ঢাকা বোর্ড ২০২৫
বহুনির্বাচনি লিখিত

১. উদ্দীপক

কোনো একটি বস্তুর উপর $(5 \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}) N$ বল প্রয়োগ করায় বস্তুটি (1, -1, 2) বিন্দু থেকে (4, 5, – 3) বিন্দুতে স্থানান্তরিত হয়।
উত্তর স্কু গজের বৃত্তাকার স্কেলটি একবার ঘুরালে এটি রৈখিক স্কেল বরাবর যেটুকু দূরত্ব অতিক্রম করে তাকে স্কুর পিচ বলে।
উত্তর

আমরা জানি, নৌকার গুণ টানার ক্ষেত্রে প্রযুক্ত বলের অনুভূমিক উপাংশের জন্য নৌকা সামনের দিকে গতি প্রাপ্ত হয়। অর্থাৎ প্রযুক্ত বল $\mathrm{F}$ এবং কোণ $\theta$ হলে, $\mathrm{F} \cos \theta$ বলের জন্য নৌকা সামনের দিকে গতিপ্রাপ্ত হয়। এখন $\theta$ এর মান যত কম হবে $\mathrm{F} \cos \theta$ এর মান তত বেশি হবে অর্থাৎ রশির দৈর্ঘ্য যত বেশি হবে $\mathrm{F} \cos \theta$ এর মান তত বেশি হবে। সুতরাং রশির দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি করে নৌকার গতি সামনের দিকে বৃদ্ধি করা যায়। এ কারণে নৌকার গুণ টানার সময় অনেক লম্বা দড়ি ব্যবহার সুবিধাজনক।

বল $F$ নৌকার সামনের দিকের সঙ্গে $\theta$ কোণে ক্রিয়া করছে। সামনে বরাবর উপাংশ $F\cos\theta$ এবং তার লম্ব উপাংশ $F\sin\theta$।

উত্তর

এখানে, আদি বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{\mathrm{OA}}=\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$

শেষ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর, $\vec{\mathrm{OB}}=4 \hat{\mathrm{i}}+5 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}$

∴ সরণ ভেক্টর,

$\begin{aligned} \vec{\mathrm{AB}} & =\vec{\mathrm{OB}}-\vec{\mathrm{OA}} \\ & =(4 \hat{i}+5 \hat{j}-3 \hat{k})-(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}) \\ & =3 \hat{i}+6 \hat{j}-5 \hat{k}\end{aligned}$

অতএব, সরণ ভেক্টর $3 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}$

উত্তর

এখানে, বল, $\vec{\mathrm{F}}=5 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}$

সরণ, $\vec{s}=3 \hat{i}+6 \hat{j}-5 \hat{k}$ ['গ' হতে]

আমরা জানি,

কৃতকাজ,

$\begin{aligned} \mathrm{W} & =\vec{\mathrm{F}} \cdot \vec{\mathrm{s}} \\ & =(5 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}}) \cdot(3 \hat{\mathrm{i}}+6 \hat{\mathrm{j}}-5 \hat{\mathrm{k}}) \\ & =15+12-15 \\ & =12 \mathrm{~J}\end{aligned}$

এখানে, কৃতকাজের মান ধনাত্মক।

সুতরাং, উদ্দীপক অনুসারে কৃতকাজ বলের পক্ষে।

২. উদ্দীপক

200 gm ভরের একটি বস্তুকে 50 cm ব্যাসার্ধের উল্লম্ব বৃত্তাকার পথে $20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$ দ্রুতিতে ঘুরানো হচ্ছে, যেখানে অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$.
উত্তর জড়তার ভ্রামক সংক্রান্ত লম্ব অক্ষ উপপাদ্যটি হলো- কোনো সমতল পাতের তলে উপস্থিত দুটি পরস্পর লম্ব অক্ষের সাপেক্ষে ঐ 'পাতের জড়তার ভ্রামকদ্বয়ের সমষ্টি হবে ঐ দুই অক্ষের ছেদ বিন্দু দিয়ে এবং পাতের অভিলম্বভাবে গমনকারী অক্ষের সাপেক্ষে পাতটির জড়তার ভ্রামকের সমান।
উত্তর

উক্তিটি সাধারণভাবে সত্য নয়। সমতলে স্থির একটি বস্তুর ওপর একটি অনুভূমিক টান প্রয়োগ করলে এবং অন্য অনুভূমিক বল না থাকলে স্থিতি বজায় রাখতে স্থিতি ঘর্ষণ সেই টানের সমান ও বিপরীত হয়, যতক্ষণ প্রয়োজনীয় ঘর্ষণ সীমান্তিক মান $\mu_sN$ অতিক্রম না করে।

কিন্তু চলন্ত বস্তুর গতীয় ঘর্ষণ প্রায় $\mu_kN$; এটি ওই মুহূর্তের প্রযুক্ত টানের চেয়ে বেশি হতে পারে। তখন বস্তুটি মন্দিত হয়। এমনকি টান তুলে নিলেও চলন্ত বস্তুর ওপর ঘর্ষণ থাকতে পারে। তাই শুধু বিশেষ স্থিতিসাম্য পরিস্থিতিতে প্রযুক্ত বলের সঙ্গে সমতা বলা যায়।

উত্তর

এখানে, বস্তুর ভর, $\mathrm{m}=200 \mathrm{gm}=0.2 \mathrm{~kg}$

বৃত্তাকার পথের ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=50 \mathrm{~cm}=0.5 \mathrm{~m}$

রৈখিক দ্রুতি, $\mathrm{v}=20 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

কেন্দ্রমুখী বল, $\mathrm{F}_{\mathrm{C}}=?$

আমরা জানি, $\mathrm{F}_{\mathrm{C}}=\frac{\mathrm{mv}^2}{\mathrm{r}}=\frac{0.2 \times(20)^2}{0.5}=160 \mathrm{~N}$

অতএব, ঘূর্ণনরত বস্তুর কেন্দ্রমুখী বল 160 N.

উত্তর

কেন্দ্রমুখী বল আলাদা কোনো অতিরিক্ত বল নয়; কেন্দ্রের দিকে বাস্তব বলগুলোর লব্ধিই $mv^2/r$। নিচের বিন্দু $A$-তে $T_A-mg=mv_A^2/r$ এবং ওপরের বিন্দু $B$-তে $T_B+mg=mv_B^2/r$।

দ্রুতি পুরো পথে $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ বজায় রাখা হলে $mv^2/r=160\,\mathrm N$। তখন $T_A=160+0.2(9.8)=161.96\,\mathrm N$ এবং $T_B=160-0.2(9.8)=158.04\,\mathrm N$। অন্যান্য বিন্দুতে মাধ্যাকর্ষণের অভিকেন্দ্রিক উপাংশ মধ্যবর্তী মান নেয়; তাই এই শর্তে নিচে টান সর্বোচ্চ ও ওপরে সর্বনিম্ন।

বাহ্যিক চালনা ছাড়া মাধ্যাকর্ষণের প্রভাবে দ্রুতি পরিবর্তিত হলেও নিচে দ্রুতি বেশি ও ওপরে কম হওয়ায় একই সর্বোচ্চ-সর্বনিম্ন সম্পর্ক থাকে; কিন্তু তখন উভয় বিন্দুতে একই $160\,\mathrm N$ বসিয়ে এই সংখ্যামানদুটি ব্যবহার করা যাবে না।

৩. উদ্দীপক

$6000 kg$ ভরের একটি বালুভর্তি ট্রাক $72 \mathrm{~km} \mathrm{~h}^{-1}$ বেগে চলছে। ট্রাক হতে $0.1 \mathrm{~kg} \mathrm{~s}^{-1}$ হারে ছিদ্রপথে বালু পড়ে যাচ্ছে। $30 min$ পরে ট্রাকটিকে $10 m$ দূরত্বের মধ্যে থামানো হলো।
উত্তর রাস্তার তল, অনুভূমিকের তলের সাথে যে কোণে আনত থাকে তাই ব্যাংকিং কোণ।
উত্তর

হাঁটার সময় পা মাটিকে পেছনের দিকে ঠেলে দেয় এবং মাটি পায়ে সামনের দিকে বল প্রয়োগ করে। শক্ত মাটিতে পায়ের সংযোগস্থান সহজে সরে যায় না।

আলগা বালুতে পায়ের চাপে বালুকণা সরে ও পুনর্বিন্যস্ত হয়; পা পিছলে বা ডুবে যায় এবং দৃঢ় ঠেলা পাওয়া কঠিন হয়। তাই সামনে এগোনোর জন্য বেশি পরিশ্রম লাগে। বিষয়টি ক্রিয়া-প্রতিক্রিয়া সূত্র ব্যর্থ হওয়ার কারণে নয়।

উত্তর

প্রাথমিক বেগ $u=72/3.6=20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$। বালু ট্রাকের সাপেক্ষে খাড়া নিচে ঝরে পড়লে বেরোনোর মুহূর্তে তার অনুভূমিক আপেক্ষিক বেগ শূন্য; তাই অনুভূমিক দিকে কোনো উৎক্ষেপণজনিত ধাক্কা নেই।

বাহ্যিক অনুভূমিক লব্ধি বল উপেক্ষা করলে পরিবর্তনশীল ভরের সমীকরণে $m\,dv/dt=0$, ফলে $v$ অপরিবর্তিত থাকে। সুতরাং $30\,\mathrm{min}$ পর বেগ $20\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ বা $72\,\mathrm{km\,h^{-1}}$। এখানে সংরক্ষিত রাশি ভরবেগ; বেগের সংরক্ষণ কোনো সাধারণ স্বতন্ত্র নীতি নয়।

উত্তর

$30\,\mathrm{min}=1800\,\mathrm s$-এ হারানো বালুর ভর $0.1(1800)=180\,\mathrm{kg}$; ব্রেকের শুরুতে মোট ভর $m=5820\,\mathrm{kg}$।

ব্রেক করার স্বল্প সময়ে ভরের আরও সামান্য হ্রাস উপেক্ষা করে সমমন্দন ধরলে $0=u^2+2as$, অর্থাৎ $a=-20^2/(2\times10)=-20\,\mathrm{m\,s^{-2}}$। তাই প্রয়োজনীয় লব্ধি প্রতিরোধী বল $F=ma=-116400\,\mathrm N$; মান $1.164\times10^5\,\mathrm N$, গতির বিপরীতে।

এই মানটি স্থির ভর ও সমমন্দনের আদর্শ হিসাব। ব্রেকের সময়ও বালু পড়া অব্যাহত থাকলে একেবারে নির্ভুল মুহূর্তভিত্তিক বলের জন্য ভরের পরিবর্তনও বিবেচনা করতে হবে।

৪. উদ্দীপক

একটি কুয়া থেকে পাম্পের সাহায্যে প্রতি মিনিটে 600 kg পানি 40 m গড় উচ্চতায় উঠানো হয়। পাম্পটির দক্ষতা 70% এবং অভিকর্ষজ ত্বরণ $9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}$
উত্তর কাজ-শক্তি উপপাদ্যটি হলো- কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়ারত লব্ধি বল কর্তৃক কৃতকাজ তার গতিশক্তির পরিবর্তনের সমান।
উত্তর যখন একটি বস্তু অপর একটি বস্তুর উপর বল প্রয়োগ করে, তখন দ্বিতীয় বস্তুটিও প্রথম বস্তুর উপর একটি সমান ও বিপরীতমুখী বল প্রয়োগ করে। প্রথম বস্তু দ্বিতীয় বস্তুর উপর যে বল প্রয়োগ করে, তাকে বলে ক্রিয়া এবং দ্বিতীয় বস্তু কর্তৃক প্রথম বস্তুর উপর প্রযুক্ত বলকে বলে প্রতিক্রিয়া। 'ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বল সবসময় দুটি ভিন্ন বস্তুর উপর ক্রিয়া করে। প্রতিক্রিয়া বলটি ততক্ষণই থাকবে, যতক্ষণ পর্যন্ত ক্রিয়া বলটি থাকবে। ক্রিয়া থেমে গেলে প্রতিক্রিয়াও থেমে যাবে। অর্থাৎ, ক্রিয়া ও প্রতিক্রিয়া বল পরস্পরকে প্রশমিত করে না।
উত্তর প্রতি মিনিটে উত্তোলিত পানির ভর $m=600\,\mathrm{kg}$ এবং গড় উচ্চতা $h=40\,\mathrm m$। পানিকে তুলতে প্রতি মিনিটে কার্যকর কৃতকাজ $W=mgh=600\times9.8\times40=2.352\times10^5\,\mathrm J$।
উত্তর

প্রথমে কার্যকর ক্ষমতা $P_{\mathrm{out},1}=W/t=235200/60=3920\,\mathrm W$। দক্ষতা $\eta_1=0.70$ হওয়ায় প্রদত্ত ক্ষমতা $P_{\mathrm{in}}=3920/0.70=5600\,\mathrm W$।

প্রদত্ত ক্ষমতা একই থাকলে নতুন দক্ষতা $\eta_2=50\%=0.50$ এবং $P_{\mathrm{out},2}=0.50(5600)=2800\,\mathrm W$। কার্যকর ক্ষমতা কমে $3920-2800=1120\,\mathrm W$। এখানে $0.50$ হলো নতুন দক্ষতা, আগের দক্ষতার $0.5$ গুণ নয়।

প্রতি মিনিটে একই পরিমাণ পানি একই উচ্চতায় তুলতে হবে এমন শর্ত রাখলে কার্যকর ক্ষমতা একই থাকবে, বরং প্রয়োজনীয় প্রদত্ত ক্ষমতা বাড়বে। তাই উল্লিখিত হ্রাসটি স্থির প্রদত্ত ক্ষমতার শর্তে প্রযোজ্য।

৫. উদ্দীপক

ভূ-পৃষ্ঠ হতে 1200 km উচ্চতায় একটি 300 kg ভরের কৃত্রিম উপগ্রহ পৃথিবীকে প্রদক্ষিণ করছে। $\left(\mathrm{G}=6.673 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}\right.$, $\left.\mathrm{M}=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}, \mathrm{R}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}, \mathrm{~g}=9.8 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-2}\right)$
উত্তর কোনো বস্তুর উপর প্রযুক্ত বল এবং বলের ক্রিয়াকালের গুণফলই বলের ঘাত।
উত্তর মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G. পৃথিবীর ভর M, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R, অভিকর্ষজ ত্বরণ g এবং বস্তুর ভর m হলে, বস্তুটির মুক্তিবেগের রাশিমালা $v_e= \sqrt{\frac{2 G M}{R}}=\sqrt{2 g R}$ হতে দেখা যায় যে, বস্তুর ভর m অনুপস্থিত। সুতরাং বস্তু ছোট বড়, ভারী বা হালকা যাই হোক না কেন তাকে পৃথিবীর আকর্ষণ কাটিয়ে মহাশূন্যে চিরকালের জন্য চলে যেতে হলে একই বেগ দিতে হবে। অর্থাৎ মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের উপর নির্ভরশীল নয়।
উত্তর

উদ্দীপক হতে, উচ্চতা, $\mathrm{h}=1200 \mathrm{~km}=1.2 \times 10^6 \mathrm{~m}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $\mathrm{R}=6.4 \times 10^6 \mathrm{~m}$

পৃথিবীর ভর, $M=6 \times 10^{24} \mathrm{~kg}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6.673 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

আবর্তনকাল, T = ?

আমরা জানি, $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{(\mathrm{R}+\mathrm{h})^3}{\mathrm{GM}}}$

$\begin{aligned} & =2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{\left(6.4 \times 10^6+1.2 \times 10^6\right)^3}{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}} \\ & =6579.08 \mathrm{~s}=1.83 \mathrm{~h}\end{aligned}$

অতএব, কৃত্রিম উপগ্রহের আবর্তনকাল 1.83 h.

উত্তর

উদ্দীপক হতে,

কৃত্রিম উপগ্রহের উচ্চতা, $\mathrm{h}=1200 \mathrm{~km}=1.2 \times 10^6 \mathrm{~m}$

পৃথিবীর ভর, M=6 $\times 10^{24} \mathrm{~kg}$,

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, R=6.4 $\times 10^6 \mathrm{~m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6.673 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

∴ 1200 km উচ্চতায় উপগ্রহের বেগ,

$\begin{aligned} v=\sqrt{\frac{G M}{R+h}} & =\sqrt{\frac{6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6+1.2 \times 10^6}} \\ & =7258.21 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}\end{aligned}$

ধরি, উপগ্রহটির বেগ $v_e$ হলে তা মহাশূন্যে হারিয়ে যাবে।

আমরা জানি, $\mathrm{v}_{\mathrm{e}}=\sqrt{\frac{2 \mathrm{GM}}{\mathrm{R}+\mathrm{h}}}=\sqrt{\frac{2 \times 6.673 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{6.4 \times 10^6+1.2 \times 10^6}}$

$\therefore \quad \mathrm{v}_{\mathrm{e}}=10264.66 \mathrm{~m} \mathrm{~s}^{-1}$

∴ বেগের শতকরা বৃদ্ধি= $=\frac{\Delta v}{v} \times 100 \%=\frac{10264.66-7258.21}{7258.21} \times 100 \%$

= 41.42%

অতএব, উপগ্রহটির বেগ 41.42% বৃদ্ধি করলে তা মহাশূন্যে হারিয়ে যাবে।

৬. উদ্দীপক

ABC ত্রিভুজে AB = BC = CA = 15 m. D বিন্দু BC এর মধ্যবিন্দু।

ABC সমবাহু ত্রিভুজের শীর্ষ A উপরে, B বামে এবং C ডানে অবস্থিত। B বিন্দুতে m_B = 60 kg এবং C বিন্দুতে m_C = 70 kg ভর রয়েছে। BC-এর মধ্যবিন্দু D-কে A-এর সঙ্গে যুক্ত করা হয়েছে।
উত্তর ভূপৃষ্ঠ হতে ন্যূনতম যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া উপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না, সেই বেগকে পৃথিবীপৃষ্ঠ থেকে বস্তুর মুক্তিবেগ বলে।
উত্তর

পৃথিবী মেরুতে কিছুটা চাপা; ফলে মেরু ব্যাসার্ধ বিষুবীয় ব্যাসার্ধের চেয়ে কম। অন্য বিষয় একই ধরলে $GM/r^2$ অনুযায়ী কম দূরত্বে মহাকর্ষজ ত্বরণ বেশি।

পৃথিবীর ঘূর্ণনের জন্য বিষুব অঞ্চলে কার্যকর অভিকর্ষজ ত্বরণে প্রায় $\omega^2R$ হ্রাস ঘটে; ঘূর্ণনশীল পৃথিবীর নির্দেশতন্ত্রে একে কেন্দ্রবিমুখ প্রভাব বলা যায়। মেরুতে ঘূর্ণন অক্ষ থেকে দূরত্ব শূন্য হওয়ায় এই প্রভাব শূন্য। উভয় কারণে মেরুতে কার্যকর $g$ বিষুবের তুলনায় বেশি।

উত্তর

উদ্দীপক হতে, B বিন্দুতে ভর, $\mathrm{m}_{\mathrm{B}}=60 \mathrm{~kg}$

C বিন্দুতে ভর, $\mathrm{m}_{\mathrm{C}}=70 \mathrm{~kg}$

দূরত্ব, $\mathrm{r}=\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=15 \mathrm{~m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $\mathrm{G}=6.673 \times 10^{-11} \mathrm{Nm}^2 \mathrm{~kg}^{-2}$

∴ A বিন্দুতে মোট বিভব,

$\begin{aligned} V_A=V_B+V_C & =-\frac{G m_B}{r}-\frac{G m_C}{r}=-\frac{G}{r}\left(m_B+m_C\right) \\ & =-\frac{6.673 \times 10^{-11}}{15}(60+70) \\ & =-5.783 \times 10^{-10} \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}\end{aligned}$

অতএব, A বিন্দুতে মহাকর্ষীয় বিভব $-5.783 \times 10^{-10} \mathrm{~J} \mathrm{~kg}^{-1}$

উত্তর

A থেকে উভয় ভরের দূরত্ব 15 m। ক্ষেত্রদুটির মান $E_B=G(60)/15^2$ এবং $E_C=G(70)/15^2$; তাদের মধ্যবর্তী কোণ 60°।

তাই $E_A=\sqrt{E_B^2+E_C^2+2E_BE_C\cos60^\circ}$।

সংখ্যামান বসিয়ে $E_A\approx3.3423\times10^{-11}\,\mathrm{N\,kg^{-1}}$।

D মধ্যবিন্দু হওয়ায় $BD=CD=7.5\,\mathrm m$। দুই ভরের ক্ষেত্র এখানে বিপরীতমুখী। তাই $E_D=G(70-60)/7.5^2$, অর্থাৎ $E_D\approx1.1863\times10^{-11}\,\mathrm{N\,kg^{-1}}$; দিক D থেকে C।

সুতরাং $E_A/E_D\approx2.82$। অর্থাৎ A বিন্দুর ক্ষেত্রের মান D বিন্দুর ক্ষেত্রের মানের প্রায় 2.82 গুণ।

৭. উদ্দীপক

সরল ছন্দিত গতিতে স্পন্দিত একটি বস্তুকণার সরণের সমীকরণ $x=A \sin \left(\omega t-\frac{\pi}{4}\right) ;$ যদি কণাটির ত্বরণকে $a=P \sin (\omega t+\delta)$ সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা যায়।
উত্তর যে দোলকের দোলনকাল দুই সেকেন্ড অর্থাৎ যে দোলকের এক প্রান্ত থেকে অপর প্রান্তে যেতে এক সেকেন্ড সময় লাগে তাকে সেকেন্ড দোলক বলে।
উত্তর আমরা জানি, সরল দোলকের সমীকরণ, $\mathrm{T}=2 \pi \sqrt{\frac{\mathrm{~L}}{\mathrm{~g}}}$। দোলনকাল $T$ এর কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ ও অভিকর্ষজ ত্বরণ $g$-এর উপর নির্ভর করে। কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ বৃদ্ধি পেলে, দোলনকাল $T$ বৃদ্ধি পায় এবং $L$ হ্রাস পেলে $T$ হ্রাস পায়। দোলক ঘড়ি সাধারণ সময়ে প্রতি মিনিটে $30$টি দোলন দেয়। অর্থাৎ, দোলক ঘড়ির দোলনকাল $T$ এর মান $2$ সেকেন্ড। অধিক গরমে বা গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রা বেশি থাকার কারণে দোলক ঘড়ির কার্যকর দৈর্ঘ্য $L$ বৃদ্ধি পায়। ফলে দোলনকাল $T'$ এর মানও বৃদ্ধি পায় অর্থাৎ, $T$ এর মান $2$ সেকেন্ডের বেশি হয়। এজন্য অধিক গরমে বা গ্রীষ্মকালে দোলক ঘড়ি ধীরে চলে।
উত্তর

$x=A\sin(\omega t-\pi/4)$ হওয়ায় ব্যবকলন করে পাই $v=dx/dt=A\omega\cos(\omega t-\pi/4)$। এটি দিকসহ বেগের রাশিমালা।

আবার $v^2=\omega^2(A^2-x^2)$, তাই $v=\pm\omega\sqrt{A^2-x^2}$; চিহ্নটি গতির দিকের উপর নির্ভর করে। কেবল দ্রুতির জন্য ধনাত্মক $\omega\sqrt{A^2-x^2}$ ব্যবহার করা যায়।

উত্তর

$a=d^2x/dt^2=-A\omega^2\sin(\omega t-\pi/4)$। যেহেতু $-\sin\theta=\sin(\theta+\pi)$, তাই $a=A\omega^2\sin(\omega t+3\pi/4)$।

$a=P\sin(\omega t+\delta)$-এর সঙ্গে তুলনা করে, ত্বরণের বিস্তার ধনাত্মক নিলে $P=A\omega^2$ এবং $\delta=3\pi/4+2n\pi$ যেখানে $n$ পূর্ণসংখ্যা। অতএব উভয় রাশি নির্ণয় করা সম্ভব; প্রধান দশাকোণ $3\pi/4$।

৮. উদ্দীপক

কোনো একদিন আবহাওয়া রিপোর্টে বরিশালের শিশিরাঙ্ক 15.5° C । বায়ুর তাপমাত্রা 25° C এবং 15° C, 16°C ও 25° C তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত জলীয় বাষ্পচাপ যথাক্রমে $12.5 \times 10^{-3} \mathrm{mHg}, 13.63 \times 10^{-3}$mHg এবং $24 \times 10^{-3} \mathrm{mHg}$। উক্ত দিনে কুয়াকাটার তাপমাত্রা একই থাকা সত্ত্বেও অস্বস্তিকর ছিল।
উত্তর যেকোনো তাপমাত্রায় কেবল তরল পদার্থের উপরিতল থেকে তরল ধীরে ধীরে বাষ্পে পরিণত হওয়ার পদ্ধতি হলো বাষ্পায়ন।
উত্তর

কম আর্দ্রতায় শরীরের ঘাম তুলনামূলক দ্রুত বাষ্পীভূত হয় এবং শরীর থেকে সুপ্ততাপ নেয়; এতে ঠান্ডা লাগে। বেশি আর্দ্রতায় ঘাম সহজে শুকায় না, ফলে অস্বস্তি বাড়তে পারে।

মেঘমুক্ত দিনে আর্দ্রতা কম এবং তাপমাত্রা ও বাতাস অনুকূল থাকলে আরাম অনুভূত হতে পারে। তবে মেঘ না থাকলেই সব দিন আরামদায়ক—এটি নিশ্চিত নয়; তাপমাত্রা, সৌর বিকিরণ ও বাতাসও গুরুত্বপূর্ণ।

উত্তর

শিশিরাঙ্ক $15.5^\circ\mathrm C$-এ প্রকৃত বাষ্পচাপ ঐ তাপমাত্রার সম্পৃক্ত বাষ্পচাপের সমান। প্রদত্ত সন্নিহিত মানের মধ্যে সরল অন্তর্বেশন করলে $f=[12.5+0.5(13.63-12.5)]\times10^{-3}=13.065\times10^{-3}\,\mathrm{mHg}$।

বায়ুর $25^\circ\mathrm C$ তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ $F=24\times10^{-3}\,\mathrm{mHg}$। তাই আপেক্ষিক আর্দ্রতা $RH=(f/F)\times100\%=54.4375\%\approx54.44\%$।

উত্তর

একই তাপমাত্রায় কুয়াকাটার বেশি অস্বস্তির কারণ বেশি আর্দ্রতা—এই অতিরিক্ত ব্যাখ্যা গ্রহণ করলে $RH_K>RH_B$। উভয় স্থানের সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ $F$ একই, তাই $f_K/F>f_B/F$ থেকে $f_K>f_B$।

প্রকৃত বাষ্পচাপ বেশি হলে শিশিরাঙ্কও বেশি। তাই একই প্রাথমিক তাপমাত্রা থেকে শীতল হলে কুয়াকাটা আগে সম্পৃক্ত অবস্থায় পৌঁছাতে পারে; অনুকূল শীতলীকরণ ও ঘনীভবনের পরিস্থিতিতে সেখানে শিশির বা কুয়াশার সম্ভাবনা বেশি। তবে শুধু অস্বস্তির বিবরণ থেকে আর্দ্রতা একমাত্র কারণ বলে নিশ্চিত করা যায় না।