প্রদত্ত অসমতা,

$-4 < 3 - x < 8$

উভয়পক্ষ থেকে $3$ বিয়োগ করে পাই:

$-4 - 3 < 3 - x - 3 < 8 - 3$

$\Rightarrow -7 < -x < 5$

অসমতাকে $-1$ দ্বারা গুণ করে পাই (এক্ষেত্রে অসমতার দিক পরিবর্তন হবে):

$7 > x > -5$

$\Rightarrow -5 < x < 7$

এখন, প্রাপ্ত সীমার প্রান্তিক মানদ্বয়ের গড়:

$\frac{-5 + 7}{2} = \frac{2}{2} = 1$

অসমতার প্রতিটি পক্ষ থেকে $1$ বিয়োগ করি:

$-5 - 1 < x - 1 < 7 - 1$

$\Rightarrow -6 < x - 1 < 6$

$\Rightarrow \vert x - 1\vert < 6$

$\therefore \vert x - 1\vert < 6$

দেওয়া আছে,

$f(x) = x + 2$

$g(x) = 4x + 1$

প্রদত্ত অসমতা,

$\vert f(x)\vert < \vert g(x)\vert $

বা, $\vert x + 2\vert < \vert 4x + 1\vert $

যেহেতু পরমমান সর্বদা অঋণাত্মক, তাই উভয়পক্ষে বর্গ করলে অসমতার দিকের কোনো পরিবর্তন হবে না.

বা, $(x + 2)^2 < (4x + 1)^2$

বা, $x^2 + 4x + 4 < 16x^2 + 8x + 1$

বা, $16x^2 + 8x + 1 - x^2 - 4x - 4 > 0$

বা, $15x^2 + 4x - 3 > 0$

বা, $15x^2 + 9x - 5x - 3 > 0$

বা, $3x(5x + 3) - 1(5x + 3) > 0$

বা, $(5x + 3)(3x - 1) > 0$

এখন, $(5x + 3)(3x - 1) = 0$ হলে, $x = -\frac{3}{5}$ এবং $x = \frac{1}{3}$

যেহেতু গুণফলটি শূন্যের চেয়ে বড় ($> 0$), তাই $x$-এর মান ছোট মূলের চেয়ে ছোট অথবা বড় মূলের চেয়ে বড় হবে.

অর্থাৎ, $x < -\frac{3}{5}$ অথবা $x > \frac{1}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $x < -\frac{3}{5}$ অথবা $x > \frac{1}{3}$

সমাধান সেট: $S = \{x \in \mathbb{R} : x < -\frac{3}{5} \text{ অথবা } x > \frac{1}{3}\}$

সংখ্যারেখা:

সংখ্যারেখায় $-\frac{3}{5}$ এর বামদিকের এবং $\frac{1}{3}$ এর ডানদিকের সকল বাস্তব সংখ্যা গাঢ় করে দেখানো হলো. $x = -\frac{3}{5}$ এবং $x = \frac{1}{3}$ বিন্দুতে ফাঁকা বৃত্ত $\text{(Open circle)}$ হবে, কারণ অসমতায় '=' চিহ্ন নেই.

দেওয়া আছে,

দ্বিঘাত সমীকরণটি হলো: $x^2 - px + q = 0$

শর্তমতে, সমীকরণের মূলদ্বয় ক্রমিক পূর্ণসংখ্যা.

ধরি, সমীকরণের একটি মূল $\alpha$ এবং অপর মূলটি $\alpha + 1$

মূলদ্বয়ের যোগফল, $\alpha + (\alpha + 1) = - \frac{-p}{1}$

বা, $2\alpha + 1 = p$

মূলদ্বয়ের গুণফল, $\alpha(\alpha + 1) = \frac{q}{1}$

বা, $\alpha(\alpha + 1) = q$

আমরা জানি,

$(\text{মূলদ্বয়ের অন্তর})^2 = (\text{মূলদ্বয়ের যোগফল})^2 - 4 \times (\text{মূলদ্বয়ের গুণফল})$

বা, $\{(\alpha + 1) - \alpha\}^2 = p^2 - 4q$

বা, $1^2 = p^2 - 4q$

বা, $p^2 - 4q = 1$

নির্ণেয় মান: $1$

দেওয়া আছে, $a + b + c = 0 \implies a = -(b + c) \dots (i)$

আমরা জানি, $\omega^3 = 1$ এবং $\omega^2 + \omega = -1$

বামপক্ষ $\text{(L.H.S)}$

$= \left\{g\left(\frac{1}{\omega^2}\right)\right\}^2 + \left\{g\left(\frac{1}{\omega}\right)\right\}^2$

$= \{g(\omega)\}^2 + \{g(\omega^2)\}^2$ [যেহেতু $\frac{1}{\omega^2} = \omega$ এবং $\frac{1}{\omega} = \omega^2$]

$= (a + b\omega + c\omega^2)^2 + (a + b\omega^2 + c\omega)^2$

বর্গ ও ত্রিকোণমিতিক/জটিল সংখ্যার রূপান্তর ($\omega^3=1, \omega^2+\omega=-1$) প্রয়োগ করে পাই:

$= 4a^2 - (b^2 + c^2) + 4bc$

এখন (i) নং হতে $b^2 + c^2 = a^2 - 2bc$ বসিয়ে:

$= 4a^2 - (a^2 - 2bc) + 4bc$

$= 4a^2 - a^2 + 2bc + 4bc$

$= 3a^2 + 6bc$

= ডানপক্ষ $\text{(R.H.S)}$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, বহুপদী সমীকরণটি $f(x) = x^4 - 9x^3 + 30x^2 - 42x + 20 = 0$

সমীকরণটির একটি মূল $3 + i$.

যেহেতু জটিল মূলসমূহ জোড়ায় জোড়ায় অনুবন্ধী (conjugate) রূপে থাকে, তাই অপর মূলটি হবে $3 - i$.

তাহলে মূলদ্বয়ের যোগফল $= (3 + i) + (3 - i) = 6$

এবং মূলদ্বয়ের গুণফল $= (3 + i)(3 - i) = 3^2 - i^2 = 9 - (-1) = 10$

অতএব, মূলদ্বয় দ্বারা গঠিত দ্বিঘাত সমীকরণের উৎপাদকটি হলো:

$x^2 - (\text{যোগফল})x + (\text{গুণফল}) = 0$

বা, $x^2 - 6x + 10 = 0$

এখন $f(x) = 0$ সমীকরণকে $x^2 - 6x + 10$ দ্বারা ভাগ বা উৎপাদকে বিশ্লেষণ করি:

$x^4 - 9x^3 + 30x^2 - 42x + 20 = 0$

বা, $x^2(x^2 - 6x + 10) - 3x(x^2 - 6x + 10) + 2(x^2 - 6x + 10) = 0$

বা, $(x^2 - 6x + 10)(x^2 - 3x + 2) = 0$

এখন বাকি অংশ সমাধান করি:

হয়, $x^2 - 6x + 10 = 0 \implies x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{-4}}{2} = 3 \pm i$

অথবা, $x^2 - 3x + 2 = 0$

বা, $(x - 1)(x - 2) = 0$

$\implies x = 1, 2$

নির্ণেয় সমাধান: $x = 1, 2, 3 \pm i$

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দেওয়া আছে,

$g(x) = \cos x$ এবং শর্ত: $0 \le x \le \pi$

প্রদত্ত সমীকরণ:

$\left\{g\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right\}^2 - 3\{g(x)\}^2 = 0$

মান বসিয়ে পাই:

$\left\{\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right)\right\}^2 - 3(\cos x)^2 = 0$

$\implies (\sin 2x)^2 - 3\cos^2 x = 0$ [যেহেতু $\cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) = \sin 2x$]

$\implies (2\sin x \cos x)^2 - 3\cos^2 x = 0$

$\implies 4\sin^2 x \cos^2 x - 3\cos^2 x = 0$

$\implies \cos^2 x (4\sin^2 x - 3) = 0$

এখানে দুটি ক্ষেত্র হতে পারে:

ক্ষেত্র-$১$:

$\cos^2 x = 0 \implies \cos x = 0$

যেহেতু $0 \le x \le \pi$, তাই $x = \frac{\pi}{2}$

ক্ষেত্র-$২$:

$4\sin^2 x - 3 = 0$

$\implies \sin^2 x = \frac{3}{4}$

$\implies \sin x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$

যেহেতু প্রদত্ত ব্যবধি $0 \le x \le \pi$ এর মধ্যে সাইন অনুপাত অঋণাত্মক, তাই ধনাত্মক মানটি নিয়ে পাই:

$\sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\implies x = \frac{\pi}{3}, \pi - \frac{\pi}{3}$

$\implies x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

নির্ণেয় সমাধান: $x = \frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{2}, \frac{2\pi}{3}$

প্রদত্ত অধিবৃত্তের সমীকরণ:

$9x^2 - 4y^2 = -36$

উভয়পক্ষকে $-36$ দ্বারা ভাগ করে আদর্শ আকারে রূপান্তর করি:

$\frac{9x^2}{-36} - \frac{4y^2}{-36} = 1$

$\implies \frac{y^2}{9} - \frac{x^2}{4} = 1$

এখানে, $a^2 = 4$ এবং $b^2 = 9$ (যেহেতু এটি $y$-অক্ষ বরাবর অধিবৃত্ত).

আমরা জানি, এই ধরণের অধিবৃত্তের উপকেন্দ্রিক লম্বের দৈর্ঘ্য $= \frac{2a^2}{b}$

$= \frac{2 \times 4}{3} = \frac{8}{3}$

নির্ণেয় দৈর্ঘ্য: $\frac{8}{3}$ একক

দৃশ্যকল্প-১ হতে পাই,

$f(x) = x^2 - 8x + my + 7 = 0$

$\implies x^2 - 8x + 16 = -my - 7 + 16$

$\implies (x - 4)^2 = -my + 9$

$\implies (x - 4)^2 = -m\left(y - \frac{9}{m}\right)$

এটি পরাবৃত্তের আদর্শ সমীকরণ $(x - h)^2 = 4a(y - k)$ এর সাথে তুলনামূলকভাবে পাই,

শীর্ষবিন্দু $(h, k) = \left(4, \frac{9}{m}\right)$ এবং $4a = -m \implies a = -\frac{m}{4}$

পরাবৃত্তের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক $= \left(h, k + a\right) = \left(4, \frac{9}{m} - \frac{m}{4}\right)$

শর্তমতে, উপকেন্দ্রটি $(4, 6)$. সুতরাং,

$\frac{9}{m} - \frac{m}{4} = 6$

$\implies \frac{36 - m^2}{4m} = 6$

$\implies 36 - m^2 = 24m$

$\implies m^2 + 24m - 36 = 0$

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে $m$ এর মান নির্ণয় করি:

$m = \frac{-24 \pm \sqrt{(24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36)}}{2 \cdot 1}$

$= \frac{-24 \pm \sqrt{576 + 144}}{2}$

$= \frac{-24 \pm \sqrt{720}}{2}$

$= \frac{-24 \pm 12\sqrt{5}}{2}$

$= -12 \pm 6\sqrt{5}$

$\therefore$ নির্ণেয় মান: $m = -12 \pm 6\sqrt{5}$

দুঃখিত, কোনো সমাধান এখনও প্রদান করা হয়নি।

দৃশ্যকল্প-১ হতে, $AB = 10\text{ মিটার}$ এবং সমান্তরাল বলদ্বয় $8\text{N}$ ও $4\text{N}$.

ধরি, বলদ্বয় যথাক্রমে $A$ ও $B$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল.

প্রাথমিক অবস্থায় লব্ধির অবস্থান বিন্দু $C$-এর দূরত্ব $A$ বিন্দু থেকে $x_1$ হলে, ভরের ভ্রামকের সূত্রানুযায়ী:

$8 \times x_1 = 4 \times (10 - x_1)$

$\implies 8x_1 = 40 - 4x_1$

$\implies 12x_1 = 40$

$\implies x_1 = \frac{40}{12} = \frac{10}{3}\text{ মিটার}$ ($A$ বিন্দু থেকে)

এখন বলদ্বয় স্থান বিনিময় করলে, অর্থাৎ $A$ বিন্দুতে $4\text{N}$ এবং $B$ বিন্দুতে $8\text{N}$ বল কাজ করলে নতুন লব্ধির অবস্থান বিন্দু $C'$ এর দূরত্ব $A$ বিন্দু থেকে $x_2$ হলে:

$4 \times x_2 = 8 \times (10 - x_2)$

$\implies 4x_2 = 80 - 8x_2$

$\implies 12x_2 = 80$

$\implies x_2 = \frac{80}{12} = \frac{20}{3}\text{ মিটার}$ ($A$ বিন্দু থেকে)

তাহলে লব্ধির সরণ $= x_2 - x_1 = \frac{20}{3} - \frac{10}{3} = \frac{10}{3}\text{ মিটার}$

নির্ণেয় সরণ: $\frac{10}{3}\text{ মিটার}$

ধরি, নিক্ষেপণ বেগ $u$ এবং নিক্ষেপণ কোণ $\alpha$.

দেওয়া আছে, পাল্লা $R = 100$ মিটার এবং সর্বোচ্চ উচ্চতা $H = \frac{75}{4}$ মিটার.

আমরা জানি,

প্রাস্বের ক্ষেত্রে, $\frac{H}{R} = \frac{1}{4} \tan\alpha$

$\implies \frac{\frac{75}{4}}{100} = \frac{1}{4} \tan\alpha$

$\implies \frac{75}{400} = \frac{1}{4} \tan\alpha$

$\implies \frac{3}{16} = \frac{1}{4} \tan\alpha$

$\implies \tan\alpha = \frac{3}{4}$

$\therefore \alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right) \approx 36.87^\circ$

$\therefore$ নির্ণেয় নিক্ষেপণ কোণ: $\tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$ (বা $36.87^\circ$)

দৃশ্যকল্প-$১$ হতে, আদিবেগ $u = 20\text{ m/s}$, নিক্ষেপণ কোণ $\alpha = 30^\circ$ এবং উলম্ব উচ্চতা $y = 1$ মিটার.

উলম্ব গতির সমীকরণ অনুযায়ী,

$y = (u \sin\alpha) t - \frac{1}{2}gt^2$

এখানে, $u \sin\alpha = 20 \cdot \sin 30^\circ = 20 \cdot \frac{1}{2} = 10\text{ m/s}$ এবং $g = 9.8\text{ m/s}^2$ ধরলে:

$1 = 10t - \frac{1}{2}(9.8)t^2$

$\implies 4.9t^2 - 10t + 1 = 0$

এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ. এই সমীকরণের দুটি মূল $t_1$ ও $t_2$ হলো যথাক্রমে 1 মিটার উচ্চতায় ওঠার ও নামার সময়.

সময়ের পার্থক্য $\vert t_2 - t_1\vert = \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}$

$= \frac{\sqrt{(-10)^2 - 4 \cdot 4.9 \cdot 1}}{4.9}$

$= \frac{\sqrt{100 - 19.6}}{4.9}$

$= \frac{\sqrt{80.4}}{4.9} \approx 1.83$ সেকেন্ড.

$\therefore$ নির্ণেয় সময়ের পার্থক্য: $1.83$ সেকেন্ড

ধরি, বেলুনের সর্বোচ্চ উচ্চতা $AB = x$ মিটার এবং ভূমি বরাবর দূরত্ব $AC = y$ মিটার.

বেলুনটি $u$ আদিবেগে যাত্রা করে সর্বোচ্চ উচ্চতা $B$-তে পৌঁছালে শেষ বেগ শূন্য হয়.

গতিসূত্রানুযায়ী, $0 = u^2 - 2gx \implies u^2 = 2gx$.

$B$ বিন্দুতে বেলুনটি বিস্ফোরিত হলে উৎপন্ন শব্দ $A$ ও $C$ বিন্দুতে পৌঁছায়:

$A$ বিন্দুতে শব্দ পৌঁছাতে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= AB = x$ মিটার.

$C$ বিন্দুতে শব্দ পৌঁছাতে অতিক্রান্ত দূরত্ব $= BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{x^2 + y^2}$ মিটার.

ধরি, শব্দের বেগ $v_s$.

তাহলে, $A$ বিন্দুতে শব্দ পৌঁছানোর সময় $t_A = \frac{x}{v_s}$ এবং $C$ বিন্দুতে পৌঁছানোর সময় $t_C = \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v_s}$.

প্রশ্নমতে, সময়ের পার্থক্য $\frac{1}{n}$ সেকেন্ড. সুতরাং,

$t_C - t_A = \frac{1}{n}$

$\implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2}}{v_s} - \frac{x}{v_s} = \frac{1}{n}$

$\implies \frac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{v_s} = \frac{1}{n}$

$\therefore v_s = n(\sqrt{x^2 + y^2} - x)$ (প্রমাণিত)

দেওয়া আছে, P(A) = 0.7, P(A ∩ B) = 0.1 এবং P(A | B) = 0.5

শর্তাধীন সম্ভাবনার সূত্র অনুযায়ী,

$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

সুতরাং, $P(B)=\frac{0.1}{0.5}=0.2$

এখন, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)

= 0.7 + 0.2 − 0.1

= 0.8

ডি মরগ্যানের সূত্র অনুযায়ী,

P(Ā ∩ B̄) = 1 − P(A ∪ B)

= 1 − 0.8

= 0.2

ধরি, মুদ্রার হেডকে H এবং টেলকে T দ্বারা নির্দেশ করা হলো

প্রতিটি ফলাফল (ছক্কার সংখ্যা, প্রথম মুদ্রার ফল, দ্বিতীয় মুদ্রার ফল) আকারে লিখলে নমুনাক্ষেত্রের ২৪টি ফলাফল নিচের ছকে পাওয়া যায়

অতএব মোট সমসম্ভাব্য ফলাফলের সংখ্যা n(S) = 6 × 2 × 2 = 24

ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার ঘটনা E হলে ছক্কার সংখ্যা 2, 4 অথবা 6 হবে এবং প্রতিটি ক্ষেত্রে মুদ্রা দুটির চারটি সম্ভাব্য ফল থাকবে

সুতরাং n(E) = 3 × 4 = 12

নির্ণেয় সম্ভাবনা, $P(E)=\frac{n(E)}{n(S)}=\frac{12}{24}=\frac{1}{2}$

প্রদত্ত শ্রেণিগুলোর মধ্যমান x এবং সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা f ব্যবহার করে ছক তৈরি করি

এখানে N = Σf = 63, Σfx = 2204 এবং Σfx² = 80732

গড়, $\bar{x}=\frac{\sum fx}{N}=\frac{2204}{63}$

পরিমিত ব্যবধানের সূত্র,

$\sigma=\sqrt{\frac{\sum f(x-\bar{x})^2}{N}}$

$=\sqrt{\frac{\sum fx^2}{N}-\left(\frac{\sum fx}{N}\right)^2}$

$=\sqrt{\frac{80732}{63}-\left(\frac{2204}{63}\right)^2}$

$=\sqrt{57.5711766}$

≈ 7.5876

সুতরাং নির্ণেয় পরিমিত ব্যবধান ≈ 7.59