উত্তর প্রসঙ্গ কাঠামোর মূলবিন্দুর সাপেক্ষে অন্য কোনো বিন্দুর অবস্থান যে ভেক্টর দ্বারা প্রকাশ করা হয়, তাকে ঐ বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর বা ব্যাসার্ধ ভেক্টর বলে।

উত্তর

$\vec{\mathrm{A}}$ ও $\vec{\mathrm{B}}$ ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থান করে, $\vec{\mathrm{A}} \times \vec{\mathrm{B}}$ ভেক্টরটি অবস্থান করে ঐ তলের লম্ব দিকে। $\hat{\mathrm{k}}$ ও $\hat{\mathrm{j}}$ আয়ত একক ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমকোণে অবস্থান করে এবং এদের ভেক্টর গুণন হচ্ছে $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{j}} =(1)$. (1) $\sin 90^{\circ} \hat{\eta}=\hat{\eta}$ । এখানে $\hat{\eta}$ একটি একক ভেক্টর, যার দিক $\hat{\mathrm{k}}$ ও $\hat{\mathrm{j}}$ ভেক্টরদ্বয় যে তলে অবস্থান করে তার লম্ব দিকে। কিন্তু এদের লম্বদিকে একক ভেক্টরটি হচ্ছে $\pm \hat{\mathrm{i}}$।

ডানহাতি ভিত্তিতে ধনাত্মক চক্র $\hat i\to\hat j\to\hat k\to\hat i$; এই ক্রমে ক্রস গুণফল ধনাত্মক। বিপরীত চক্রে ঋণাত্মক। তাই $\hat k\times\hat j=-\hat i$।

এখানে $\hat{\mathrm{k}}$ ও $\hat{\mathrm{j}}$ বিপরীতক্রমে হওয়ায় ডানহাতি স্ক্রু নিয়মে তৃতীয় আয়ত একক ভেক্টর অর্থাৎ, $\hat{\mathrm{i}}$ এর ঋণাত্মক ভেক্টর কে নির্দেশ করে।

অর্থাৎ, $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{j}}=-\hat{\mathrm{i}}$

সুতরাং, $\hat{\mathrm{k}} \times \hat{\mathrm{j}}$ একটি একক ভেক্টর।

উত্তর

স্থির পানিতে নৌকার বেগ $v=(15+5)/2=10\,\mathrm{km\,h^{-1}}$ এবং স্রোতের বেগ $u=(15-5)/2=5\,\mathrm{km\,h^{-1}}$। সরাসরি বিপরীত পাড়ে যেতে স্রোত বরাবর লব্ধি উপাংশ শূন্য হতে হবে।

স্রোতের দিকের সঙ্গে নৌকার চালনার কোণ $\alpha$ হলে $u+v\cos\alpha=0$। তাই $\cos\alpha=-5/10=-1/2$, অর্থাৎ $\alpha=120^\circ$। এটি সোজা বিপরীত পাড়ের দিক থেকে উজানের দিকে $30^\circ$।

উত্তর

'গ' হতে পাই, মাঝি A বিন্দু থেকে অপর পাড়ে B বিন্দুতে যেতে নৌকাটিকে স্রোতের সাথে 120° কোণে চালনা করেছিল।

এখানে,

নদীর প্রস্থ, d=5 km

‘গ’ হতে পাই,

নৌকার বেগ, $v=10 kmh^{-1}$

নৌকা ও স্রোতের মধ্যবর্তী কোণ, $\alpha=120^{\circ}$

নদী পার হতে প্রয়োজনীয় সময়, t = ?

∴ অপর পাড়ে B বিন্দুতে পৌঁছাতে মাঝির প্রয়োজনীয় সময়, $ t= \frac{d}{v \sin \alpha} $

$=\frac{5}{10 \sin 120^{\circ}} $

$=0.577 \mathrm{hr}$

এখন, B বিন্দু থেকে 5 km দূরের C বিন্দু থেকে অপর ব্যক্তি উক্ত সময়ে B বিন্দুতে পৌঁছাতে পারলে তাদের সাক্ষাৎ হওয়া সম্ভব।

অপর ব্যক্তির B বিন্দুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সময় t' হলে,

$\mathrm{t}^{\prime} =\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{v}^{\prime}}$

$ =\frac{5}{4}=1.25 \mathrm{hr}$

সুতরাং, দেখা যাচ্ছে যে, t' > t

অর্থাৎ, অপর ব্যক্তি B বিন্দুতে আসার পূর্বেই মাঝি B বিন্দুতে পৌঁছে গিয়েছিল। সেক্ষেত্রে মাঝি যদি B বিন্দুতে পৌঁছার পর আরও (1.25-0.577)= 0.67 hr বা $(0.67 \times 60)=40$ মিনিট অপেক্ষা করে তাহলে অপর ব্যক্তির সাথে সাক্ষাৎ হবে। কিন্তু মাঝি যদি 40 মিনিট পার হওয়ার পূর্বেই অন্য কোনো গন্তব্যের উদ্দেশ্যে যাত্রা করে, তাহলে অপর ব্যক্তির সাথে সাক্ষাৎ হবে না।

উত্তর কোনো ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল হলো সেই ভেক্টর রাশি যার কোনো অভিমুখে উপাংশ ঐ অভিমুখের লম্ব ক্ষুদ্র বন্ধ বক্ররেখা বরাবর সঞ্চালন-সমাকলন ও ঘেরা ক্ষেত্রফলের অনুপাতের ক্ষেত্রফল-শূন্য সীমা। প্রতীকে $\operatorname{curl}\vec V=\nabla\times\vec V$।

উত্তর

$\vec V=V_x\hat i+V_y\hat j+V_z\hat k$ হলে $\nabla\cdot\vec V=\partial V_x/\partial x+\partial V_y/\partial y+\partial V_z/\partial z$। প্রতিটি পদ একটি সংখ্যামূলক ফাংশন; ফলের সঙ্গে কোনো একক দিক-ভেক্টর থাকে না।

এটি একটি বিন্দুর চারপাশে প্রতি একক ক্ষুদ্র আয়তনে নিট বহির্মুখী ফ্লাক্সের সীমা প্রকাশ করে। তাই ডাইভারজেন্স স্কেলার; এখানে ফ্লাক্সের কোনো সর্বোচ্চ মান নেওয়া হয় না।

উত্তর

এখানে,

M এর অবস্থান ভেক্টর,

$\vec{\mathrm{OM}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$

N এর অবস্থান ভেক্টর,

$\vec{\mathrm{ON}}=6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}} $

এবং, $|\vec{\mathrm{ON}}|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=7 $

$\vec{\mathrm{ON}} \cdot \vec{\mathrm{OM}}=(2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}).(6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}) $

$=12-6-2=4$

আমরা জানি,

$\vec{\mathrm{A}}$ ভেক্টরের ওপর $\vec{\mathrm{B}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ, $B \cos \theta=\frac{\vec{A} \cdot \vec{B}}{|\vec{A}|}$

∴ $\vec{\mathrm{ON}}$ এর উপর, $\vec{\mathrm{OM}}$ এর লম্ব-অভিক্ষেপ,

$\mathrm{OM} \cos \theta=\frac{\vec{\mathrm{ON}} \cdot \vec{\mathrm{OM}}}{|\vec{\mathrm{ON}}|}=\frac{4}{7}$

(Ans.)

উত্তর

এখানে, তিনটি বিন্দু,

$ \mathrm{O}(0,0,0) $

$ \mathrm{M}(2,2,-1) $

$ \mathrm{N}(6,-3,2)$

‘গ’ হতে পাই,

$\vec{\mathrm{OM}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} ; \vec{\mathrm{ON}}=6 \hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{\mathrm{k}}$

এখন, $\vec{\mathrm{MN}}=\vec{\mathrm{ON}}-\vec{\mathrm{OM}}=(6-2) \hat{\mathrm{i}}+(-3-2) \hat{\mathrm{j}}+(2+1) \hat{\mathrm{k}}$

$=4 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}+3 \hat{\mathrm{k}} $

$ \therefore|\vec{\mathrm{OM}}|=\sqrt{(2)^2+2^2+(-1)^2}=3$

$ |\vec{\mathrm{ON}}|=\sqrt{6^2+(-3)^2+2^2}=7 $

এবং $|\vec{\mathrm{MN}}|=\sqrt{4^2+(-5)^2+3^2}=5 \sqrt{2} $

এখানে,

$ |\vec{\mathrm{OM}}|^2+|\vec{\mathrm{ON}}|^2=3^2+7^2=58 $

এবং $|\vec{\mathrm{MN}}|^2=(5 \sqrt{2})^2=50 $

অর্থাৎ, $|\vec{\mathrm{MN}}|^2 \neq|\vec{\mathrm{OM}}|^2+|\vec{\mathrm{ON}}|^2$

∴ উদ্দীপকের $\triangle \mathrm{OMN}$ সমকোণী ত্রিভুজ হবে না।

উত্তর কোন দৃঢ় বস্তুর সমগ্র ভর যদি একটি নির্দিষ্ট বিন্দুতে কেন্দ্রীভূত করা যায় যাতে করে একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঐ কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার জড়তার ভ্রামক, ঐ নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে সমগ্র দৃঢ় বস্তুর জড়তার ভ্রামকের সমান হয়, তাহলে ঐ নির্দিষ্ট অক্ষ থেকে কেন্দ্রীভূত বস্তুকণার লম্ব দূরত্বকে চক্রগতির ব্যাসার্ধ বলে।

উত্তর

আরোহীর অনুভূত বা আপাত ওজন হলো তল থেকে পাওয়া অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া $N$। লিফট নিচে $a$ ত্বরণে নামলে $mg-N=ma$, তাই $N=m(g-a)$।

অবাধ পতনে লিফট ও আরোহী উভয়ের $a=g$; ফলে $N=0$। তখন আরোহী নিজেকে ওজনহীন মনে করেন, যদিও তাঁর উপর মহাকর্ষ বল $mg$ এখনও ক্রিয়া করে।

উত্তর

সমকোণী প্রস্থচ্ছেদে ঢাল বরাবর দৈর্ঘ্য $d=10\,\mathrm m$, খাড়া উচ্চতা $x=0.4\,\mathrm m$ এবং ভূমির সঙ্গে ব্যাংকিং কোণ $\theta$। তাই $\sin\theta=x/d$।

এখানে,

রাস্তার প্রস্থ, $d=10 \mathrm{~m}$

রাস্তার উভয় পাশের উচ্চতার পার্থক্য,

$x=0.4 \mathrm{~m}$

ব্যাংকিং কোণ, $\theta=$ ?

আমরা জানি,

$\sin \theta =\frac{x}{d}=\frac{0.4}{10} $

$\therefore \theta =\sin ^{-1}(0.04) $

$=2.29^{\circ} \text { (Ans.) }$

উত্তর

চিত্রে ঢাল বরাবর প্রস্থ $10\,\mathrm m$, উচ্চতা $0.4\,\mathrm m$; তাই $\theta=\sin^{-1}(0.04)\approx2.292^\circ$। ঘর্ষণ উপেক্ষা করলে যে বেগে পার্শ্বঘর্ষণ ছাড়াই বাঁক নেওয়া যায় তা $v_0=\sqrt{rg\tan\theta}\approx7.67\,\mathrm{m\,s^{-1}}$।

বাসের বর্তমান বেগ $v=\sqrt{2K/m}=\sqrt{2(84500)/1000}=13\,\mathrm{m\,s^{-1}}$। এটি $v_0$ থেকে বেশি; তাই ঘর্ষণবিহীন মডেলে বাসটি এই বাঁকে নির্ধারিত বৃত্তাকার পথে থাকতে পারবে না।

কিন্তু ঘর্ষণ থাকলে নকশা-বেগের চেয়েও বেশি বেগে বাঁক নেওয়া সম্ভব হতে পারে। ঘর্ষণ গুণাঙ্ক দেওয়া নেই; তাই ঘর্ষণসহ প্রকৃত সর্বোচ্চ নিরাপদ বেগ বা নিশ্চিত দুর্ঘটনার সিদ্ধান্ত এই উপাত্তে পাওয়া যায় না।

উত্তর কোনো স্প্রিংকে এর সাম্যাবস্থা হতে 1 m প্রসারিত বা সংকুচিত করতে যে পরিমাণ বল প্রয়োগ করতে হয়, তাকে ঐ স্প্রিং এর স্প্রিং ধ্রুবক বলে।

উত্তর

অভিকর্ষ বলের কাজ কেবল আদি ও শেষ অবস্থানের উপর নির্ভর করে, পথের উপর নয়। পৃথিবীপৃষ্ঠের কাছে $W_g=mg(h_i-h_f)=-\Delta U$; সাধারণ ক্ষেত্রেও $U=-GMm/r$ ব্যবহার করা যায়।

তাই বন্ধ পথে একই অবস্থানে ফিরে এলে বিভবশক্তির পরিবর্তন ও অভিকর্ষ বলের নিট কাজ শূন্য হয়। এই পথ-নিরপেক্ষতার জন্য অভিকর্ষ বল সংরক্ষণশীল।

উত্তর

এখানে,

চৌবাচ্চাটির দৈর্ঘ্য, $\mathrm{a}=10 \mathrm{~m}$

চৌবাচ্চাটির প্রস্থ, $b=8 \mathrm{~m}$

চৌবাচ্চাটির গভীরতা, c=6m

পানির ঘনত্ব, $\rho=1000 \mathrm{kgm}^{-3}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $\dot{\mathrm{g}}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$

গ’ ১ম পাম্পটি চৌবাচ্চাটির এক তৃতীয়াংশ পানি খালি করে।

তাই পানির উচ্চতা, $\mathrm{c}^{\prime}=\frac{\mathrm{c}}{3}$

$=\frac{6}{3} $

$=2 \mathrm{~m}$

অপসারিত পানির আয়তন, $\mathrm{V}=\mathrm{abc}^{\prime}=10 \times 8 \times 2=160 \mathrm{~m}^3$

অপসারিত পানির পরিমাণ, $\mathrm{m}=\rho \mathrm{V}=1000 \times 160=16 \times 10^4 \mathrm{~kg}$ এক-তৃতীয়াংশ পানিশূন্য করার জন্য পানির গড় সরণ,

$\mathrm{h}_1=\frac{0+\mathrm{c}^{\prime}}{2}=\frac{0+2}{2}=1 \mathrm{~m}$

∴ ১ম পাম্পটি দ্বারা সম্পাদিত কাজ, $\mathrm{W}_1=\mathrm{m}_1 \mathrm{gh}_1$

$=16 \times 10^4 \times 9.8 \times 1=1568000 \mathrm{~J} \text { (Ans.) }$

উত্তর

এখানে,

কুয়ার গভীরতা, $l=6 \mathrm{~m}$

১ম পাম্পের ক্ষমতা,

$P_1=3730 \text { Watt }$

২য় পাম্পের ক্ষমতা, $\mathrm{P}_2=3 \mathrm{P}_1$

$=3 \times 3730 $

$=11190 \mathrm{~W}$

১ম ক্ষেত্রে পানির ভর,

$\mathrm{m}_1=16 \times 10^4 \mathrm{~kg}$ (‘গ’ হতে)

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 ms^{-2}$

‘গ’ হতে পাই ১ম ক্ষেত্রে গড় সরণ,

$\mathrm{h}_1=1 \mathrm{~m}$

২য় ক্ষেত্রে

গড় সরণ, $\mathrm{H}_2 =\frac{\frac{l}{3}+l}{2}$

$=\frac{\frac{6}{3}+6}{2}$

$=4 \mathrm{~m}$

∴ ২য় ক্ষেত্রে অপসারিত পানির ভর,

$\mathrm{m}_2=2 \mathrm{~m}_1 =2 \times 16 \times 10^4 $

$=32 \times 10^4 \mathrm{~kg}$

১ম ও ২য় পাম্প দ্বারা পানি তুলতে যথাক্রমে $\mathrm{t}_1$ ও $\mathrm{t}_2$ সময় লাগলে,

১ম ক্ষেত্রে $\mathrm{P}=\frac{\mathrm{W}_1}{\mathrm{t}_1}$

$\therefore t_1=\frac{W_1}{P}=\frac{m_1 g h_1}{P}=\frac{16 \times 10^4 \times 9.8 \times 1}{3730}=420.38 \mathrm{~s}$

২য় ক্ষেত্রে, $\mathrm{P}_2=\frac{\mathrm{W}_2}{\mathrm{t}_2}$

$\therefore \mathrm{t}_2=\frac{\mathrm{W}_2}{\mathrm{P}}=\frac{\mathrm{m}_2 \mathrm{gh}_2}{\mathrm{P}}=\frac{32 \times 10^4 \times 9.8 \times 4}{11190}=1121 \mathrm{~s}$

গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যায়, $\mathrm{t}_1<\mathrm{t}_2$

অতএব, ১ম ও ২য় পাম্প দ্বারা পানি তুলতে প্রয়োজনীয় সময় একই ছিল না; ২য় পাম্প দ্বারা পানি তুলতে সময় বেশি লেগেছিল।

উত্তর কোনো বস্তুর উপর ক্রিয়াশীল মোট অভিকর্ষ বল বা ওজন যে বিন্দু দিয়ে ক্রিয়া করে বলে ধরা যায়, তাকে ভারকেন্দ্র বলে। বিন্দুটি সবসময় বস্তুর পদার্থের ভিতরে থাকতে হবে না; যেমন বৃত্তাকার রিংয়ের কেন্দ্র ফাঁকা স্থানেও হতে পারে।

উত্তর সর্বাপেক্ষা কম যে বেগে কোনো বস্তুকে খাড়া ওপরের দিকে নিক্ষেপ করলে তা আর পৃথিবীতে ফিরে আসে না, সে বেগকে মুক্তিবেগ বলে। অর্থাৎ, ভূ-পৃষ্ঠ থেকে কোনো বস্তুকে এমন গতিশক্তি দিতে হবে যাতে সেটি পৃথিবীর আকর্ষণকে উপেক্ষা করে মহাশূন্যে চলে যেতে পারে। পৃথিবীর ভর M, সার্বজনীন মহাকর্ষীয় ধ্রুবক G, পৃথিবীর ব্যাসার্ধ R হলে পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত যে কোনো বস্তুর মুক্তিবেগ, $v_e=\sqrt{\frac{2 G M}{R}}$ = $\sqrt{2 \mathrm{gR}}$ । মুক্তিবেগের এই সমীকরণে বস্তুর ভর অনুপস্থিত। অর্থাৎ, পৃথিবী পৃষ্ঠ থেকে নিক্ষেপের ক্ষেত্রে মুক্তিবেগ বস্তুর ভরের বা আকার-আয়তনের ওপর নির্ভরশীল নয়। সুতরাং মুক্তিবেগ বস্তু নিরপেক্ষ। তাই পৃথিবী পৃষ্ঠ হতে নিক্ষিপ্ত সকল বস্তুর মুক্তিবেগ অভিন্ন।

উত্তর

দেওয়া আছে,
পৃথিবীর পৃষ্ঠে অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8\text{ m s}^{-2}$
পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6400\text{ km} = 6400 \times 10^3\text{ m}$
ভূপৃষ্ঠ হতে উপগ্রহটির উচ্চতা, $h = 700\text{ km} = 700 \times 10^3\text{ m}$
$h$উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g' = ?$

আমরা জানি
ভূপৃষ্ঠ হতে $h$ উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের সমীকরণ: $g' = g \left( \frac{R}{R + h} \right)^2$

বা, $g' = 9.8 \times \left( \frac{6400 \times 10^3}{6400 \times 10^3 + 700 \times 10^3} \right)^2$

বা, $g' = 9.8 \times \left( \frac{6400}{7100} \right)^2$

বা, $g' = 9.8 \times \left( \frac{64}{71} \right)^2$
বা, $g' = 9.8 \times (0.9014)^2$
বা, $g' = 9.8 \times 0.8125$
বা, $g' = 7.9625\text{ m s}^{-2}$
উদ্দীপকে উল্লিখিত উচ্চতায় অভিকর্ষজ ত্বরণের মান $7.96\text{ m s}^{-2}$ (প্রায়)।

উত্তর

$GM=gR^2$ এবং ভূস্থিরতার জন্য আনুমানিক $T=86400\,\mathrm s$ নিয়ে $r=(gR^2T^2/4\pi^2)^{1/3}$। তাই পৃষ্ঠের উপর উচ্চতা $h=r-R\approx3.5940\times10^7\,\mathrm m=35940\,\mathrm{km}$।

বর্তমান $700\,\mathrm{km}$ থেকে উচ্চতা প্রায় $35240\,\mathrm{km}$ বাড়াতে হবে। এর পাশাপাশি উপগ্রহকে বিষুবীয় বৃত্তাকার কক্ষপথে পৃথিবীর ঘূর্ণনের একই দিকে স্থাপন করে ঐ ব্যাসার্ধের উপযুক্ত কক্ষীয় বেগ দিতে হবে। শুধু উচ্চতা বাড়ালেই স্বয়ংক্রিয়ভাবে ভূস্থির হয় না।

উত্তর স্থিতিস্থাপক সীমার মধ্যেও কোনো বস্তুতে বা তারে অনেকক্ষণ যাবত পীড়নের হ্রাস-বৃদ্ধি করলে বস্তুর স্থিতিস্থাপক ধর্মের অবনতি ঘটে। তখন অসহ ভার অপেক্ষা কম ভারে বস্তুটি বা তারটি ছিঁড়ে যেতে পারে। বস্তু বা তারের এ অবস্থাকে স্থিতিস্থাপক ক্লান্তি বলে।

উত্তর

কাঠিন্যের গুণাঙ্ক বা শিয়ার গুণাঙ্ক $G_s=$ শিয়ার পীড়ন/শিয়ার বিকৃতি। লোহার জন্য $G_s=7.7\times10^{10}\,\mathrm{N\,m^{-2}}$ মানে স্থিতিস্থাপক সীমায় শিয়ার পীড়ন শিয়ার বিকৃতির $7.7\times10^{10}$ গুণ।

একক শিয়ার বিকৃতির সঙ্গে আনুষ্ঠানিকভাবে সংশ্লিষ্ট শিয়ার পীড়ন $7.7\times10^{10}\,\mathrm{Pa}$; এটি দৈর্ঘ্য বরাবর টান দিয়ে দৈর্ঘ্য দ্বিগুণ করার ইয়ং গুণাঙ্কের ব্যাখ্যা নয়।

উত্তর

এখানে,

B তারের আদি দৈর্ঘ্য, $\mathrm{L}=2 \mathrm{~m}$ দৈর্ঘ্য বৃদ্ধি, $l=5 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

আদি ব্যাসার্ধ, $\mathrm{r}=5.6 \times 10^{-3} \mathrm{~m}$

ব্যাসার্ধের হ্রাস, $\Delta \mathrm{r}=7 \times 10^{-6} \mathrm{~m}$

পয়সনের অনুপাত, $\sigma=$ ?

আমরা জানি,

$\sigma =\frac{\Delta \mathrm{rL}}{\mathrm{rl}} $

$=\frac{\left(7 \times 10^{-6}\right) \times 2}{5.6 \times 10^{-3} \times 5 \times 10^{-3}}$

$=0.5$

উত্তর

স্থিতিস্থাপক শক্তি $W=YA(\Delta L)^2/(2L)$ থেকে $Y=2WL/[\pi r^2(\Delta L)^2]$। তাই $Y_A=7.61\times10^{10}\,\mathrm{Pa}$ এবং $Y_B=4.87\times10^{10}\,\mathrm{Pa}$; অনুপাত $Y_A/Y_B=(5/4)^2=1.5625$।

সমান মাত্রা ও একই টানে A-তে বিকৃতি কম হবে; তাই শুধু দৃঢ়তা বা বিকৃতি-নিয়ন্ত্রণের বিচারে A সুবিধাজনক। ভবনের প্রকৃত নিরাপত্তা নির্ধারণে ভাঙন-পীড়ন, নমনীয়তা, স্থায়িত্ব ও অন্যান্য প্রকৌশল বৈশিষ্ট্যও প্রয়োজন।

উত্তর যখন কোনো রাশি বা ফাংশনের পুনরাবৃত্তি স্থানের সাপেক্ষে হয়, তখন তাকে স্থানিক পর্যায়বৃত্তি বলে।

উত্তর গ্রীষ্মকালে তাপমাত্রার বৃদ্ধি ঘটে বলে দোলকঘড়ির কার্যকর দৈর্ঘ্য বেড়ে যায়। তাই দোলকঘড়ির দোলনকালও বৃদ্ধি পায় এবং দোলনকাল বৃদ্ধির কারণেই গ্রীষ্মকালে দোলক ঘড়ি ধীরে চলে। সরল দোলকের দোলনকালের সমীকরণ, $T=2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}$ অনুসারে $T$ এর মান বৃদ্ধি পেলে L এর মান বৃদ্ধি পাবে। নির্দিষ্ট স্থানে অভিকর্ষণ ত্বরণ (g) নির্দিষ্ট। তাই গ্রীষ্মকালে দোলক ঘড়িতে সঠিক সময় প্রদর্শনের জন্য এর কার্যকরী দৈর্ঘ্য কমাতে হয়।

উত্তর

$x=8\sin(\pi t+\pi/4)$ থেকে $a=d^2x/dt^2=-8\pi^2\sin(\pi t+\pi/4)$। $t=3\,\mathrm s$-এ $\sin(13\pi/4)=-1/\sqrt2$, তাই $a=4\sqrt2\pi^2\approx+55.83$ দৈর্ঘ্য-একক প্রতি সেকেন্ড বর্গ।

$x$ মিটারে দেওয়া হলে উত্তর $+55.83\,\mathrm{m\,s^{-2}}$; সেন্টিমিটারে হলে $+55.83\,\mathrm{cm\,s^{-2}}$। উদ্দীপকে সরণের একক স্পষ্ট করা হয়নি।

উত্তর

সমীকরণে $\omega=\pi\,\mathrm{s^{-1}}$, তাই পৃষ্ঠে $T=2\pi/\omega=2\,\mathrm s$। পৃথিবীকে সুষম ঘনত্বের গোলক ধরে এবং অন্য পরিবর্তন উপেক্ষা করলে গভীরতা $d$-তে $g_d=g(1-d/R)$।

একই কার্যকর দৈর্ঘ্য ও ক্ষুদ্র দোলনের জন্য $T_d=T\sqrt{g/g_d}=2/\sqrt{1-75/(6.4\times10^6)}=2.00001172\,\mathrm s$। বৃদ্ধি প্রায় $1.172\times10^{-5}\,\mathrm s$; খুব ছোট হলেও শূন্য নয়।

উত্তর যে তাপমাত্রায় একটি নির্দিষ্ট আয়তনের বায়ু উপস্থিত জলীয় বাষ্প দ্বারা সম্পৃক্ত হয় তাকে ঐ বায়ুর শিশিরাঙ্ক বলে।

উত্তর বায়ুমণ্ডলের নিম্ন স্তরে বায়ুচাপ অনেক বেশি থাকায় (প্রায় latm বা $10^5 Nm^{-2}$ এর কাছাকাছি) বেলুনের অভ্যন্তরস্থ গ্যাস অল্প আয়তন দখল করে। কিন্তু বেলুন যতোই ওপরের দিকে উঠতে থাকে ততোই এর ওপর বায়ুমণ্ডলীয় চাপ কমতে থাকে, এতে বেলুনের তথা এর অভ্যন্তরস্থ গ্যাসের আয়তন ক্রমেই বাড়তে থাকে। এভাবে এক সময় নির্দিষ্ট উচ্চতায় গ্যাসের আয়তন এতই বেশি হতে চায় যে, তখন বেলুনের রাবার অভ্যন্তরস্থ অতিরিক্ত চাপ সহ্য করতে না পেরে ফেটে যায় অর্থাৎ, অক্ষত থাকে না।

উত্তর

এখানে,

চট্টগ্রামে শুষ্ক বাল্প থার্মোমিটার পাঠ, $\theta_1=31.5^{\circ} \mathrm{C}$

চট্টগ্রামে আর্দ্র বাল্ব থার্মোমিটার পাঠ, $\theta_2=21^{\circ} \mathrm{C}$

গ্লেইসারের ধ্রুবক, G=1.62

শিশিরাংক, $\theta=$ ?

আমরা জানি,

$\theta=\theta_1-\mathrm{G}\left(\theta_1-\theta_2\right) $

$=31.5^{\circ}-1.62\left(31.5^{\circ}-21^{\circ}\right) $

$ =31.5^{\circ}-17.01^{\circ}$

$=14.49^{\circ} \mathrm{C} \text { (Ans.) }$

উত্তর

এখানে,

কক্সবাজারের ক্ষেত্রে,

শুষ্ক বাল্ব থার্মোমিটারের পাঠ, $\theta_1=28.5^{\circ} \mathrm{C}$

আর্দ্র বাল্ব থার্মোমিটারের পাঠ, $\theta_2=19^{\circ} \mathrm{C}$

গ্লেইসারের ধ্রুবক, $\mathrm{G}=1.66$

‘গ’ হতে পাই, চট্টগ্রামের শিশিরাংক, $\theta=14.49^{\circ} \mathrm{C}$

কক্সবাজারের শিশিরাঙ্ক $\theta^{\prime}$ হলে,

$ \theta^{\prime}=\theta_1-\mathrm{G}\left(\theta_1-\theta_2\right)$

$ =28.5^{\circ}-1.66 \times\left(28.5^{\circ}-19^{\circ}\right)$

$=12.73^{\circ} \mathrm{C}$

এখানে, $30^{\circ} \mathrm{C}$ ও $32^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত জলীয় বাষ্প চাপ যথাক্রমে 31.83 mm ও 35.66 mm পারদ চাপ।

তাপমাত্রার পার্থক্য (32-30) বা, $2^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে = $35.66-31.83=3.83 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

তাপমাত্রার পার্থক্য ( $31.5^{\circ}-30$ ) বা, $1.5^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে = $\frac{3.83 \times 1.5}{2}=2.8725 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

সুতরাং, $31.5^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত জলীয় বাষ্প চাপ, $\mathrm{F}_1=31.83+2.8725=34.7025 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

তাপমাত্রার পার্থক্য (16-14) বা $2^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে $(13.63-11.99)=1.64 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

তাপমাত্রার পার্থক্য (14.49-14) বা $0.49^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে $=\frac{1.64 \times 0.49}{2}=0.4018 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

সুতরাং, $14.49^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রার সম্পৃক্ত জলীয় বাষ্পচাপ, $\mathrm{f}_1=11.99+ 0.4018=12.3918 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

সুতরাং চট্টগ্রামের আপেক্ষিক আর্দ্রতা,

$\mathrm{R}_1 =\frac{\mathrm{f}_1}{\mathrm{~F}_1} \times 100 \% $

$ =\frac{12.3918}{34.7025} \times 100 \% $

$ =35.71 \%$

আবার,

তাপমাত্রার পার্থক্য (30-28) বা $2^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে ( 31.83 $-28.35) \mathrm{mm}=3.48 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ ।

তাপমাত্রার পার্থক্য (28.5-28) বা $0.5^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে =

$\frac{3.48 \times 0.5}{2}=0.87 \mathrm{~mm}$

সুতরাং,

$28.5^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রার সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ, $\mathrm{F}_2=28.35+0.87=$ 29.22 mm

আবার,

তাপমাত্রার পার্থক্য (14-12) বা $2^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে (11.99 -10.52 ) $=1.47 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

তাপমাত্রার পার্থক্য (12.73-12) বা $0.73^{\circ} \mathrm{C}$ হলে চাপের পার্থক্য হবে $=\frac{1.47 \times 0.73}{2}=0.53655 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

সুতরাং, $12.73^{\circ} \mathrm{C}$ তাপমাত্রায় সম্পৃক্ত বাষ্পচাপ, $\mathrm{f}_2=10.52+0.53655 =11.05655 \mathrm{~mm}$ পারদ চাপ।

সুতরাং,

কক্সবাজারের আপেক্ষিক আর্দ্রতা, $\mathrm{R}_2=\frac{\mathrm{f}_2}{\mathrm{~F}_2} \times 100 \%= \frac{11.05655}{29.22} \times 100 \%=37.84 \%$

এখানে,

$\mathrm{R}_1<\mathrm{R}_2$ অর্থাৎ, চট্টগ্রামের আপেক্ষিক আর্দ্রতা কক্সবাজারের আপেক্ষিক আদ্রর্তার চেয়ে কম।

কক্সবাজারের আপেক্ষিক আর্দ্রতা আদর্শ মানের বেশি কাছাকাছি (40% – 50%)। তাই কক্সবাজারে বেশি আরামবোধ হবে।