ধরি,

একটি জটিল সংখ্যা $z = -2+2i$

এখানে, $x = -2$ এবং $y = 2$

$\therefore -2+2i$ এর মডুলাস, $\vert z\vert = \sqrt{x^2+y^2}$

$= \sqrt{(-2)^2+(2)^2}$

$= \sqrt{4+4}$

$= \sqrt{8}$

$= 2\sqrt{2}$

যেহেতু $x$ ঋণাত্মক এবং $y$ ধনাত্মক, তাই $(-2, 2)$ বিন্দুটি ২য় চতুর্ভাগে (2nd Quadrant) অবস্থিত.

$\therefore -2+2i$ এর আর্গুমেন্ট, $\theta = \pi - \tan^{-1}\left\vert \frac{y}{x}\right\vert $

$= \pi - \tan^{-1}\left\vert \frac{2}{-2}\right\vert $

$= \pi - \tan^{-1}\vert -1\vert $

$= \pi - \tan^{-1}(1)$

$= \pi - \frac{\pi}{4}$

$= \frac{3\pi}{4}$

নির্ণেয় মডুলাস: $2\sqrt{2}$ এবং আর্গুমেন্ট: $\frac{3\pi}{4}$

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে, $\arg \left(\frac{p-5}{p+2}\right)=\frac{\pi}{2}$ এবং $p = x+iy$

প্রথমে, জটিল ভগ্নাংশটিকে $A+iB$ আকারে প্রকাশ করি:

$\frac{p-5}{p+2} = \frac{x+iy-5}{x+iy+2}$

$= \frac{(x-5)+iy}{(x+2)+iy}$

হর ও লবকে হরের অনুবন্ধী জটিল সংখ্যা $(x+2)-iy$ দ্বারা গুণ করে পাই,

$= \frac{\{(x-5)+iy\}\{(x+2)-iy\}}{\{(x+2)+iy\}\{(x+2)-iy\}}$

$= \frac{(x-5)(x+2) - i(x-5)y + i(x+2)y - i^2y^2}{(x+2)^2 - i^2y^2}$

$= \frac{(x-5)(x+2) - ixy + 5iy + ixy + 2iy - (-1)y^2}{(x+2)^2 - (-1)y^2} \quad [\because i^2 = -1]$

$= \frac{(x-5)(x+2) + y^2 + i(7y)}{(x+2)^2 + y^2}$

$= \frac{(x-5)(x+2) + y^2}{(x+2)^2 + y^2} + i\frac{7y}{(x+2)^2 + y^2}$

আমরা জানি, কোনো জটিল সংখ্যার আর্গুমেন্ট $\frac{\pi}{2}$ (অর্থাৎ ধনাত্মক $Y$-অক্ষ বরাবর) হলে তার বাস্তব অংশ শূন্য ($0$) হয়.

শর্তানুসারে, বাস্তব অংশ $= 0$

$\therefore \frac{(x-5)(x+2) + y^2}{(x+2)^2 + y^2} = 0$

$\Rightarrow (x-5)(x+2) + y^2 = 0$

$\Rightarrow y^2 = -(x-5)(x+2)$

$\Rightarrow y^2 = (5-x)(x+2)$

$\therefore y^2=(5-x)(x+2) \quad$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে,

$3x^2 + 7x + 8 = 0$

আমরা জানি,

$ax^2 + bx + c = 0$ সমীকরণের নিশ্চায়ক $D = b^2 - 4ac$.

সুতরাং, প্রদত্ত সমীকরণটির নিশ্চায়ক:

$D = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot 8$

$D = 49 - 96$

$D = -47$

যেহেতু সমীকরণটির নিশ্চায়ক $D < 0$,

সুতরাং, সমীকরণটির মূলদ্বয় জটিল এবং অসমান.

দেওয়া আছে,

$h(x) = 2x^3 - 6x^2 + 4x - 2$

প্রশ্নমতে, $h(x) = 0$

$\Rightarrow 2x^3 - 6x^2 + 4x - 2 = 0$

$\Rightarrow x^3 - 3x^2 + 2x - 1 = 0 \dots \dots (i)$ [উভয়পক্ষকে $2$ দ্বারা ভাগ করে সরল করা হলো]

যেহেতু $(i)$ নং সমীকরণের মূলত্রয় $a, b, c$, তাই:

মূলত্রয়ের যোগফল, $a + b + c = -\left(\frac{-3}{1}\right) = 3$

দুটি করে মূলের গুণফলের যোগফল, $ab + bc + ca = \frac{2}{1} = 2$

মূলত্রয়ের গুণফল, $abc = -\left(\frac{-1}{1}\right) = 1$

আমাদের নির্ণয় করতে হবে: $\sum a^3b$ এর মান.

$\sum a^3b = a^3b + ab^3 + b^3c + bc^3 + c^3a + ca^3$

$= ab(a^2 + b^2) + bc(b^2 + c^2) + ca(c^2 + a^2)$

$= ab(a^2 + b^2 + c^2 - c^2) + bc(a^2 + b^2 + c^2 - a^2) + ca(a^2 + b^2 + c^2 - b^2)$

$= ab(a^2 + b^2 + c^2) - abc^2 + bc(a^2 + b^2 + c^2) - a^2bc + ca(a^2 + b^2 + c^2) - ab^2c$

$= (a^2 + b^2 + c^2)(ab + bc + ca) - abc(c + a + b)$

$= \{ (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) \} (ab + bc + ca) - abc(a + b + c)$

এখন প্রাপ্ত মানগুলো বসিয়ে পাই:

$= \{ (3)^2 - 2(2) \} (2) - (1)(3)$

$= (9 - 4) \times 2 - 3$

$= 5 \times 2 - 3$

$= 10 - 3$

$= 7$

$\therefore$ নির্ণেয় মান, $\sum a^3b = 7$

দেওয়া আছে, $f(x)=\sin x$

$\therefore f\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$

এখানে, $2\left\{f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)\right\}^2+7 f\left(\frac{\pi}{2}-\mathrm{x}\right)-4=0$
বা, $2 \cos ^2 x+7 \cos x-4=0$
বা, $2 \cos ^2 x+8 \cos x-\cos x-4=0$
या, $2 \cos x(\cos x+4)-1(\cos x+4)=0$
বা, $(2 \cos x-1)(\cos x+4)=0$

হয় , $2 \cos x-1=0$
বা, $2 \cos x=1$
বা, $\cos x=\frac{1}{2}=\cos \frac{\pi}{3}$
$\therefore \quad x=2 n \pi \pm \frac{\pi}{3}$, যেখানে $n \in Z$

অথবা, $\cos x+4=0$
বা, $\cos x=-4$
$\cos x$ এর মান $[-1,1]$ ব্যবধিতে অবস্থিত বলে ইহা গ্রহণযোগ্য নয়.

$\mathrm{n}=0$ হলে, $\mathrm{x}=\frac{\pi}{3},-\frac{\pi}{3}$

$\mathrm{n}=1$ হলে, $\mathrm{x}=\frac{7 \pi}{3}, \frac{5 \pi}{3}$

$n=-1$ হলে, $x=-\frac{5 \pi}{3},-\frac{7 \pi}{3}$

$-\pi \leq \mathrm{x} \leq \pi$ ব্যবধিতে x এর মান : $-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$

নির্ণেয় সমাধান : $\mathrm{x}=-\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3}$.

দেওয়া আছে, $16 y^2-9 x^2=144$
বা , $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=1$
অধিবৃত্তের অসীমতটরেখার সমীকরণ, $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{16}=0$
বা, $\frac{y^2}{9}=\frac{x^2}{16}$
বা, $y^2=\frac{9}{16} x^2$

$\therefore \quad y= \pm \frac{3}{4} x$

নির্ণেয় অসীমতটরেখার সমীকরণ $y= \pm \frac{3}{4} x$.

দৃশ্যকল্প-২ হতে, $4 x^2-8 x+8 y^2-8 y=0$

বা, $4\left(x^2-2 x\right)+8\left(y^2-y\right)=0$
বা, $4\left(x^2-2 \cdot x \cdot 1+1^2-1^2\right)+8\left\{y^2-2 \cdot y \cdot \frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{1}{2}\right)^2\right\}=0$
বা, $4(x-1)^2-4+8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2-2=0$
বা, $4(x-1)^2+8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2=6$

বা, $\frac{4(x-1)^2}{6}+\frac{8\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{6}=1$
বা, $\frac{(x-1)^2}{\frac{3}{2}}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\frac{3}{4}}=1$

বা, $\frac{(x-1)^2}{\left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^2}+\frac{\left(y-\frac{1}{2}\right)^2}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2}=1$ $......(1)$

যা একটি উপবৃত্তের সমীকরণ.

সমীকরণটিকে $\frac{X^2}{a^2}+\frac{Y^2}{b^2}=1$ এর সাথে তুলনা করে পাই

$X=x-1, Y=y-\frac{1}{2}, a=\sqrt{\frac{3}{2}}, b=\frac{\sqrt{3}}{2}$ এবং $a>b$

$\therefore$ উৎকেন্দ্রিকতা , $\mathrm{e}=\sqrt{1-\frac{\mathrm{b}^2}{\mathrm{a}^2}}=\sqrt{1-\frac{\frac{3}{4}}{\frac{3}{2}}}=\sqrt{1-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক (士 ae, 0)

অর্থাৎ, $X= \pm a e$
বা, $x-1= \pm \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$
বা, $x= \pm \frac{\sqrt{3}}{2}+1$

$Y=0$

বা, $y-\frac{1}{2}=0$

$\therefore y=\frac{1}{2}$

$\therefore$ উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $\left(\frac{\sqrt{3}}{2}+1, \frac{1}{2}\right),\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}+1, \frac{1}{2}\right)$.
ফোকাসদ্ধয়ের দূরত্ব $=2 \mathrm{ae}=2 \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{3}$
উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $=\frac{2 \mathrm{~b}^2}{\mathrm{a}}=\frac{2 \times \frac{3}{4}}{\sqrt{\frac{3}{2}}}=\sqrt{\frac{3}{2}}$ একক.

দেওয়া আছে, $x^2=-5 y$

বা, $x^2=4\left(\frac{-5}{4}\right) y$ $...........(i)$

$(i)$ নং কে $x^2=4 a y$ এর সাথে তুলনা করে পাই, $a=\frac{-5}{4}$

$\therefore \quad$ নিয়ামকের সমীকরণ, $y+a=0$

বা, $y-\frac{5}{4}=0$
বা, $4 y-5=0$

নির্ণেয় নিয়ামকের সমীকরণ, $4 y-5=0$.

দৃশ্যকল্প-২ হতে, নিয়ামকের সমীকরণ, x = 4

বা, $x-4=0$ $...........(i)$

উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $S(10,0)$

$\therefore \quad a e=10$ $...........(ii)$

আবার, নিয়ামকের পাদবিন্দুর স্থানাঙ্ক $Z_1(4,0)$

$\therefore \quad \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}=4$ $...........(iii)$

$(ii)$ নং কে $(iii)$ নং দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{\mathrm{ae}}{\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{e}}}=\frac{10}{4}$

বা, $\mathrm{e}^2=\frac{5}{2}$
$\therefore \quad e=\sqrt{\frac{5}{2}}>1$; সুতরাং কনিকটি একটি অধিবৃত্ত.
ধরি, অধিবৃত্তের উপর $P(x,y)$ যেকোনো একটি বিন্দু.
$\therefore$ অধিবৃত্তের সংজ্ঞানুসারে, $SP = ePM$
বা, $\mathrm{SP}^2=\mathrm{e}^2 \mathrm{PM}^2$

বা, $(x-10)^2+(y-0)^2=\frac{5}{2} \frac{|x-4|^2}{\left(\sqrt{1^2+0^2}\right)^2}$

বা, $x^2-20 x+100+y^2=\frac{5}{2}\left(x^2-8 x+16\right)$
বা, $2 \mathrm{x}^2-40 \mathrm{x}+200+2 \mathrm{y}^2=5 \mathrm{x}^2-40 \mathrm{x}+80$
বা, $-3 x^2+2 y^2=-120$
বা, $\frac{-3 x^2}{-120}+\frac{2 y^2}{-120}=1$

$\therefore \quad \frac{x^2}{40}-\frac{y^2}{60}=1$

নির্ণোয় কণিকটির সমীকরণ $\frac{x^2}{40}-\frac{y^2}{60}=1$.

$2\,\mathrm N$ বল ডানদিকে এবং $4\,\mathrm N$ বল উপরে বামদিকে. তাদের কোণ $\alpha$; লব্ধি $R$ প্রথম বলের উপর লম্ব, ঊর্ধ্বমুখী.

ধরি, $2 N$ ও $4 N$ মানের বলদ্বয় একটি বিন্দুতে ক্রিয়ারত. বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$ . লব্ধি $R$; যা প্রথম বল $2N$ এর ক্রিয়ারেখার উপর লম্ব.

$2N$ বরাবর লম্বাংশ উপপাদ্য অনুসারে পাই,

$\mathrm{R} \cos 90^{\circ}=2 \cos 0^{\circ}+4 \cos \alpha$

বা, $0=2+4 \cos \alpha$

বা, $4 \cos \alpha=-2$

বা, $\cos \alpha=-\frac{1}{2}$

বা, $\cos \alpha=\cos 120^{\circ} \quad \therefore \alpha=120^{\circ}$

$\therefore$ বলদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $120^{\circ}$.

$A,C,B$ একই অনুভূমিক রেখায়, $AC=l$, $CB=m$. $A$-তে ওজন $W$, $B$-তে হাতের বল $T$ নিম্নমুখী; $C$-তে কাঁধের প্রতিক্রিয়া $R$ ঊর্ধ্বমুখী.

মনে করি, $AB$ দন্ডের $A$ বিন্দুতে $W$ ওজনের একটি বস্তু এবং $B$ বিন্দুতে লোকটির হাতের সাহায্যে নিচের দিকে চাপ $T$ এবং কাঁধের উপর $C$ বিন্দুতে চাপ $R$.

কাঁধ হতে বস্কুর দূরত্ব $\mathrm{AC}=l$ এবং কাঁধ হতে হাতের দূরত্ব $\mathrm{BC}=\mathrm{m}$.

$\therefore \quad \mathrm{R}=\mathrm{W}+\mathrm{T}$

এখন, $\mathrm{W} \cdot \mathrm{AC}=\mathrm{T} \cdot \mathrm{BC}$
বা, $\mathrm{W} \cdot \mathrm{l}=\mathrm{T} \cdot \mathrm{m}$
বা, $\frac{l}{m}=\frac{T}{W}$
বা, $\frac{l}{m}=\frac{R-W}{W}[\because R=W+T$ বা, $T=R-W]$

$\therefore \quad l: \mathrm{m}=(\mathrm{R}-\mathrm{W}): \mathrm{W}$

নির্ণেয় $l: \mathrm{m}=(\mathrm{R}-\mathrm{W}): \mathrm{W}$.

নদীর দুই তীর সমান্তরাল. স্রোত $v=12\,\mathrm{m/s}$ ডানদিকে. সাঁতারুর জলের সাপেক্ষ বেগ $u=13\,\mathrm{m/s}$ উজানের দিকে তির্যক এবং তীরের সাপেক্ষ বেগ $w$ তীরের উপর লম্ব.

এখানে, সাঁতারুর বেগ, $u=13 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$.

সোতের বেগ, $\mathrm{v}=12 \mathrm{~m} / \mathrm{s}$

ধরি, নদীর প্রস্থ $d m.$

সোজাসুজি অর্থাৎ $w$ বেগে স্রোতের বেগের সাথে $90^{\circ}$ কোণে এ দূরত্ব অতিক্রম করতে সাঁতারুর t সময় লাগে.

$\therefore \quad w=\sqrt{u^2-v^2}$

এবং $\mathrm{d}=\mathrm{wt}=\sqrt{\mathrm{u}^2-\mathrm{v}^2} \mathrm{t}$ $....(i)$

আবার স্রোতের অনুকূলে অর্থাৎ, $ (u + v)$ বেগে $d$ দূরত্ব অতিক্রম করতে সাঁতারুর $\mathbf{t}^{\prime}$ সময় লাগে.

$\therefore \quad d=(u+v) t^{\prime}$ $....(ii)$

$(i)$ নং ও $(ii)$ নং হতে পাই, $\sqrt{u^2-v^2} t=(u+v) t^{\prime}$

বা, $\frac{t}{t^{\prime}}=\frac{u+v}{\sqrt{u^2-v^2}}=\frac{13+12}{\sqrt{13^2-12^2}}=\frac{25}{5}=\frac{5}{1}$

$\therefore \quad t: t^{\prime}=5: 1$.