beta+\gamma)^2 - 4\beta\gamma$

$= (-\alpha)^2 - 4\left(\frac{-r}{\alpha}\right)$ $\left[\because \beta+\gamma = -\alpha \text{ এবং } \alpha\beta\gamma = -r \Rightarrow \beta\gamma = \frac{-r}{\alpha}\right]$

$= \alpha^2 + \frac{4r}{\alpha}$

$= \frac{\alpha^3 + 4r}{\alpha}$

$= \frac{-r - q\alpha + 4r}{\alpha}$ $[\because \alpha^3 = -r - q\alpha]$

$= \frac{3r - q\alpha}{\alpha}$

$=$ ডানপক্ষ

$\therefore (\beta-\gamma)^2 = \frac{3r-q\alpha}{\alpha}$ (দেখানো হলো)

দেওয়া আছে,

$x^3 + qx + r = 0$

$\Rightarrow x^3 + 0\cdot x^2 + qx + r = 0 \dots \dots (i)$

$(i)$ নং সমীকরণের তিনটি মূল $\alpha, \beta, \gamma$.

'খ' হতে প্রাপ্ত:

$\alpha + \beta + \gamma = 0 \Rightarrow \beta+\gamma = -\alpha, \quad \gamma+\alpha = -\beta, \quad \alpha+\beta = -\gamma$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = q$

$\alpha\beta\gamma = -r$

আমাদের $\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3}, \frac{\gamma+\alpha}{\beta^3}, \frac{\alpha+\beta}{\gamma^3}$ মূলবিশিষ্ট সমীকরণ নির্ণয় করতে হবে.

মূলগুলোকে সরল করে পাই:

$\frac{\beta+\gamma}{\alpha^3} = \frac{-\alpha}{\alpha^3} = -\frac{1}{\alpha^2}$

$\frac{\gamma+\alpha}{\beta^3} = \frac{-\beta}{\beta^3} = -\frac{1}{\beta^2}$

$\frac{\alpha+\beta}{\gamma^3} = \frac{-\gamma}{\gamma^3} = -\frac{1}{\gamma^2}$

এখন নতুন সমীকরণের মূলত্রয় হলো: $-\frac{1}{\alpha^2}, -\frac{1}{\beta^2}, -\frac{1}{\gamma^2}$

১. মূলত্রয়ের যোগফল:

$= \left(-\frac{1}{\alpha^2}\right) + \left(-\frac{1}{\beta^2}\right) + \left(-\frac{1}{\gamma^2}\right)$

$= -\left(\frac{1}{\alpha^2} + \frac{1}{\beta^2} + \frac{1}{\gamma^2}\right)$

$= -\left(\frac{\beta^2\gamma^2 + \gamma^2\alpha^2 + \alpha^2\beta^2}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}\right)$

$= -\frac{(\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha)^2 - 2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$

$= -\frac{(q)^2 - 2(-r)(0)}{(-r)^2}$

$= -\frac{q^2}{r^2}$

২. দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল:

$= \left(-\frac{1}{\alpha^2}\right)\left(-\frac{1}{\beta^2}\right) + \left(-\frac{1}{\beta^2}\right)\left(-\frac{1}{\gamma^2}\right) + \left(-\frac{1}{\gamma^2}\right)\left(-\frac{1}{\alpha^2}\right)$

$= \frac{1}{\alpha^2\beta^2} + \frac{1}{\beta^2\gamma^2} + \frac{1}{\gamma^2\alpha^2}$

$= \frac{\gamma^2 + \alpha^2 + \beta^2}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}$

$= \frac{(\alpha+\beta+\gamma)^2 - 2(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)}{(\alpha\beta\gamma)^2}$

$= \frac{(0)^2 - 2(q)}{(-r)^2}$

$= \frac{-2q}{r^2} = -\frac{2q}{r^2}$

৩. মূলত্রয়ের গুণফল:

$= \left(-\frac{1}{\alpha^2}\right) \times \left(-\frac{1}{\beta^2}\right) \times \left(-\frac{1}{\gamma^2}\right)$

$= -\frac{1}{\alpha^2\beta^2\gamma^2}$

$= -\frac{1}{(\alpha\beta\gamma)^2}$

$= -\frac{1}{(-r)^2}$

$= -\frac{1}{r^2}$

নির্ণেয় সমীকরণ:

$x^3 - ($ মূলত্রয়ের যোগফল $)x^2 + ($ দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল $)x - ($ মূলত্রয়ের গুণফল $) = 0$

$\Rightarrow x^3 - \left(-\frac{q^2}{r^2}\right)x^2 + \left(-\frac{2q}{r^2}\right)x - \left(-\frac{1}{r^2}\right) = 0$

$\Rightarrow x^3 + \frac{q^2}{r^2}x^2 - \frac{2q}{r^2}x + \frac{1}{r^2} = 0$

উভয়পক্ষকে $r^2$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\therefore r^2x^3 + q^2x^2 - 2qx + 1 = 0$

নির্ণেয় সমীকরণ: $r^2x^3 + q^2x^2 - 2qx + 1 = 0$

এখানে $r\ne0$ প্রয়োজন, যাতে মূলত্রয় অশূন্য এবং প্রদত্ত ভগ্নাংশগুলো সংজ্ঞায়িত থাকে.

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে,: $3 x^2-7 \dot{x}+2=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$

$\therefore \alpha+\beta=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$ এবং $\alpha \beta=\frac{2}{3}$
বা, $\frac{2}{3} x^2+2 \cdot \frac{7}{3} x+\frac{12}{3}=\frac{0}{3}$
বা, $\alpha \beta x^2+2(\alpha+\beta) x+4=0$
বা, $\alpha \beta \mathrm{x}^2+2 \alpha \mathrm{x}+2 \beta \mathrm{x}+4=0$
বা, $\alpha x(\beta x+2)+2(\beta x+2)=0$
বা, $(\beta x+2)(\alpha x+2)=0$
হয়, $\beta x+2=0$
বা, $\beta x=-2$

$\therefore x=\frac{-2}{\beta}$

অথবা, $\alpha \mathrm{x}+2=0$
বা, $\alpha x=-2$

$\therefore x=\frac{-2}{\alpha}$

দেওয়া আছে, $3 x^2-7 x+2=0$ সমীকরণের মূলদ্বয় $\alpha, \beta$.

$\therefore \alpha+\beta=-\frac{-7}{3}=\frac{7}{3}$ এবং $\alpha \beta=\frac{2}{3}$

এখন, $\left(2+\alpha+\alpha^2\right)\left(2+\beta+\beta^2\right)$

$\begin{aligned} & =4+2 \beta+2 \beta^2+2 \alpha+\alpha \beta+\alpha \beta^2+2 \alpha^2+\alpha^2 \beta+\alpha^2 \beta^2 \\ & =4+2 \alpha+2 \beta+2 \alpha^2+2 \beta^2+\alpha \beta+\alpha^2 \beta+\alpha \beta^2+\alpha^2 \beta^2 \\ & =4+2(\alpha+\beta)+2\left(\alpha^2+\beta^2\right)+\alpha \beta+\alpha \beta(\alpha+\beta)+(\alpha \beta)^2 \\ & =4+2(\alpha+\beta)+2\left\{(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta\right\}+\alpha \beta+\alpha \beta(\alpha+\beta)+(\alpha \beta)^2 \\ & =4+2 \cdot \frac{7}{3}+2\left\{\left(\frac{7}{3}\right)^2-2 \cdot \frac{2}{3}\right\}+\frac{2}{3}+\frac{2}{3} \cdot \frac{7}{3}+\left(\frac{2}{3}\right)^2\end{aligned}$

$\begin{aligned} & =4+\frac{14}{3}+2\left(\frac{49}{9}-\frac{4}{3}\right)+\frac{2}{3}+\frac{14}{9}+\frac{4}{9} \\ & =4+\frac{14}{3}+\frac{98}{9}-\frac{8}{3}+\frac{2}{3}+\frac{14}{9}+\frac{4}{9} \\ & =\frac{36+42+98-24+6+14+4}{9} \\ & =\frac{200-24}{9}=\frac{176}{9}\end{aligned}$

নির্ণেয় মান : $\frac{176}{9}$.

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে, $f(\theta)=\cos \theta$
এখন, $4 f(\theta) f(2 \theta) f(3 \theta)=1$, যখন $0^{\circ}<\theta<\pi$
বা. $4 \cos \theta \cos 2 \theta \cos 3 \theta=1$
বা, $(2 \cos \theta \cos 3 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1$
বা, $(\cos 4 \theta+\cos 2 \theta)(2 \cos 2 \theta)=1$
বা, $2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+2 \cos ^2 2 \theta-1=0$
বা, $2 \cos 4 \theta \cos 2 \theta+\cos 4 \theta=0$
বা, $\cos 4 \theta(2 \cos 2 \theta+1)=0$

হয়, $\cos 4 \theta=0$
বা, $4 \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{2} ;$
যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}$

$\therefore \quad \theta=(2 n+1) \frac{\pi}{8}$

অথবা, $2 \cos 2 \theta+1=0$
বা, $2 \cos 2 \theta=-1$
বা, $\cos 2 \theta=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2 \pi}{3}$
বা, $2 \theta=2 n \pi \pm \frac{2 \pi}{3}$, যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

$\therefore \theta=n \pi \pm \frac{\pi}{3}$

$n = 0$ হলে, $\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{-\pi}{3}$
$n = 1$ হলে, $\theta=\frac{3 \pi}{8}, \frac{4 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}$
$n = - 1$ হলে, $\theta=-\frac{\pi}{8},-\frac{2 \pi}{3},-\frac{4 \pi}{3}$
$n = 2$ হলে, $\theta=\frac{5 \pi}{8}, \frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}$
$n = 3$ হলে, $\theta=\frac{7 \pi}{8}, \frac{10 \pi}{3}, \frac{8 \pi}{3}$.
$n = 4$ হলে, $\theta=\frac{9 \pi}{8}, \frac{13 \pi}{3}, \frac{11 \pi}{3}$

$0<\theta<\pi$ ব্যবধিতে $x=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}$

নির্ণেয় সমাধান : $\theta=\frac{\pi}{8}, \frac{\pi}{3}, \frac{3 \pi}{8}, \frac{5 \pi}{8}, \frac{2 \pi}{3}, \frac{7 \pi}{8}$.

দেওয়া আছে, $9 x^2-16 y^2-36 x-32 y-124=0$
বা, $(3 x)^2-2 \cdot 3 x \cdot 6+6^2-\left\{(4 y)^2+2 \cdot 4 y \cdot 4+4^2\right\}-6^2+4^2-124=0$
বা, $(3 x-6)^2-(4 y+4)^2=144$
বা, $9(x-2)^2-16(y+1)^2=144$
বা, $\frac{(x-2)^2}{16}-\frac{(y+1)^2}{9}=1$
বা, $\frac{(x-2)^2}{4^2}-\frac{(y+1)^2}{3^2}=1$.
বা, $\frac{\mathrm{X}^2}{\mathrm{a}^2}-\frac{\mathrm{Y}^2}{\mathrm{~b}^2}=1$; যা অধিবৃত্তের প্রমিত আকার.
যেখানে, $X=x-2, Y=y+1, a=4$ এবং $b=3$
$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}}=\sqrt{1+\frac{9}{16}}=\frac{5}{4}$
অধিবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক ( $\pm$ ae, 0)

অর্থাৎ, X= $\pm$ ae
বা, $x-2= \pm 4 \cdot \frac{5}{4}$
বা, $x= \pm 5+2$
$\therefore \quad \mathrm{x}=7,-3$

এবং Y = 0
বা, $y+1=0$

$\therefore \quad y=-1$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $(7,-1),(-3,-1)$.

খ' নং হতে প্রাপ্ত, উদ্দীপকের অধিবৃত্তের সমীকরণ,

$\frac{(x-2)^2}{4^2}-\frac{(y+1)^2}{3^2}=1$

$\therefore \quad$ কেন্দ্র $(\alpha, \beta)=(2,-1)$

$\therefore \quad$ অসীমতটের সমীকরণ, $\mathrm{y}+1= \pm \frac{3}{4}(\mathrm{x}-2)$

বা, $4 y+4= \pm(3 x-6)$

' + ' চিহ্ন নিয়ে, $4 y+4=3 x-6$

বা, $3 x-4 y-10=0$ ............ (i)

'-' চিহ্ন নিয়ে, $4 y+4=-3 x+6$

বা, $3 x+4 y-2=0$ ............ (ii)

প্রদত্ত পরাবৃত্তের সমীকরণ,

$3 y^2-10 x-12 y-18=0$

বা, $3\left(y^2-4 y\right)=10 x+18$
বা, $3\left(y^2-2 \cdot y \cdot 2+2^2-2^2\right)=10 x+18$
বা, $3(y-2)^2-12=10 x+18$
বা, $3(y-2)^2=10 x+30$
বা, $(y-2)^2=\frac{10}{3}(x+3)$
বা, $(y-2)^2=4 \cdot \frac{5}{6}(x+3)$
বা, $\quad \mathrm{Y}^2=4 \mathrm{aX}$
যেখানে, $X=x+3, Y=y-2$ এবং $a=\frac{5}{6}$
পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু $(X, Y)$ = $(0,0)$

অর্থাৎ, X = 0
বা, $x+3=0$
$\therefore \mathrm{x}=-3$
$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-3,2)$

এবং $Y=0$
বা, $y-2=0$

$\therefore \quad y=2$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(-3,2)$
$\therefore \quad$ শীর্ষ থেকে $(i)$ নং অসীমতটের লম্ব দূরত্ব

$=\left|\frac{3 \times(-3)-4 \times 2-10}{\sqrt{3^2+(-4)^2}}\right|$

$=\left|\frac{-9-8-10}{\sqrt{25}}\right|=\left|\frac{-27}{5}\right|=\frac{27}{5}$ একক

এবং শীর্ষ থেকে $(ii)$ নং অসীমতটের লম্ব দূরত্ব

$=\left|\frac{3 \times(-3)+4 \times 2-2}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|$

$=\left|\frac{-9+8-2}{\sqrt{25}}\right|=\left|\frac{-3}{5}\right|=\frac{3}{5}$ একক

ভূমি থেকে $h$ উচ্চতায় বেলুনের সঙ্গে পাথরটির প্রাথমিক বেগ $20\,\mathrm{m/s}$ ঊর্ধ্বমুখী.

এখানে, বেগ $\mathrm{u}=20 \mathrm{~ms}^{-1}$
এবং $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$
মনে করি, $h$ $m$ উচ্চতা থেকে পাথরটি
ফেলা হয়েছিল.

$\therefore h=-u t+\frac{1}{2} g t^2$

বা, $h=(-20 \times 15)+\left(\frac{1}{2} \times 9.8 \times 15^2\right)$

$\therefore \mathrm{h}=802.5 \mathrm{~m}$

অতএব, $802.5 m$ উচ্চতা থেকে পাথর খণ্ডটি ফেলা হয়েছিল .

দিক নির্দেশক অক্ষে উত্তর উপরে ও পূর্ব ডানে. আপেক্ষিক বাতাসের বেগ উত্তর-পূর্ব থেকে দক্ষিণ-পশ্চিমে; প্রকৃত বাতাসের বেগ দক্ষিণ-পূর্বে এবং পূর্বের সঙ্গে $\theta$ কোণ করে.

উদ্দীপক অনুযায়ী, বাসের বেগ, $v_b=60$ কি.মি./ঘ. বাতাসের আপেক্ষিক বেগ, $v_{a b}=30 \sqrt{2}$ কি.মি./ঘ. ধরি, বাতাসের প্রকৃত বেগ $\mathrm{v}_{\mathrm{a}}$ যা পূর্ব দিকের সাথে $\theta$ কোণে দক্ষিণ দিকে বইছে.

$\therefore \quad v_a=\sqrt{(60)^2+(30 \sqrt{2})^2+2 \times 60 \times 30 \sqrt{2} \times \cos \left(90^{\circ}+45^{\circ}\right)}$

বা, $v_a=30 \sqrt{2}$ কি.মি./ঘ.
আবার, $\tan \theta=\frac{30 \sqrt{2} \sin 135^{\circ}}{60+30 \sqrt{2} \cos 135^{\circ}}=1$

$\therefore \quad \theta=45^{\circ}$

অতএব, বাতাস $30 \sqrt{2}$ কি.মি./ঘ. বেগে পূর্ব দিকের সাথে 45° কোণে দক্ষিণ দিকে বইছে.

ধরি, উভয় মটরসাইকেল. সময় পর গন্তব্যস্থলে (s দূরত্বে) পৌছেছিল.

১ম মটরসাইকেল এর জন্য : $s=u_1 t+\frac{1}{2} a t^2$ $......(i)$

২য় মটরসাইকেল এর জন্য : $s=u_2 t+\frac{1}{2} b t^2$ $......(ii)$

$(i)$ ও $(ii)$ হতে পাই,

$u_1 t+\frac{1}{2} a t^2=u_2 t+\frac{1}{2} b t^2$

বা, $\frac{1}{2} t^2(a-b)=\left(u_2-u_1\right) t$
বা, $t=\frac{2\left(u_2-u_1\right)}{a-b}$
$t$ এর মান $(i)$ এ বসাই .

$s=u_1 \times \frac{2\left(u_2-u_1\right)}{a-b}+\frac{1}{2} a \frac{4\left(u_2-u_1\right)^2}{(a-b)^2}$

বা, $\quad s(a-b)^2=2\left(u_2-u_1\right)\left[u_1(a-b)+a\left(u_2-u_1\right)\right]$
বা, $s(a-b)^2=2\left(u_2-u_1\right)\left[u_1 a-u_1 b+u_2 a-u_1 a\right]$
বা, $\quad s(a-b)^2=2\left(u_2-u_1\right)\left(u_2 a-u_1 b\right)$
$\therefore \quad s(a-b)^2=2\left(u_1-u_2\right)\left(u_1 b-u_2 a\right)$ (দেখানো হলো)

ধরি, ২য় ট্রেনের বেগ $= v$
$\therefore \quad$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3 \mathrm{v}$
$\therefore \quad$ ১ম ট্রেনের দৈর্ঘ্য, $\mathrm{s}_1=500$ মি.
২য় ট্রেনের দৈর্ঘ্য, $\mathrm{s}_2=700$ মি.
$\therefore$ মোট দৈর্ঘ্য $s=s_1+s_2=(500+700)$ মি. $=1200$ মি.
যদি ট্রেন দুইটি একই দিক থেকে পরস্পরকে অত্তিক্রম করে তবে তাদের আপেক্ষিক বেগ, $v_r=3 v-v=2 v$
আবার, অড্রিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় t হলে,

$s=v_r t$

বা, $1200=2 \mathrm{v} \times 15$
বা, $v=40$ মি./সে.
$\therefore \quad$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3 \times 40=120$ মি./সে.
আবার, ট্রেন দুইটি যদি পরস্পর বিপরীত দিক থেকে অতিক্রম করে তবে তাদের আপেক্ষিক বেগ, $\mathrm{v}_{\mathrm{r}}^{\prime}=3 \mathrm{v}+\mathrm{v}=4 \mathrm{v}$
$\therefore \quad$ অতিক্রম করতে প্রয়োজনীয় সময় $t$ হলে,

$s=v_r^{\prime} t$

বা, $1200=4 \mathrm{v} \times 15$
বা, $v=20$ মি./সে.
$\therefore \quad$ ১ম ট্রেনের বেগ $=3 \times 20=60$ মি./সে.
অতএব, ট্রেন দুইটি পরস্পরকে একই দিক থেকে অতিক্রম করলে ১ম ট্রেনের বেগ হবে $120$ মি./সে.. আর বিপরীত দিক থেকে অতিক্রম করলে ১ম ট্রেনের বেগ হবে $60$ মি./সে..