$-16-30 \mathrm{i}$ এর বর্গমূল $=\sqrt{-16-30 \mathrm{i}}$

$\begin{aligned} & =\sqrt{9-30 i-25} \\ & =\sqrt{(3)^2-2 \cdot 3 \cdot 5 i+(5 i)^2} \\ & =\sqrt{(3-5 i)^2}= \pm(3-5 i)\end{aligned}$

নির্ণেয় বর্গমূল : $\pm(3-5 \mathrm{i})$.

দেওয়া আছে, $z_1=a-i b$

এবং $z_2=c-i d$

এখানে, $x: y=z_1: z_2$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{z_1}{z_2}$

বা, $\frac{x}{y}=\frac{a-i b}{c-i d}$

বা, $x(c-i d)=y(a-i b)$
বা, $c x-i d x=a y-i b y$
বা, $c x-a y=i d x-i b y$
বা. $(c x-a y)^2=(i d x-i b y)^2$ [বর্গ করে]
বা, $(c x)^2-2 \cdot c x \cdot a y+(a y)^2=(i d x)^2-2 \cdot i d x \cdot i b y+(i b y)^2$
বা, $c^2 x^2-2 a c x y+a^2 y^2=i^2 d^2 x^2-2 i^2 b d x y+i^2 b^2 y^2$
বা, $c^2 x^2-2 a c x y+a^2 y^2=-d^2 x^2+2 b d x y-b^2 y^2\left[\because i^2=-1\right]$
বা, $c^2 x^2+d^2 x^2+a^2 y^2+b^2 \dot{y}^2=2 a c x y+2 b d x y$
$\therefore \quad\left(c^2+d^2\right) x^2+\left(a^2+b^2\right) y^2=2(a c+b d) x y$. (দেখানো হলো)

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে, $3 x^3-2 x^2+1=0$

বা, $3 x^3-2 x^2+0 . x+1=0$ $...........(1)$

$(1)$ নং এর মূলত্রয় $\alpha, \beta, \gamma$ হলে , $\alpha+\beta+\gamma=-\frac{-2}{3}=\frac{2}{3}$

বা , $\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha=\frac{0}{3}=0 ; \alpha \beta \gamma=-\frac{1}{3}$
এখন, $\sum \alpha \beta^2=\alpha \beta^2+\gamma \beta^2+\alpha \gamma^2+\beta \gamma^2+\beta \alpha^2+\gamma \alpha^2$

$\begin{aligned} & =\beta \alpha^2+\alpha \beta^2+\alpha \beta \gamma+\gamma \beta^2+\beta \gamma^2+\alpha \beta \gamma+\gamma \alpha^2+\alpha \gamma^2+\alpha \beta \gamma-3 \alpha \beta \gamma \\ & =\alpha \beta(\alpha+\beta+\gamma)+\beta \gamma(\alpha+\beta+\gamma)+\gamma \alpha(\alpha+\beta+\gamma)-3 \alpha \beta \gamma \\ & =(\alpha+\beta+\gamma)(\alpha \beta+\beta \gamma+\gamma \alpha)-3 \alpha \beta \gamma \\ & =\frac{2}{3} \cdot 0-3 \cdot\left(-\frac{1}{3}\right)=0+1=1\end{aligned}$

নির্ণেয় মান : 1.

দেওয়া আছে, $\mathrm{x}^2-2 \mathrm{bx}+\left(2 \mathrm{~b}^2-2 \mathrm{bp}+\mathrm{p}^2\right)=0$
সমীকরণটির নিশ্চায়ক $=(-2 b)^2-4 \cdot 1\left(2 b^2-2 b p+p^2\right)$

$\begin{aligned} & =4 b^2-8 b^2+8 b p-4 p^2 \\ & =-4 b^2+8 b p-4 p^2\end{aligned}$

সমীকরণটির মূলজয় সমান হলে, নিশ্চায়ক = 0 অর্থাৎ $-4 b^2+8 b p-4 p^2=0$
বা. $-4\left(b^2-2 b p+p^2\right)=0$
বা, $b^2-2 b p+p^2=0$
বা. $(b-p)^2=0$
বা, $b-p=0$
$\therefore \mathrm{b}=\mathrm{p}$. (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, $\varphi(x)=a x^3-42 x^2+63 x-27$
$a=0$ এবং $\varphi(x)=0$ হলে,

$0 \cdot x^3-42 x^2+63 x-27=0$

বা, $-42 x^2+63 x-27=0$
বা, $-3\left(14 x^2-21 x+9\right)=0$
বা, $14 x^2-21 x+9=0$
$(1)$ নং এর মূলতায় $\beta, \gamma$ হলে,

$\beta+\gamma=-\frac{-21}{14}=\frac{3}{2}$

এবং $\beta \gamma=\frac{9}{14}$
আবার, $\beta+\gamma=\frac{3}{2}$
বা, $2 \beta+2 \gamma=3$
বা, $3-2 \beta=2 \gamma$ অথবা, $3-2 \gamma=2 \beta$
এখন, ( $3-2 \beta$ ) ও ( $3-2 \gamma$ ) মূলবিশিষ্ট দ্বিঘাত সমীকরণ,

$x^2-\{(3-2 \beta)+(3-2 \gamma)\} x+(3-2 \beta)(3-2 \gamma)=0$

বা, $x^2-(2 \gamma+2 \beta) x+2 \gamma \cdot 2 \beta=0[\because 3-2 \beta=2 \gamma$ এবং $3-2 \gamma=2 \beta]$
বা, $x^2-2(\beta+\gamma) x+4 \beta \gamma=0$
বা, $x^2-2 \cdot \frac{3}{2} x+4 \cdot \frac{9}{14}=0$
বা, $x^2-3 x+\frac{18}{7}=0$

$\therefore \quad 7 x^2-21 x+18=0$

নির্বের সমীকরণ $7 x^2-21 x+18=0$.

প্রথম সমকোণী ত্রিভুজের ভূমি $5$, লম্ব $3$, অতিভুজ $\sqrt{34}$ ও ভূমিসংলগ্ন কোণ $\sec^{-1}(\sqrt{34}/5)$. দ্বিতীয়টির ভূমি $4$, লম্ব $1$, অতিভুজ $\sqrt{17}$ ও ভূমিসংলগ্ন কোণ $\sin^{-1}(1/\sqrt{17})$.

$\begin{aligned} & \sec ^{-1} \frac{\sqrt{34}}{5}+\sin ^{-1} \frac{1}{\sqrt{17}} \\ & =\tan ^{-1} \frac{3}{5}+\tan ^{-1} \frac{1}{4} \\ & =\tan ^{-1} \frac{\frac{3}{5}+\frac{1}{4}}{1-\frac{3}{5} \cdot \frac{1}{4}}=\frac{\frac{12+5}{20}}{\frac{20-3}{20}} \\ & =\tan ^{-1} \frac{\frac{17}{20}}{\frac{17}{20}}=\tan ^{-1} 1=\tan ^{-1} \tan \frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}\end{aligned}$

নির্ণেয় মান : $\frac{\pi}{4}$.

দেওয়া আছে. $f(x)=\cos x$
এখন, $\sqrt{3} f(\mathrm{x})+f\left(\frac{\pi}{2}+\mathrm{x}\right)=1$
বা, $\sqrt{3} \cos x+\cos \left(\frac{\pi}{2}+x\right)=1$
বা, $\sqrt{3} \cos x-\sin x=1$
বা, $\frac{\sqrt{3}}{2} \cos x-\frac{1}{2} \sin x=\frac{1}{2}$

[উভয়পক্ষকে $\sqrt{(\sqrt{3})^2+1^2}$ বা, 2 দ্বারা ভাগ করে]

বা, $\cos \frac{\pi}{6} \cos x-\sin \frac{\pi}{6} \sin x=\frac{1}{2}$
বা. $\cos \left(\frac{\pi}{6}+x\right)=\cos \frac{\pi}{3}$
বা, $\frac{\pi}{6}+\mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}$, যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}$
বা, $\mathrm{x}=2 \mathrm{n} \pi \pm \frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}$, যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}$
বা, $x=2 n \pi+\frac{\pi}{6}, 2 n \pi-\frac{\pi}{2} ;$ যেখানে $n \in \mathbb{Z}$
$\therefore \quad \mathrm{x}=(12 \mathrm{n}+1) \frac{\pi}{6},(4 \mathrm{n}-1) \frac{\pi}{2} ;$ যেখানে $\mathrm{n} \in \mathbb{Z}$

$n = 0$ হলে, $x=-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}$
$n = 1$ হলে, $x=\frac{13 \pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$
$n = - 1$ হলে, $x=\frac{-11 \pi}{6}, \frac{-5 \pi}{2}$
$n = 2$ হলে, $x=\frac{25 \pi}{6}, \frac{7 \pi}{2}$
$n = - 2$ হলে, $x=\frac{-23 \pi}{6}, \frac{-9 \pi}{2}$

$-2 \pi

নির্ণেয় সমাধান : $\frac{-11 \pi}{6},-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{6}, \frac{3 \pi}{2}$

দেওয়া আছে,

$f(x, y) = 16x^2 - 9y^2 + 64x + 54y - 161$

শর্তমতে, $f(x, y) = 0$

$\Rightarrow 16x^2 - 9y^2 + 64x + 54y - 161 = 0$

$\Rightarrow 16(x^2 + 4x) - 9(y^2 - 6y) - 161 = 0$

$\Rightarrow 16(x^2 + 4x + 4 - 4) - 9(y^2 - 6y + 9 - 9) - 161 = 0$

$\Rightarrow 16(x + 2)^2 - 64 - 9(y - 3)^2 + 81 - 161 = 0$

$\Rightarrow 16(x + 2)^2 - 9(y - 3)^2 = 161 + 64 - 81$

$\Rightarrow 16(x + 2)^2 - 9(y - 3)^2 = 144$

উভয়পক্ষকে $144$ দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\Rightarrow \frac{16(x + 2)^2}{144} - \frac{9(y - 3)^2}{144} = 1$

$\Rightarrow \frac{(x + 2)^2}{9} - \frac{(y - 3)^2}{16} = 1$

$\therefore \frac{(x + 2)^2}{3^2} - \frac{(y - 3)^2}{4^2} = 1 \dots \dots (i)$

এটি একটি অধিবৃত্তের প্রমিত সমীকরণ $\frac{(x - \alpha)^2}{a^2} - \frac{(y - \beta)^2}{b^2} = 1$ নির্দেশ করে.

তুলনা করে পাই, $a = 3$, $b = 4$ এবং কেন্দ্র $(\alpha, \beta) = (-2, 3)$.

আমরা জানি,

অধিবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \sqrt{1 + \frac{b^2}{a^2}}$

$\Rightarrow e = \sqrt{1 + \frac{16}{9}} = \sqrt{\frac{25}{9}}$

$\therefore e = \frac{5}{3}$

উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য:

$= \frac{2b^2}{a}$

$= \frac{2 \times 16}{3}$

$= \frac{32}{3}$ একক.

নিয়ামকের পাদবিন্দু:

আমরা জানি,

নিয়ামকের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $\left(\pm \frac{a}{e} + \alpha, \beta\right)$

এখানে, $\pm \frac{a}{e} = \pm \frac{3}{\frac{5}{3}} = \pm \frac{9}{5}$

অতএব, পাদবিন্দুদ্বয়: $\left(\pm \frac{9}{5} - 2, 3\right)$

ধনাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই: $\left(\frac{9}{5} - 2, 3\right) \Rightarrow \left(\frac{9 - 10}{5}, 3\right) \Rightarrow \left(-\frac{1}{5}, 3\right)$

ঋণাত্মক চিহ্ন নিয়ে পাই: $\left(-\frac{9}{5} - 2, 3\right) \Rightarrow \left(\frac{-9 - 10}{5}, 3\right) \Rightarrow \left(-\frac{19}{5}, 3\right)$

নির্ণেয় উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য: $\frac{32}{3}$ একক এবং নিয়ামকের পাদবিন্দুদ্বয়: $\left(-\frac{1}{5}, 3\right)$ ও $\left(-\frac{19}{5}, 3\right)$.

দৃশ্যকল্প-২ এর চিত্র হতে পাই,

পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দু, $A(2, 3)$

নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $y = 6 \Rightarrow y - 6 = 0 \dots \dots (i)$

যেহেতু নিয়ামক রেখাটি অনুভূমিক ($x$-অক্ষের সমান্তরাল), তাই পরাবৃত্তের অক্ষরেখা হবে উলম্ব ($y$-অক্ষের সমান্তরাল).

অক্ষরেখাটি শীর্ষবিন্দু $A(2, 3)$ গামী হওয়ায় এর সমীকরণ হবে: $x = 2$.

অক্ষরেখা ($x=2$) এবং নিয়ামক রেখা ($y=6$) এর ছেদবিন্দুই হলো নিয়ামকের পাদবিন্দু.

অতএব, নিয়ামকের পাদবিন্দু, $Z(2, 6)$.

ধরি, পরাবৃত্তটির উপকেন্দ্র $S(\alpha, \beta)$.

আমরা জানি,

শীর্ষবিন্দু $A$, উপকেন্দ্র $S$ এবং নিয়ামকের পাদবিন্দু $Z$ এর মধ্যবিন্দু.

সুতরাং, $A(2, 3) = \left(\frac{\alpha + 2}{2}, \frac{\beta + 6}{2}\right)$

স্থানাঙ্ক সমীকৃত করে পাই,

$\frac{\alpha + 2}{2} = 2 \Rightarrow \alpha + 2 = 4 \Rightarrow \alpha = 2$

$\frac{\beta + 6}{2} = 3 \Rightarrow \beta + 6 = 6 \Rightarrow \beta = 0$

অতএব, উপকেন্দ্র, $S(2, 0)$.

এখন ধরি, পরাবৃত্তের উপরস্থ যেকোনো একটি বিন্দু $P(x, y)$ এবং $P$ থেকে নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব $PM$.

পরাবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে আমরা জানি, $SP = PM$

$\Rightarrow SP^2 = PM^2$

$\Rightarrow (x - 2)^2 + (y - 0)^2 = \left(\frac{\vert y - 6\vert }{\sqrt{0^2 + 1^2}}\right)^2$

$\Rightarrow (x - 2)^2 + y^2 = (y - 6)^2$

$\Rightarrow x^2 - 4x + 4 + y^2 = y^2 - 12y + 36$

$\Rightarrow x^2 - 4x + 12y + 4 - 36 = 0$

$\therefore x^2 - 4x + 12y - 32 = 0$

নির্ণেয় পরাবৃত্তের সমীকরণ: $x^2 - 4x + 12y - 32 = 0$.

$AB$ ভূমির সঙ্গে $\alpha$ কোণে মসৃণ তল. তলের $C$ বিন্দুতে অনুভূমিক $Q$, নিম্নমুখী ওজন $W$ এবং তলের লম্ব বরাবর $R_1$ ক্রিয়াশীল.

১ম চিত্রে, $\alpha$ কোণে হেলানো তল $AB$ এর ওপর $C$ বিন্দুতে $W$ ওজনের বস্কুকে ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত $Q$ বল স্থির অবস্থায় রাখে. হেলানো তলটির ওপর বস্কুটির চাপ $\mathrm{R}_1$ হলে বল $\mathrm{R}_1$, $\mathrm{Q}$, $W$ ভারসাম্য সৃষ্টি করবে.

$\mathrm{R}_1$ চাপ AB এর সাথে লম্বিক দিকে হবে.

লামির সুত্রানুযায়ী $\frac{\mathrm{R}_1}{\sin 90^{\circ}}=\frac{Q}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{W}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)}$

বা, $\frac{\mathrm{R}_1}{1}=\frac{\mathrm{Q}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{\cos \alpha}$

এখন, $\frac{Q}{\sin \alpha}=\frac{W}{\cos \alpha}$

বা, $\frac{W}{Q}=\frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$

বা, $\frac{W}{Q}=\cot \alpha$

বা, $\frac{W^2}{Q^2}=\cot ^2 \alpha$ $......(i)$

$AB$ ভূমির সঙ্গে $\alpha$ কোণে মসৃণ তল. তলের $C$ বিন্দুতে তল বরাবর ঊর্ধ্বমুখী $P$, নিচে $W$ এবং তলের উপর লম্ব $R_2$ ক্রিয়াশীল.

২য় চিত্রে, হেলানো তলটির দৈর্ঘ্যের দিকে $P$ বল ক্রিয়াশীল হওয়ায় $W$ ওজনের বস্কুটি হেলানো তলটির ওপর স্থির অবস্থায় থাকে. বস্তুর চাপ $\mathrm{R}_2$ হলে $\mathrm{R}_2, \mathrm{P}, \mathrm{W}$ বল তিনটি ভারসাম্য সৃষ্টি করবে এবং $\mathrm{R}_2$ চাপ হেলানো তলের সাথে লম্বিক দিকে ক্রিয়াশীল থাকবে.

লামির সূত্রানুযায়ী, $\frac{\mathrm{R}_2}{\sin \left(90^{\circ}+\alpha\right)}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \left(180^{\circ}-\alpha\right)}=\frac{\mathrm{W}}{\sin 90^{\circ}}$

বা, $\frac{\mathrm{R}_2}{\cos \alpha}=\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\frac{\mathrm{W}}{1}$

এখন, $\frac{\mathrm{P}}{\sin \alpha}=\mathrm{W}$

বা, $\frac{W}{P}=\frac{1}{\sin \alpha}$

বা, $\frac{W}{P}=\operatorname{cosec} \alpha$

বা, $\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}=\operatorname{cosec}^2 \alpha$ $.....(ii)$

$(ii)$ নং হতে $(i)$ নং বিয়োগ করে পাই,

$\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{P}^2}-\frac{\mathrm{W}^2}{\mathrm{Q}^2}=\operatorname{cosec}^2 \alpha-\cot ^2 \alpha$

বা, $W^2\left(\frac{1}{\mathrm{P}^2}-\frac{1}{\mathrm{Q}^2}\right)=1$

বা, $W^2\left(\frac{Q^2-P^2}{P^2 Q^2}\right)=1$

বা, $W^2=\frac{P^2 Q^2}{Q^2-P^2}$

$\therefore \quad W=\frac{P Q}{\sqrt{Q^2-P^2}}$ (প্রমাণিত)

মনে করি, বলদ্বয় ভূমি থেকে x মি. উচ্চতায় ১ম বল নিক্ষেপের t সময় পরে মিলিত হবে.
১ম বলের জন্য : $x=49 t-\frac{1}{2} g t^2$ $..........(i)$

২য় বলের জন্য : $x=49(t-2)-\frac{1}{2} g(t-2)^2$ $..........(ii)$
$(i)$ ও $(ii)$ হতে,

$49 t-\frac{1}{2} g t^2=49(t-2)-\frac{1}{2} g(t-2)^2$

বা, $49 t-\frac{1}{2} g t^2=49 t-98-\frac{1}{2} g t^2+2 g t-2 g$
বা, $2 \mathrm{gt}=98+2 \mathrm{~g}$
বা, $\mathrm{t}=\frac{98+2 \times 9.8}{2 \times 9.8}=6 \mathrm{sec}$
$t$ এর মান $(i)$ নং সমীকরণে বসিয়ে পাই,

$x=49 \times 6-\frac{1}{2} \times 9.8 \times 6^2$

$\therefore \quad \mathrm{x}=117.6$ মিটার
অতএব, ১ম বল নিক্ষেপের 6 সে. পর 117.6 মিটার উচ্চতায় বল দুটি মিলিত হবে.