দেওয়া আছে, $\mathrm{P}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$

$a=-\frac{1}{2} $ এবং $ b=-\frac{\sqrt{3}}{2} $ হলে,

$P =-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2} i $

$ =\frac{1}{2}(-1-i \sqrt{3}) $

$ =\omega $ [এককের কাল্পনিক ঘনমূল]

প্রদত্ত রাশি

$ =4 \mathrm{P}^6+25 \mathrm{P}^5+20 \mathrm{P}^4+\mathrm{P}^3+5 \mathrm{P}+20 $

$ =4 \omega^6+25 \omega^5+20 \omega^4+\omega^3+5 \omega+20 $

$ =4\left(\omega^3\right)^2+25 \omega^3 \cdot \omega^2+20 \omega^3 \cdot \omega+\omega^3+5 \omega+20 $

$ =4+25 \omega^2+20 \omega+1+5 \omega+20\left[\because \omega^3=1\right] $

$ =25+25 \omega+25 \omega^2 $

$ =25\left(1+\omega+\omega^2\right) $

$ =25 \cdot 0\left[\because 1+\omega+\omega^2=0\right] $

$ =0 $

নির্পেয় মান : 0 .

প্রদত্ত মূল $2+\sqrt{-3}=2+i\sqrt{3}$

সমীকরণের সহগ বাস্তব হলে অপর মূল হবে এর অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $2-i\sqrt{3}$

মূলদ্বয়ের যোগফল,

$(2+i\sqrt{3})+(2-i\sqrt{3})=4$

মূলদ্বয়ের গুণফল,

$(2+i\sqrt{3})(2-i\sqrt{3})=4-(i\sqrt{3})^2=4+3=7$

সুতরাং নির্ণেয় দ্বিঘাত সমীকরণ,

x² − (মূলদ্বয়ের যোগফল)x + মূলদ্বয়ের গুণফল = 0

অর্থাৎ x² − 4x + 7 = 0

দেওয়া আছে,

$P(x)=ax^2-12 x+c-2$ এবং $a=27$

শর্তমতে,

$P(x)=0$

$\therefore 27 x^2-12 x+c-2=0 \dots \dots (i)$

ধরি,

$(i)$ নং সমীকরণের একটি মূল $\alpha$

যেহেতু একটি মূল অপরটির বর্গের সমান, তাই অপর মূলটি হবে $\alpha^2$

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha+\alpha^2=-\frac{-12}{27}=\frac{4}{9}$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha \cdot \alpha^2=\frac{c-2}{27} \Rightarrow \alpha^3=\frac{c-2}{27}$

এখন,

$\alpha+\alpha^2=\frac{4}{9}$

উভয়পক্ষকে ঘন (Cube) করে পাই,

$\Rightarrow \left(\alpha+\alpha^2\right)^3=\left(\frac{4}{9}\right)^3$

$\Rightarrow \alpha^3+\left(\alpha^2\right)^3+3 \alpha \cdot \alpha^2\left(\alpha+\alpha^2\right)=\frac{64}{729}$

$\Rightarrow \alpha^3+\left(\alpha^3\right)^2+3 \alpha^3\left(\alpha+\alpha^2\right)=\frac{64}{729}$

মান বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow \frac{c-2}{27}+\left(\frac{c-2}{27}\right)^2+3 \cdot\left(\frac{c-2}{27}\right)\left(\frac{4}{9}\right)=\frac{64}{729}$

$\Rightarrow \frac{c-2}{27}+\frac{(c-2)^2}{729}+\frac{12(c-2)}{243}=\frac{64}{729}$

উভয়পক্ষকে $729$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$\Rightarrow 27(c-2)+(c-2)^2+36(c-2)=64$

$\Rightarrow 27c-54+c^2-4c+4+36c-72-64=0$

$\Rightarrow c^2+(27-4+36)c-54+4-72-64=0$

$\Rightarrow c^2+59 c-186=0$

এটি $c$ এর একটি দ্বিঘাত সমীকরণ.

$\therefore c =\frac{-59 \pm \sqrt{(59)^2-4 \cdot 1 \cdot (-186)}}{2 \cdot 1}$

$c =\frac{-59 \pm \sqrt{3481+744}}{2}$

$c =\frac{-59 \pm \sqrt{4225}}{2}$

$c =\frac{-59 \pm 65}{2}$

হয়, $c = \frac{-59+65}{2} = \frac{6}{2} = 3$

অথবা, $c = \frac{-59-65}{2} = \frac{-124}{2} = -62$

নির্ণেয় মান: $c = 3$ অথবা $-62$

দেওয়া আছে,

$P(x)=a x^2-12 x+c-2$

এখানে $a=-14$ এবং $c=1$ বসালে পাই,

$P(x) =-14 x^2-12 x+1-2 = -14 x^2-12 x-1$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$8 x^3+19 x+P(x)=0$

$\Rightarrow 8 x^3+19 x-14 x^2-12 x-1=0$

$\Rightarrow 8 x^3-14 x^2+7 x-1=0 \dots \dots (i)$

ধরি,

$(i)$ নং ত্রিঘাত সমীকরণের মূল তিনটি গুণোত্তর প্রগমনভুক্ত (Geometric Progression) হওয়ায় মূলত্রয় হলো: $\frac{\alpha}{r}, \alpha, \alpha r$

মূল তিনটির গুণফল,

$\frac{\alpha}{r} \cdot \alpha \cdot \alpha r = -\frac{-1}{8}$

$\Rightarrow \alpha^3 = \frac{1}{8}$

$\Rightarrow \alpha^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3$

$\therefore \alpha = \frac{1}{2}$

আবার, মূল তিনটির যোগফল,

$\frac{\alpha}{r}+\alpha+\alpha r=-\frac{-14}{8}=\frac{7}{4}$

$\Rightarrow \alpha\left(\frac{1}{r}+1+r\right)=\frac{7}{4}$

$\alpha = \frac{1}{2}$ বসিয়ে পাই,

$\Rightarrow \frac{1}{2}\left(\frac{1+r+r^2}{r}\right)=\frac{7}{4}$

$\Rightarrow \frac{r^2+r+1}{r}=\frac{7}{2}$

$\Rightarrow 2r^2+2r+2=7r$

$\Rightarrow 2r^2-5r+2=0$

$\Rightarrow 2r^2-4r-r+2=0$

$\Rightarrow 2r(r-2)-1(r-2)=0$

$\Rightarrow (r-2)(2r-1)=0$

হয় $r-2=0 \Rightarrow r=2$

অথবা $2r-1=0 \Rightarrow r=\frac{1}{2}$

এখন, $\alpha=\frac{1}{2}$ এবং $r=2$ হলে মূলত্রয় হবে:

$\frac{\frac{1}{2}}{2}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot 2 \Rightarrow \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$

আবার, $\alpha=\frac{1}{2}$ এবং $r=\frac{1}{2}$ হলে মূলত্রয় হবে:

$\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \Rightarrow 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{4}$

নির্ণেয় মূলত্রয়: $\frac{1}{4}, \frac{1}{2}, 1$

দেওয়া আছে, $2+x-3 x^2=0$

বা, $-3 x^2+x+2=0$

বা, $3 x^2-x-2=0$

(1) নং এর মূলদ্বয় $\alpha$ ও $\beta$ হলে, $\alpha+\beta=-\frac{-1}{3}=\frac{1}{3}$ এবং $\alpha \beta=\frac{-2}{3}$

এখন, $\Sigma \alpha^2 =\alpha^2+\beta^2 $

$ =(\alpha+\beta)^2-2 \alpha \beta $

$ =\left(\frac{1}{3}\right)^2-2 \cdot\left(\frac{-2}{3}\right)=\frac{1}{9}+\frac{4}{3}=\frac{1+12}{9}=\frac{13}{9} $

নির্ণেয় মান : $\frac{13}{9}$.

সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি $\sqrt2$, লম্ব $1$, অতিভুজ $\sqrt3$, ভূমিসংলগ্ন কোণ $\cos^{-1}\sqrt{2/3}$.

প্রদত্ত রাশি $=\tan ^{-1} \sin \cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{3}} $

$ =\tan ^{-1} \sin \cos ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} $

$=\tan ^{-1} \sin \sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}$

$=\tan ^{-1} \frac{1}{\sqrt{3}}=\tan ^{-1}\left(\tan \frac{\pi}{6}\right)=\frac{\pi}{6}$

নির্ণেয় মান : $\frac{\pi}{6}$.

দেওয়া আছে, $\cos \mathrm{x}+\sqrt{3} \sin \mathrm{x}=\mathrm{B}$

এখন, $B=\sqrt{2}$ হলে, $\cos x+\sqrt{3} \sin x=\sqrt{2}$

বা, $\frac{1}{2} \cos x+\frac{\sqrt{3}}{2} \sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{1^2+(\sqrt{3})^2}=2$ - দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi}{3} \cdot \cos x+\sin \frac{\pi}{3} \sin x=\frac{1}{\sqrt{2}}$

বা, $\cos \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=\cos \frac{\pi}{4}$

বা, $x-\frac{\pi}{3}=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4} ;$ যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

বা, $x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{3}$

বা, $\quad x=2 n \pi+\frac{7 \pi}{12}, 2 n \pi+\frac{\pi}{12} ;$ যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

$\therefore \quad x=(24 n+7) \frac{\pi}{12} ;(24 n+1) \frac{\pi}{12} ;$ যেখানে $n \in \mathbb{Z}$

$n=0 $ হলে, $ x=\frac{7 \pi}{12}, \frac{\pi}{12} $

$n=1 $ হলে, $ x=\frac{31 \pi}{12}, \frac{25 \pi}{12} $

$n=-1 $ হলে, $ x=\frac{-17 \pi}{12}, \frac{-23 \pi}{12} $

$-\pi

নির্ণেয় সমাধান : $ x=\frac{\pi}{12}, \frac{7 \pi}{12}$

দেওয়া আছে, উপকেন্দ্র $S(4,5)$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ $2 y=7$ বা, $2 y-7=0$

ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$.

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP=PM

বা, $\mathrm{SP}^2=\mathrm{PM}^2$

বা, $(x-4)^2+(y-5)^2=\left|\frac{2 y-7}{\sqrt{0+2^2}}\right|^2$

বা, $(x-4)^2+(y-5)^2=\frac{(2 y-7)^2}{4}$

বা, $4(x-4)^2+4\left(y^2-10 y+25\right)=(2 y-7)^2$

বা, $4(x-4)^2+4 y^2-40 y+100=4 y^2-28 y+49$

বা, $4(x-4)^2=12 y-51$

বা, $4(x-4)^2=12\left(y-\frac{17}{4}\right)$

বা, $(x-4)^2=4 \cdot\left(\frac{3}{4}\right)\left(y-\frac{17}{4}\right)$

বা, $X^2=4 a Y$; যেখানে, $X=x-4, Y=y-\frac{17}{4}$ এবং $a=\frac{3}{4}$

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক $(\mathrm{X}, \mathrm{Y})=(0,0)$

অর্থাৎ, $\mathrm{X}=0$

বা, $x-4=0$

$ \therefore \quad x=4$

এবং $\mathrm{Y}=0$

বা, $y-\frac{17}{4}=0$

$ \therefore \quad y=\frac{17}{4}$

$\therefore$ শীর্ষবিন্দু $(\alpha, \beta)=\left(4, \frac{17}{4}\right)$

$\therefore \quad$ উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্ত বিন্দুদ্বয়ের স্থানাঙ্ক

$ =( \pm 2 a+\alpha, a+\beta) $

$ =\left( \pm \frac{3}{2}+4, \frac{3}{4}+\frac{17}{4}\right)=\left(\frac{11}{2}, 5\right)$ এবং $\left(\frac{5}{2}, 5\right) $

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের প্রান্তবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\frac{11}{2}, 5\right)$ এবং $\left(\frac{5}{2}, 5\right)$.

দেওয়া আছে, $4 y^2-5 x^2=20$

বা, $\frac{y^2}{5}-\frac{x^2}{4}=1$ সমীকরণটিকে $\frac{y^2}{b^2}-\frac{x^2}{a^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

$\therefore \quad \mathrm{a}^2=4$ এবং $\mathrm{b}^2=5$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\sqrt{1+\frac{\mathrm{a}^2}{\mathrm{~b}^2}}=\sqrt{1+\frac{4}{5}}=\frac{3}{\sqrt{5}}$

নির্ণেয় উৎকেন্দ্রিকতা $\frac{3}{\sqrt{5}}$.

উদ্দীপক হতে, উপকেন্দ্র, S(0,0)

উৎকেন্দ্রিকতা, $\mathrm{e}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

এবং নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $3 x+4 y-12=0$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $\mathrm{P}(\mathrm{x}, \mathrm{y})$

উপবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, SP = e. PM

বা, $\mathrm{SP}^2=\mathrm{e}^2 \mathrm{PM}^2$

বা, $(x-0)^2+(y-0)^2=\frac{1}{3}\left|\frac{3 x+4 y-12}{\sqrt{3^2+4^2}}\right|^2$

বা, $x^2+y^2=\frac{1}{75}(3 x+4 y-12)^2$

বা, $75 \mathrm{x}^2+75 \mathrm{y}^2=9 \mathrm{x}^2+16 \mathrm{y}^2+144+24 \mathrm{xy}-96 \mathrm{y}-72 \mathrm{x}$

বা, $66 x^2+59 y^2-24 x y+72 x+96 y-144=0$;

ইহাই নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ.

$PQR$ ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র $O$. $OP,OQ,OR$ বরাবর যথাক্রমে $S,T,W$ বল বহির্মুখী. $OP,OQ,OR$ সংশ্লিষ্ট শীর্ষকোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে.

PQR ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র ০ থেকে OP, OQ এবং OR বরাবর কার্যরত যথাক্রমে S, T এবং W বল তিনটি সাম্যাবস্থায় আছে.

লামির উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$\frac{\mathrm{S}}{\sin \angle \mathrm{QOR}}=\frac{\mathrm{T}}{\sin \angle \mathrm{POR}}=\frac{\mathrm{W}}{\sin \angle \mathrm{POQ}}$

বা, $\frac{S}{\sin \left(\pi-\frac{Q+R}{2}\right)}=\frac{T}{\sin \left(\pi-\frac{P+R}{2}\right)}=\frac{W}{\sin \left(\pi-\frac{P+Q}{2}\right)}$

বা, $\frac{\mathrm{S}}{\sin \frac{\mathrm{Q}+\mathrm{R}}{2}}=\frac{\mathrm{T}}{\sin \frac{\mathrm{P}+\mathrm{R}}{2}}=\frac{\mathrm{W}}{\sin \frac{\mathrm{P}+\mathrm{Q}}{2}}$

বা, $\frac{S}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{P}{2}\right)}=\frac{T}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{Q}{2}\right)}=\frac{W}{\sin \left(\frac{\pi}{2}-\frac{R}{2}\right)}[\because \Delta P Q R \rightarrow P+Q+R=\pi]$

বা, $\frac{\mathrm{S}}{\cos \frac{\mathrm{P}}{2}}=\frac{\mathrm{T}}{\cos \frac{\mathrm{Q}}{2}}=\frac{\mathrm{W}}{\cos \frac{\mathrm{R}}{2}}$

$\therefore \quad \mathrm{S}: \mathrm{T}: \mathrm{W}=\cos \frac{\mathrm{P}}{2}: \cos \frac{\mathrm{Q}}{2}: \cos \frac{\mathrm{R}}{2} \cdot$ (প্রমাণিত)