১. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্য-১ $: f(\mathrm{x})=2 \mathrm{x}+\sqrt{3} \mathrm{i}+1$,

$h(x)=2 x-\sqrt{3} i+1$

দৃশ্য-২: $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}+1$.

এককের ঘনমূলের সংজ্ঞা অনুসারে $\omega$ হলো $x^3=1$ সমীকরণের মূল, তাই $\omega^3=1$. অ-বাস্তব দুটি মূল $(-1\pm i\sqrt3)/2$.

$f(p)=0$ থেকে $p=(-1-i\sqrt3)/2=\omega^2$ এবং $h(q)=0$ থেকে $q=(-1+i\sqrt3)/2=\omega$. তাই $p^n+q^n=\omega^{2n}+\omega^n$. পূর্ণসংখ্যা $n$-কে $3$ দিয়ে ভাগের ভাগশেষ $0$ হলে উভয় পদ $1$, যোগফল $2$; ভাগশেষ $1$ বা $2$ হলে যোগফল $\omega+\omega^2=-1$.

$g(z-1)=z$, $g(z+1)=z+2$. তাই $|z|+|z+2|=5$ একটি উপবৃত্ত, যার উপকেন্দ্র $(0,0),(-2,0)$, কেন্দ্র $(-1,0)$, বৃহৎ অর্ধ অক্ষ $5/2$ এবং উপকেন্দ্রের কেন্দ্রদূরত্ব $1$. ক্ষুদ্র অর্ধ অক্ষের বর্গ $25/4-1=21/4$. সুতরাং $4(p+1)^2/25+4q^2/21=1$.

২. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১ : $f_1(x)=x^2+2 x+p$

$f_2(x)=x^2+p x+2$

দৃশ্যকল্প-২ : $g(x)=x^3-5 x^2+17 x-13$

দেওয়া আছে, $x^2-p x+q=0$
সমীকরণটির নিষ্চায়ক $=(-p)^2-4 \cdot 1 \cdot q=p^2-4 q$
নিশ্চায়ক $\geq 0$ হলে, ছিঘাত সমীকরণের বাস্তব মূল থাকে.
$\therefore$ সমীকরণটির বাস্তব মূল থাকবে যদি $p^2-4 q \geq 0$ হয়.

সাধারণ মূল $\alpha$ বসিয়ে বিয়োগ করলে $(p-2)(\alpha-1)=0$. $p=2$ হলে সমীকরণদ্বয় অভিন্ন, তাই দুই মূলই সাধারণ. $p\ne2$ হলে $\alpha=1$ এবং $1+2+p=0$, অর্থাৎ $p=-3$. সুতরাং অন্তত একটি সাধারণ মূলের জন্য $p=2$ অথবা $p=-3$; ঠিক একটি সাধারণ মূলের জন্য শুধু $p=-3$.

দেওয়া আছে, $\mathrm{g}(\mathrm{x})=\mathrm{x}^3-5 \mathrm{x}^2+17 \mathrm{x}-13$
এবং $g(x)=0$
বা, $x^3-5 x^2+17 x-13=0$ $......(1)$

$(1)$ নং এর একটি মূল $2+3 i$ হলে, অপর একটি মূল হবে 2-3i [: জটিল মূল সবসময় অনুবন্ধী যুগলে থাকে]
ধরি, তৃতীয় মূল $=\alpha$

$\therefore 2+3 i+2-3 i+\alpha=-\frac{-5}{1}$

বা, $\alpha+4=5$
বা, $\alpha=5-4$

$\therefore \alpha=1$

$\therefore$ সমীকরণটির অপর মূলদ্ধয় $2-3i, 1.$

৩. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১: $\mathrm{x}^3+\mathrm{ax}+\mathrm{b}=0$.

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathrm{Q}(\mathrm{x})=\mathrm{b}+\mathrm{cx}+\mathrm{ax}^2$.

$z=(1-2i)/(2+i)=-i$. এটি ঋণাত্মক কাল্পনিক অক্ষে, তাই প্রধান আর্গুমেন্ট $-\pi/2$; সাধারণ আর্গুমেন্ট $-\pi/2+2n\pi$, $n\in\mathbb Z$.

$b\ne0$ হলে মূলত্রয় অশূন্য. ভিয়েটার সূত্রে $\alpha+\beta+\gamma=0$, $\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha=a$, $\alpha\beta\gamma=-b$. তাই $\sum1/\alpha^2=[(\alpha\beta+\beta\gamma+\gamma\alpha)^2-2\alpha\beta\gamma(\alpha+\beta+\gamma)]/(\alpha\beta\gamma)^2=a^2/b^2$.

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

৪. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প : $f(x)=\sqrt{1-\sin ^2 x}$

$\sin(\cos^{-1}x)=\sqrt{1-x^2}$, তাই রাশি $\sec^{-1}[\tan(\sqrt{1-x^2})]$. বাস্তব সংজ্ঞার জন্য $|x|\le1$ এবং $\tan(\sqrt{1-x^2})\ge1$. যেহেতু $0\le\sqrt{1-x^2}\le1<\pi/2$, শর্তটি $|x|\le\sqrt{1-\pi^2/16}$.

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

৫. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১: $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=\mathrm{y}^2-4 \alpha \mathrm{x}$

দৃশ্যকল্প-২: $f(\mathrm{x}, \mathrm{y})=5 \mathrm{x}^2+4 \mathrm{y}^2-10 \mathrm{x}+16 \mathrm{y}+1$

প্রদত্ত সমীকরণ $(y+1/3)^2=2(x-3/2)$. তাই শীর্ষ $(3/2,-1/3)$ এবং $4a=2$, অর্থাৎ উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $2$ একক.

$x=2y-2$ বসিয়ে $y^2-8\alpha y+8\alpha=0$. স্পর্শের শর্তে নিশ্চায়ক $64\alpha^2-32\alpha=0$. $\alpha=0$ হলে অবক্ষয়ী দ্বৈত সরলরেখা, পরাবৃত্ত নয়. তাই $\alpha=1/2$, উপকেন্দ্র $(1/2,0)$ এবং নিয়ামক $x=-1/2$.

বর্গপূর্ণ করে $5(x-1)^2+4(y+2)^2=20$, অর্থাৎ $(x-1)^2/4+(y+2)^2/5=1$. এটি কেন্দ্র $(1,-2)$-বিশিষ্ট উপবৃত্ত; বৃহৎ অর্ধ অক্ষ $\sqrt5$, ক্ষুদ্র অর্ধ অক্ষ $2$, উপকেন্দ্রের কেন্দ্রদূরত্ব $\sqrt{5-4}=1$. তাই উপকেন্দ্র $(1,-1),(1,-3)$, তাদের দূরত্ব $2$ এবং নিয়ামক $y+2=\pm5$, অর্থাৎ $y=3,-7$.

৬. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১:

কনিকের একটি উপকেন্দ্র $S(2,-1)$; তার উপর একটি বিন্দু $P(1,-2)$. অনুরূপ নিয়ামক $2x-y-9=0$.

দৃশ্যকল্প-২ : $\mathbf{S}(\mathbf{p}, \mathbf{q})$ ও $\mathbf{S}^{\prime}(\mathbf{r}, \mathbf{q})$

দ্বিঘাত অংশের ম্যাট্রিক্স $\begin{pmatrix}8&-12\\-12&91\end{pmatrix}$; প্রথম প্রধান নির্ণায়ক $8>0$, পূর্ণ নির্ণায়ক $8\cdot91-12^2=584>0$. তাই দ্বিঘাত অংশ ধনাত্মক নির্দিষ্ট. আবার $F(-10,0)=-1425<0$, সুতরাং ন্যূনতম মান ঋণাত্মক এবং শূন্যস্তর একটি বাস্তব, অ-অবক্ষয়ী উপবৃত্ত.

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

উপবৃত্তের একটি উপকেন্দ্র, $S(2, -1)$

উপবৃত্তের উপরস্থ একটি বিন্দু, $P(1, -2)$

উপকেন্দ্রের অনুরূপ নিয়ামক রেখার সমীকরণ, $2x - y - 9 = 0 .......(i)$

উপকেন্দ্র $S$ হতে $P$ বিন্দুর দূরত্ব,

$SP = \sqrt{(2 - 1)^2 + (-1 - (-2))^2}$

$\Rightarrow SP = \sqrt{(1)^2 + (1)^2} = \sqrt{2}$

আবার, $P(1, -2)$ বিন্দু হতে $(i)$ নং নিয়ামক রেখার লম্ব দূরত্ব,

$PM = \frac{\vert 2(1) - (-2) - 9\vert }{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}$

$\Rightarrow PM = \frac{\vert 2 + 2 - 9\vert }{\sqrt{4 + 1}}$

$\Rightarrow PM = \frac{\vert -5\vert }{\sqrt{5}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}$

উপবৃত্তের উৎকেন্দ্রিকতা, $e = \frac{SP}{PM} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{2}{5}}$

ধরি, উপবৃত্তের উপর যেকোনো বিন্দু $P(x, y)$.

কনিকের সংজ্ঞানুসারে,

$SP = e \cdot PM$

উভয়পক্ষকে বর্গ করে পাই,

$SP^2 = e^2 \cdot PM^2$

$\Rightarrow (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = \left(\sqrt{\frac{2}{5}}\right)^2 \cdot \left(\frac{2x - y - 9}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}}\right)^2$

$\Rightarrow (x^2 - 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) = \frac{2}{5} \cdot \frac{(2x - y - 9)^2}{5}$

$\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = \frac{2}{25} \cdot [ (2x)^2 + (-y)^2 + (-9)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-9) + 2(-9)(2x) ]$

$\Rightarrow x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5 = \frac{2}{25} (4x^2 + y^2 + 81 - 4xy + 18y - 36x)$

$\Rightarrow 25(x^2 + y^2 - 4x + 2y + 5) = 8x^2 + 2y^2 + 162 - 8xy + 36y - 72x$

$\Rightarrow 25x^2 + 25y^2 - 100x + 50y + 125 - 8x^2 - 2y^2 - 162 + 8xy - 36y + 72x = 0$

$\Rightarrow 17x^2 + 8xy + 23y^2 - 28x + 14y - 37 = 0$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ: $17x^2 + 8xy + 23y^2 - 28x + 14y - 37 = 0$

দেওয়া আছে,

$S(p, q)$ ও $S^{\prime}(r, q)$

$p=3, q=2 \text { ও } r=11)$ হলে, $S(p, q)=S(3,2)$

এবং $S^{\prime}(r, q)=S^{\prime}(11,2)$

$\therefore \quad$ উপবৃত্তের কেন্দ্র $\mathrm{C}\left(\frac{3+11}{2}, \frac{2+2}{2}\right)=\mathrm{C}(7,2)$

উপবৃত্তটির উপকেন্দ্রদ্ধয় ও কেন্দ্রের কোটি একই হওয়ায় এর বৃহদাক্ষ x-অক্ষের সমান্তরাল.

এখানে, ক্ষুদ্রাক্ষের দৈর্ঘ্য, $2 b=q$

বা, $2 b=2$ বা,$b=1$ বা, $b^2=1$

উপকেন্দ্রঘয়ের মধ্যবর্তী দূরত্ব

$\mathrm{SS}^{\prime}=\sqrt{(11-3)^2+(2-2)^2}=\sqrt{8^2+0}=8$ একক

বা, $2 a e=8$

বা, $a e=4$

বা, $\mathrm{a}^2 \mathrm{e}^2=16$

বা, $a^2 \cdot \frac{a^2-b^2}{a^2}=16$

বা, $a^2-b^2=16$

বা, $a^2=b^2+16=1+16=17$

$\therefore \mathbf{a}^2=17$

$\therefore \quad$ বৃহৎ অক্ষ $x-$ অক্ষের সমান্তরাল ও $(7,2)$ কেন্দ্রবিশিট উপবৃত্তের

সমীকরণ, $\frac{(x-7)^2}{17}+\frac{(y-2)^2}{1}=1$ বা, $\frac{(x-7)^2}{17}+(y-2)^2=1$

নির্ণেয় উপবৃত্তের সমীকরণ, $\frac{(x-7)^2}{17}+(y-2)^2=1$.

৭. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১:

$ABC$ ত্রিভুজের পরিকেন্দ্র $O$. $OA,OB,OC$ বরাবর যথাক্রমে $P,Q,R$ বহির্মুখী বল ক্রিয়াশীল.

চিত্রে $O$ ত্রিভুজটির পরিকেন্দ্র

দৃশ্যকল্প-২:

একই রেখায় $D,C,A,B$ ক্রমান্বয়ে. $A$-তে নিম্নমুখী $P$, $B$-তে ঊর্ধ্বমুখী $Q$, $P>Q$. লব্ধি $C$-তে নিম্নমুখী.

ধরি, সমান বলদ্বয় $=P$, লব্ধি $=R$
বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ $\alpha$
শর্তমতে, $\mathrm{R}^2=3 \mathrm{P} \times \mathrm{P}$
বা, $\mathrm{P}^2+\mathrm{P}^2+2 \mathrm{P} \times \mathrm{P} \cos \alpha=3 \mathrm{P}^2$
বা, $2 \mathrm{P}^2 \cos \alpha=3 \mathrm{P}^2-2 \mathrm{P}^2$ বা, $2 \mathrm{P}^2 \cos \alpha=\mathrm{P}^2$
বা, $\cos \alpha=\frac{1}{2}$ বা, $\alpha=\cos ^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)=60^{\circ}$
অতএব, বল দুইটির মধ্যবর্তী কোণ $60^{\circ}$.

পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ $\rho$ ধরি. লমির উপপাদ্যে $P:Q:R=\sin2A:\sin2B:\sin2C$. সাইন-কোসাইন সূত্রে $\sin2A=a^2(b^2+c^2-a^2)/(2\rho abc)$; অন্য দুটিরও একই সাধারণ হর. হর বাদ দিলে চাওয়া অনুপাত পাওয়া যায়.

একই রেখায় $D,C,A,B$. প্রাথমিকভাবে $A$-তে নিম্নমুখী $P$, $B$-তে ঊর্ধ্বমুখী $Q$ এবং $C$-তে লব্ধি $P-Q$. উভয় বলে $S$ যোগ করলে নতুন বল $P+S,Q+S$ এবং লব্ধি $D$-তে.

A ও B বিন্দুতে ক্রিয়ারত P ও Q বলের লব্ধি C বিন্দুতে,

$\therefore \quad P \cdot A C=Q \cdot B C$ বা, $\frac{B C}{A C}=\frac{P}{Q}$

বা, $\frac{B C-A C}{A C}=\frac{P-Q}{Q}$ [বিয়োজন করে]

বা, $\frac{A B}{A C}=\frac{P-Q}{Q}[\because B C-A C=A B]$
বা, $A C=\frac{Q \cdot A B}{P-Q}$
$P$ ও $Q$ উভয় বলের মান $S$ পরিমাণ বল বৃদ্ধির ফলে লব্ধি $D$ বিন্দুতে ক্রিয়ারত.
$\therefore \quad(\mathrm{P}+\mathrm{S}) \cdot \mathrm{AD}=(\mathrm{Q}+\mathrm{S}) \cdot \mathrm{BD}$
বা, $\frac{B D}{A D}=\frac{P+S}{Q+S}$
বা, $\frac{\mathrm{BD}-\mathrm{AD}}{\mathrm{AD}}=\frac{\mathrm{P}+\mathrm{S}-\mathrm{Q}-\mathrm{S}}{\mathrm{Q}+\mathrm{S}}$ [বিয়োজন করে]
বা, $\frac{A B}{A D}=\frac{P-Q}{Q+S}[\because B D-A D=A B]$
বা, $A D=\frac{(Q+S) \cdot A B}{P-Q}$

লব্ধির সরণ, $\mathrm{CD}=\mathrm{AD}-\mathrm{AC}$

$=\frac{(Q+S) \cdot A B}{P-Q}-\frac{Q \cdot A B}{P-Q}=\frac{Q \cdot A B+S \cdot A B-Q \cdot A B}{P-Q}$

$\therefore \quad \mathrm{CD}=\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \mathrm{AB} \cdot$ (দেখানো হলো)

৮. উদ্দীপকটি পড়ে প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও.

দৃশ্যকল্প-১: প্রক্ষেপকের পথে $(d_1,d_2)$ ও $(d_2,d_1)$ বিন্দু চিহ্নিত. দৃশ্যকল্প-২: $AB$ উল্লম্ব, $AC=x$ অনুভূমিক; $A$ থেকে বেলুনের ঊর্ধ্বমুখী বেগ $u=\sqrt{2gy}$ এবং সর্বোচ্চ বিন্দু $B$.

নদীর প্রস্থ $d$. জলের সাপেক্ষ নৌকার বেগ $u$ উজানের দিকে তির্যক; স্রোত $v$ তীর বরাবর. নৌকার তীরের সাপেক্ষ বেগ $w=\sqrt{u^2-v^2}$ তীরের উপর লম্ব.

চিত্রে, নদীর প্রস্থ, d = 250 মি. = 0.25 কি.মি. স্রোতের বেগ, v = 3 কি.মি./ঘ. নৌকার বেগ, u = 4 কি.মি./ঘ. প্রস্থ বরাবর নৌকার লব্ধি

বেগ, w $=\sqrt{u^2-v^2}$

$\therefore$ ন্যূনতম পথে নদী পার হতে সময়,

$t=\frac{d}{w}=\frac{d}{\sqrt{u^2-v^2}}$ বা, $t=\frac{0.25}{\sqrt{4^2-3^2}}=0.0945$

$\therefore$ নৌকাটি ন্যূনতম পথে পাড়ি দিতে 0.0945 ঘণ্টা সময় নিবে.

পথের সমীকরণ $y=x\tan\alpha(1-x/R)$. দুটি চিহ্নিত বিন্দু বসিয়ে $d_2=d_1\tan\alpha(1-d_1/R)$ এবং $d_1=d_2\tan\alpha(1-d_2/R)$. ভাগ করে $R(d_1^2-d_2^2)=d_1^3-d_2^3$. চিত্রের পৃথক বিন্দুর জন্য $d_1\ne d_2$, তাই $R=(d_1^2+d_1d_2+d_2^2)/(d_1+d_2)$. $d_1=d_2$ হলে কেবল এক বিন্দুর তথ্য থাকে এবং সূত্রটি নির্ণেয় নয়.

$AB$ উল্লম্ব ও $AC=x$ অনুভূমিক. বেলুন $u=\sqrt{2gy}$ বেগে $A$ থেকে উঠে সর্বোচ্চ $B$-তে পৌঁছায়, ফলে $AB=y$.

দেওয়া আছে.
বেলুনের আদিবেগ, $\mathrm{u}=\sqrt{2 \mathrm{gy}}$
সর্বোচ্চ উচ্চতা, $\mathrm{AB}=\mathrm{y}=\frac{\mathrm{u}^2}{2 \mathrm{~g}}$

$\begin{aligned}& \mathrm{AC}=\mathrm{x} \\\therefore \quad & \mathrm{BC}=\sqrt{\mathrm{x}^2+\mathrm{y}^2}\end{aligned}$

ধরি, শব্দের বেগ $v$ এবং $B$ হতে $A$ ও $C$ বিন্দুতে যেতে সময় লাগে যথাক্রমে $t_1$ ও $t_2\left(t_2>t_1\right)$

$A$ বিন্দুর জন্য :

$s=v t$

বা, $\mathrm{y}=\mathrm{vt}_1$
বা, $t_1=\frac{y}{v}$ $.........(i)$

$C$ বিন্দুর জন্য :

$\mathrm{s}=\mathrm{vt}$

বা, $\sqrt{x^2+y^2}=v t_2$
বা, $t_2=\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{v}$ $.........(ii)$

শর্তমতে,

$t_2-t_1=\frac{1}{n}$

বা, $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{v}-\frac{y}{v}=\frac{1}{n}$
বা, $\frac{v}{n}=\sqrt{x^2+y^2}-y$
$\therefore \quad v=n\left(\sqrt{x^2+y^2}-y\right)$ মি./সে. (প্রমাণিত)