সমান চূড়ান্ত কৌণিক বেগ হলেই কৌণিক ত্বরণ সমান হয় না। কত সময়ে এই বেগ অর্জিত হয়েছে বা ত্বরণ কীভাবে পরিবর্তিত হয়েছে তা না জানলে প্রযুক্ত টর্ক সমান কি না নিশ্চিতভাবে বলা যায় না।

একই সময় ধরে সমান কৌণিক ত্বরণে ঘোরানো হলে $\tau=I\alpha$। সমভর ও সম বাইরের ব্যাসার্ধের নিরেট কয়েনের $I=MR^2/2$, আর মাঝখানে ছিদ্রযুক্ত সিডির $I=M(R^2+r^2)/2$। এই অতিরিক্ত শর্তে $I_{CD}>I_{coin}$ হওয়ায় $\tau_{CD}>\tau_{coin}$ হবে।

উদ্দীপক হতে,

বলটির ভর, $m = 180 \text{ gm} = 0.18 \text{ kg}$

আদি আনুভূমিক বেগ, $v_{x0} = 65 \text{ m/s}$

আদি উল্লম্ব বেগ, $v_{y0} = 0 \text{ m/s}$ (যেহেতু আনুভূমিকভাবে নিক্ষেপ করা হয়েছে)

সময়, $t = 0.7 \text{ s}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m/s}^2$

আমরা জানি,

$0.7 \text{ s}$ পর বলটির আনুভূমিক বেগ, $v_x = v_{x0} = 65 \text{ m/s}$

$0.7 \text{ s}$ পর বলটির উল্লম্ব বেগ, $v_y = v_{y0} + gt = 0 + (9.8 \times 0.7) = 6.86 \text{ m/s}$

$0.7 \text{ s}$ পর বলটির লব্ধি বেগ,

$v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$

$= \sqrt{(65)^2 + (6.86)^2}$

$= \sqrt{4225 + 47.06}$

$= 65.36 \text{ m/s}$

অতএব, $0.7 \text{ s}$ পর বলটির ভরবেগ,

$P = mv$

$= 0.18 \times 65.36$

$= 11.76 \text{ kg m/s}$

অতএব, $0.7 \text{ sec}$ পর টেনিস বলটির ভরবেগের মান $11.76 \text{ kg m s}^{-1}$।

উদ্দীপক হতে,

দালানের উচ্চতা, $h = 20 \text{ m}$

অভিকর্ষজ ত্বরণ, $g = 9.8 \text{ m/s}^2$

দালানের পাদদেশ হতে পুকুরের শুরুর দূরত্ব, $x_1 = 25 \text{ m}$

পুকুরের প্রস্থ = $14 \text{ m}$

দালানের পাদদেশ হতে পুকুরের শেষ প্রান্তের দূরত্ব, $x_2 = 25 + 14 = 39 \text{ m}$

ধরি, আনুভূমিকভাবে নিক্ষিপ্ত বলটি ভূমিতে পৌঁছাতে $t$ সময় নেয়।

আমরা জানি, $h = \frac{1}{2}gt^2$

বা, $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$

$= \sqrt{\frac{2 \times 20}{9.8}}$

$= \sqrt{4.08}$

$= 2.02 \text{ s}$

বলটি পুকুরে পড়তে হলে এর আনুভূমিক পাল্লা ($x$) অবশ্যই $25 \text{ m}$ থেকে $39 \text{ m}$ এর মধ্যে হতে হবে। অর্থাৎ, $25 \le x \le 39$ হতে হবে।

আমরা জানি, আনুভূমিক পাল্লা, $x = vt$

পুকুরের শুরুতে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় ন্যূনতম বেগ,

$v_{min} = \frac{x_1}{t} = \frac{25}{2.02} = 12.38 \text{ m/s}$

পুকুরের শেষ প্রান্তে পৌঁছাতে প্রয়োজনীয় সর্বোচ্চ বেগ,

$v_{max} = \frac{x_2}{t} = \frac{39}{2.02} = 19.31 \text{ m/s}$

মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায়, নিক্ষেপণ বেগের মান $12.38 \text{ m/s}$ থেকে $19.31 \text{ m/s}$ এর মধ্যে (অর্থাৎ $12.38 \text{ m/s} \le v \le 19.31 \text{ m/s}$ সীমার মাঝে) রাখলে উদ্দীপকের টেনিস বলটি পুকুরে পড়বে।

আমরা জানি, কোনো দৃঢ় বস্তু যখন একটি নির্দিষ্ট অক্ষের সাপেক্ষে ঘোরে, তখন বস্তুর প্রতিটি কণা সমান সময়ে সমান কোণ অতিক্রম করে। তাই তাদের কৌণিক বেগ ($\omega$) একই থাকে।

কিন্তু রৈখিক বেগ, $v = \omega r$; যেখানে $r$ হলো ঘূর্ণন অক্ষ হতে কণার লম্ব দূরত্ব। যেহেতু কণাগুলো ভিন্ন ভিন্ন দূরত্বে অবস্থিত (অর্থাৎ $r$ এর মান ভিন্ন), তাই সমান কৌণিক বেগ থাকা সত্ত্বেও ব্যাসার্ধ বা দূরত্বের পরিবর্তনের কারণে তাদের রৈখিক বেগ ভিন্ন হয়।

উদ্দীপকের চিত্র হতে,

নিরেট সিলিন্ডারের ভর, $m = 2~\mathrm{kg}$

সিলিন্ডারের দৈর্ঘ্য, $L = 160~\mathrm{cm} = 1.6~\mathrm{m}$

সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $r = 20~\mathrm{cm} = 0.2~\mathrm{m}$

ভারকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষ $AB$ হতে সমান্তরাল অক্ষ $CD$ এর লম্ব দূরত্ব, $h = 60~\mathrm{cm} = 0.6~\mathrm{m}$

আমরা জানি, নিরেট সিলিন্ডারের ভারকেন্দ্রগামী লম্ব অক্ষ $AB$ এর সাপেক্ষে জড়তার ভ্রামক,

$I_{AB} = m\left(\frac{L^2}{12} + \frac{r^2}{4}\right)$

$= 2 \times \left(\frac{(1.6)^2}{12} + \frac{(0.2)^2}{4}\right)$

$= 2 \times \left(\frac{2.56}{12} + \frac{0.04}{4}\right)$

$= 2 \times (0.2133 + 0.01)$

$= 2 \times 0.2233$

$= 0.4466~\mathrm{kg~m^2}$

এখন সমান্তরাল অক্ষ উপপাদ্য হতে পাই, $CD$ অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক,

$I_{CD} = I_{AB} + mh^2$

$= 0.4466 + 2 \times (0.6)^2$

$= 0.4466 + 2 \times 0.36$

$= 0.4466 + 0.72$

$= 1.1666~\mathrm{kg~m^2}$

অতএব, $CD$ অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক $1.1666~\mathrm{kg~m^2}$।

উদ্দীপক হতে,

সিলিন্ডারের ঘূর্ণনের ক্ষেত্রে কৌণিক বেগ, $\omega_1 = \frac{2\pi N}{t} = \frac{2 \pi \times 120}{60} = 4\pi~\mathrm{rad~s^{-1}}$

'গ' হতে প্রাপ্ত, $CD$ অক্ষের সাপেক্ষে সিলিন্ডারের জড়তার ভ্রামক, $I_1 = 1.1666~\mathrm{kg~m^2}$

অতএব, সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি,

$E_1 = \frac{1}{2} I_1 \omega_1^2$

$= \frac{1}{2} \times 1.1666 \times (4\pi)^2$

$= \frac{1}{2} \times 1.1666 \times 157.91$

$= 92.11~\mathrm{J}$

আবার,

চাকতির ভর, $m = 2~\mathrm{kg}$

চাকতির ব্যাসার্ধ, $R = 30~\mathrm{cm} = 0.3~\mathrm{m}$

ভরকেন্দ্রগামী অক্ষের সাপেক্ষে চাকতির জড়তার ভ্রামক, $I_2 = \frac{1}{2} mR^2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (0.3)^2 = 0.09~\mathrm{kg~m^2}$

যেহেতু চাকতিটিকে একইভাবে ঘুরানো হয়েছে, তাই চাকতির কৌণিক বেগ, $\omega_2 = \omega_1 = 4\pi~\mathrm{rad~s^{-1}}$

অতএব, চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তি,

$E_2 = \frac{1}{2} I_2 \omega_2^2$

$= \frac{1}{2} \times 0.09 \times (4\pi)^2$

$= \frac{1}{2} \times 0.09 \times 157.91$

$= 7.11~\mathrm{J}$

এখন, গতিশক্তিদ্বয়ের অনুপাত,

$\frac{E_1}{E_2} = \frac{92.11}{7.11}$

বা, $\frac{E_1}{E_2} = 12.96$

বা, $E_1 = 12.96 E_2$

মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যাচ্ছে, সিলিন্ডারের ঘূর্ণন গতিশক্তি চাকতির ঘূর্ণন গতিশক্তির $12.96$ গুণ, যা ৫ গুণের চেয়ে অনেক বেশি। সুতরাং, উদ্দীপকে প্রদত্ত উক্তিটি সম্পূর্ণ সত্য।

পৃথিবীকে সুষম ঘনত্বের গোলক ধরে এবং ঘূর্ণনের প্রভাব উপেক্ষা করে গভীরতার সূত্র নির্ণয় করা হয়। পৃষ্ঠ হতে $h$ গভীরে কেন্দ্র থেকে দূরত্ব $r=R-h$। বহিঃস্থ গোলীয় স্তরগুলোর মহাকর্ষীয় লব্ধি বল শূন্য; কেবল $r$ ব্যাসার্ধের ভিতরের ভর কার্যকর।

তাই $g_h=G(4\pi\rho r^3/3)/r^2=4\pi G\rho(R-h)/3=g(1-h/R)$। এই আদর্শ মডেলে গভীরতা বাড়লে $g$ কমে এবং কেন্দ্রে শূন্য হয়। বাস্তব পৃথিবীর ঘনত্ব সুষম নয়; সূত্রটি সেই সরলীকৃত মডেলের ফল।

উদ্দীপক হতে,

বস্তুর ভর, $m = 2500~\mathrm{kg}$

পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24}~\mathrm{kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6~\mathrm{m}$

উচ্চতা, $h = 4 \times 10^4~\mathrm{km} = 4 \times 10^7~\mathrm{m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}~\mathrm{N~m^2~kg^{-2}}$ (জানা মান)

আমরা জানি, ভূ-পৃষ্ঠ হতে $h$ উচ্চতায় কোনো বস্তুকে নিতে মহাকর্ষ বলের বিরুদ্ধে কৃতকাজ,

$W = \frac{GMmh}{R(R+h)}$

$= \frac{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} \times 2500 \times 4 \times 10^7}{6.4 \times 10^6 \times (6.4 \times 10^6 + 4 \times 10^7)}$

$= \frac{4.002 \times 10^{28}}{6.4 \times 10^6 \times 46.4 \times 10^6}$

$= \frac{4.002 \times 10^{28}}{296.96 \times 10^{12}}$

$= 1.3476 \times 10^{11}~\mathrm{J}$

অতএব, উপগ্রহটিকে উল্লিখিত উচ্চতায় নিতে কৃতকাজের পরিমাণ $1.3476 \times 10^{11}~\mathrm{J}$।

উদ্দীপক হতে,

পৃথিবীর ভর, $M = 6 \times 10^{24}~\mathrm{kg}$

পৃথিবীর ব্যাসার্ধ, $R = 6.4 \times 10^6~\mathrm{m}$

উপগ্রহের উচ্চতা, $h = 4 \times 10^7~\mathrm{m}$

মহাকর্ষীয় ধ্রুবক, $G = 6.67 \times 10^{-11}~\mathrm{N~m^2~kg^{-2}}$

আমরা জানি, কোনো কৃত্রিম উপগ্রহকে ভূ-পৃষ্ঠ হতে স্থির মনে হবে (অর্থাৎ ভূ-স্থির উপগ্রহ হবে) যদি তার আবর্তনকাল পৃথিবীর নিজ অক্ষের সাপেক্ষে আবর্তনকালের সমান হয়। পৃথিবীর আবর্তনকাল, $T_E \approx 24~\mathrm{h} = 86400~\mathrm{s}$।

উপগ্রহটির আবর্তনকাল $T$ হলে,

$T = 2\pi \sqrt{\frac{(R+h)^3}{GM}}$

$= 2 \times 3.1416 \times \sqrt{\frac{(6.4 \times 10^6 + 4 \times 10^7)^3}{6.67 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}}$

$= 6.2832 \times \sqrt{\frac{(46.4 \times 10^6)^3}{40.02 \times 10^{13}}}$

$= 6.2832 \times \sqrt{\frac{9.9897 \times 10^{22}}{40.02 \times 10^{13}}}$

$= 6.2832 \times \sqrt{2.496 \times 10^8}$

$= 6.2832 \times 15798.7$

$= 99266.38~\mathrm{s}$

ঘণ্টায় প্রকাশ করলে, $T = \frac{99266.38}{3600}~\mathrm{h} = 27.57~\mathrm{h}$

মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায়, কৃত্রিম উপগ্রহটির আবর্তনকাল $27.57~\mathrm{h}$, যা পৃথিবীর আবর্তনকালের ($24~\mathrm{h}$) সমান নয়। সুতরাং, ভূ-পৃষ্ঠ হতে কৃত্রিম উপগ্রহটিকে স্থির বলে মনে হবে না।

তরলের অভ্যন্তরে থাকা অবস্থায় একটি অণুর প্রভাব গোলক সম্পূর্ণভাবে তরল দ্বারা পূর্ণ থাকে। ফলে চারদিকের অণুগুলো একে সমান বলে আকর্ষণ করে এবং অণুটির উপর ক্রিয়াশীল লব্ধি বল শূন্য হয়।

কিন্তু প্রভাব গোলকের অর্ধাংশ যখন তরলের অভ্যন্তর হতে বাতাসে চলে আসে (অর্থাৎ অণুটি তরলের মুক্ত পৃষ্ঠে অবস্থান করে), তখন গোলকের উপরের অর্ধাংশে বাতাসের অণু এবং নিচের অর্ধাংশে তরলের অণু থাকে। বাতাসের অণুগুলোর আকর্ষণ বল (আসঞ্জন বল) তরলের অণুগুলোর আকর্ষণ বলের (সংশক্তি বল) তুলনায় নগণ্য হওয়ায়, নিচের দিকের তরলের অণুগুলো অণুটিকে প্রবলভাবে ভেতরের দিকে আকর্ষণ করে। ফলে অণুটির উপর তরলের অভ্যন্তরমুখী একটি লব্ধি বল ক্রিয়া করে।

আয়তন সংরক্ষণে $R^3=2r^3$, তাই $R=2^{1/3}r=6.2996\times10^{-6}\,\mathrm m$।

আদি ও শেষ পৃষ্ঠশক্তির পার্থক্য $\Delta U=T\,4\pi(R^2-2r^2)=0.074\times4\pi[(6.2996\times10^{-6})^2-2(5\times10^{-6})^2]=-9.59\times10^{-12}\,\mathrm J$।

অতএব মিলনের সময় $9.59\times10^{-12}\,\mathrm J$ শক্তি মুক্ত হয়। আদর্শ ধীর প্রক্রিয়ায় বাহ্যিক বলের কৃতকাজ $-9.59\times10^{-12}\,\mathrm J$; মুক্ত শক্তি বা পৃষ্ঠটানের কৃতকাজের মান ধনাত্মক।

মিলনের ঠিক আগে ফোঁটা দুটির বেগ বা তারা প্রান্তিক বেগে পড়ছিল কি না উদ্দীপকে বলা নেই। তাই ভরবেগের একটি নির্দিষ্ট সংখ্যাগত পরিবর্তন সরাসরি নির্ণয় করা যায় না। মিলনের ক্ষুদ্র সময়ে বাহ্যিক ঘাত উপেক্ষা করলে সম্মিলিত ফোঁটার তাৎক্ষণিক ভরবেগ আগের দুই ফোঁটার মোট ভরবেগের সমান থাকে।

যদি অতিরিক্তভাবে ধরা হয় যে মিলনের আগে ও যথেষ্ট সময় পরে উভয় অবস্থাতেই ফোঁটাগুলো নিজ নিজ প্রান্তিক বেগে নিচে পড়ছে, তবে স্টোকসের সূত্রে $v_t=2r^2(\rho-\rho_{air})g/(9\eta)$। $R=2^{1/3}r$ হওয়ায় $v_{t,large}/v_{t,small}=2^{2/3}$। পানির ঘনত্ব $1000\,\mathrm{kg\,m^{-3}}$, $g=9.8\,\mathrm{m\,s^{-2}}$ এবং বাতাসের ঘনত্ব নগণ্য ধরলে $v_{t,small}=2.959\times10^{-3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ ও $v_{t,large}=4.697\times10^{-3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}$।

এই শর্তে $P_i=3.098\times10^{-15}$ ও $P_f=4.918\times10^{-15}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$; পার্থক্য $1.82\times10^{-15}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ নিচের দিকে। এটি পরবর্তী প্রান্তিক অবস্থার তুলনা, মিলনের মুহূর্তে ভরবেগ সংরক্ষণের ব্যতিক্রম নয়।

উদ্দীপক হতে,

কণার ভর, $m = 150 \text{ gm} = 0.15 \text{ kg}$

বিস্তার, $A = 11 \text{ cm} = 0.11 \text{ m}$

সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি, $E_{k(\max)} = 0.01 \text{ J}$

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দনে সাম্যাবস্থায় কণার বেগ সর্বোচ্চ হয়, ফলে গতিশক্তিও সর্বোচ্চ হয়।

সর্বোচ্চ গতিশক্তি, $E_{k(\max)} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^2$

বা, $0.01 = \frac{1}{2} \times 0.15 \times \omega^2 \times (0.11)^2$

বা, $0.01 = 0.075 \times 0.0121 \times \omega^2$

বা, $0.01 = 0.0009075 \times \omega^2$

বা, $\omega^2 = \frac{0.01}{0.0009075}$

বা, $\omega^2 = 11.02 \text{ rad}^2\text{s}^{-2}$ (প্রায়)

আমরা জানি, সরল ছন্দিত স্পন্দনের ব্যবকলনীয় সমীকরণ,

$\frac{d^2x}{dt^2} + \omega^2 x = 0$

$\omega^2$ এর মান বসিয়ে পাই,

$\frac{d^2x}{dt^2} + 11.02 x = 0$

অতএব, নির্ণেয় ব্যবকলনীয় সমীকরণটি হলো $\frac{d^2x}{dt^2} + 11.02 x = 0$।

উদ্দীপক হতে,

বিস্তার, $A = 11 \text{ cm} = 0.11 \text{ m}$

নির্ণেয় সরণ, $x = 5 \text{ cm} = 0.05 \text{ m}$

সাম্যাবস্থায় গতিশক্তি (অর্থাৎ মোট শক্তি), $E = 0.01 \text{ J}$

আমরা জানি, বল ধ্রুবক $k$ হলে, মোট শক্তি $E = \frac{1}{2} k A^2$

বা, $0.01 = \frac{1}{2} \times k \times (0.11)^2$

বা, $k = \frac{2 \times 0.01}{0.0121}$

বা, $k = 1.653 \text{ N m}^{-1}$

এখন, সাম্যাবস্থা হতে $x = 0.05 \text{ m}$ দূরত্বে,

বিভবশক্তি, $E_p = \frac{1}{2} k x^2$

$= \frac{1}{2} \times 1.653 \times (0.05)^2$

$= 0.002066 \text{ J}$

গতিশক্তি, $E_k = \frac{1}{2} k (A^2 - x^2)$

$= \frac{1}{2} \times 1.653 \times (0.11^2 - 0.05^2)$

$= \frac{1}{2} \times 1.653 \times 0.0096$

$= 0.007934 \text{ J}$

এখানে গাণিতিক বিশ্লেষণ থেকে দেখা যাচ্ছে, $E_k = 0.007934 \text{ J}$ এবং $E_p = 0.002066 \text{ J}$।

মতামত: যেহেতু $E_k \neq E_p$, তাই বলা যায় সাম্যাবস্থা হতে $5 \text{ cm}$ দূরত্বে কণাটির গতিশক্তি ও বিভবশক্তি সমান নয়। (গতিশক্তি বিভবশক্তির চেয়ে বেশি)।

চিত্রে সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ $r=5\,\mathrm{cm}=0.05\,\mathrm m$ এবং দৈর্ঘ্য $L=15\,\mathrm{cm}=0.15\,\mathrm m$। তাই $V=\pi r^2L=1.1781\times10^{-3}\,\mathrm{m^3}$ এবং সংখ্যাঘনত্ব $n=N/V=8.4883\times10^6\,\mathrm{m^{-3}}$।

অন্য অণুগুলো স্থির রেখে কেবল একটি অণুকে গতিশীল ধরলে, অণুর সংঘর্ষ-ব্যাস $d$ এর জন্য $\lambda=1/(\pi d^2n)=V/(\pi d^2N)=3.75\times10^{-8}/d^2$ মিটার, যেখানে $d$ মিটারে বসাতে হবে। উদ্দীপকে $d$ দেওয়া নেই; তাই নির্দিষ্ট সংখ্যামান পাওয়া যায় না। সব অণুর আপেক্ষিক গতিসহ প্রচলিত সূত্রে অতিরিক্ত $\sqrt2$ থাকে; প্রশ্নের বিশেষ শর্তে সেটি নেই।

নির্দিষ্ট গ্যাসের জন্য $v_{\mathrm{rms}}=\sqrt{3RT/M}$, তাই বেগ দ্বিগুণ হওয়ার প্রয়োজনীয় শর্ত $T_2=4T_1$। এখানে $T_1=285.15\,\mathrm K$, ফলে প্রয়োজন $T_2=1140.6\,\mathrm K$।

দৈর্ঘ্য এক-তৃতীয়াংশ কমলে $V_2=2V_1/3$ হয়। কিন্তু সংকোচনের সময় তাপের আদান-প্রদান বা চাপের পরিবর্তন বলা নেই; ফলে শুধু আয়তন থেকে $T_2$ এবং বেগ নির্ণয় করা যায় না। সমতাপীয় সংকোচন হলে $T_2=T_1$ এবং বেগ অপরিবর্তিত থাকে। অতএব প্রদত্ত তথ্য দিয়ে বেগ দ্বিগুণ হবে বলে নিশ্চিত সিদ্ধান্ত দেওয়া যায় না।

দুটি ভেক্টর একই রেখা বরাবর বা সমান্তরালভাবে ক্রিয়া করলে তাদেরকে সমরৈখিক ভেক্টর বলে। এখানে, প্রথম ভেক্টরটির মান $10$ এবং দ্বিতীয় ভেক্টরটির মান $0.1$ বা $\frac{1}{10}$। যেহেতু ভেক্টর দুটির মান একটি অপরটির গুণাত্মক বিপরীত, তাই এরা পরস্পর বিপ্রতীপ ভেক্টর।

আবার, উভয় ভেক্টরের সাথেই একক ভেক্টর $\hat{j}$ রয়েছে, অর্থাৎ এদের উভয়ের দিকই ধনাত্মক $\text{Y}-$অক্ষ বরাবর। যেহেতু ভেক্টর দুটির দিক একই এবং এরা একই রেখা বরাবর ক্রিয়াশীল, তাই এরা বিপ্রতীপ হওয়া সত্ত্বেও সমরৈখিক ভেক্টর।

প্রদত্ত চিত্রের তথ্য পরস্পর সঙ্গত নয়। $\vec F_1=260\hat i+190\hat j$ হলে $OA$-কে $x$ অক্ষ ধরে বলটির কোণ $\tan^{-1}(190/260)\approx36.16^\circ$, কিন্তু চিত্রে $25^\circ$ লেখা। আবার $\vec F_2$-এর $j$ উপাংশ ধনাত্মক লেখা হলেও তীরটি $OA$-এর নিচে আঁকা। তাই সব প্রদত্ত তথ্য একসঙ্গে মেনে $\theta_2$-এর একক মান নির্ণয় করা যায় না।

যদি ভেক্টর-লিখনের দিক বাদ দিয়ে কেবল মান $F_1=322.02\,\mathrm N$, $F_2=241.87\,\mathrm N$ গ্রহণ করা হয় এবং তীরদুটি $OA$-এর বিপরীত পাশে ধরা হয়, তবে $F_1\sin25^\circ=F_2\sin\theta_2$, অর্থাৎ $\theta_2\approx34.24^\circ$। এটি শর্তসাপেক্ষ ব্যাখ্যা; অসঙ্গত ভেক্টর-তথ্যের নিশ্চিত সমাধান নয়।

স্থির অবস্থা থেকে সমত্বরণে $10\,\mathrm s$ সময়ে $5\,\mathrm{km}$ যেতে প্রয়োজন $a=2s/t^2=100\,\mathrm{m\,s^{-2}}$। $5\,\mathrm{kg}$ ভরের জন্য সেই দিকে লব্ধি বল প্রয়োজন $ma=500\,\mathrm N$।

কিন্তু চিত্রের বলের উপাংশ, তীরের দিক ও $25^\circ$ কোণ পরস্পর অসঙ্গত। আরও, রাস্তার তলের কোন সমতলে বলদুটি ক্রিয়া করছে তা স্পষ্ট না করে অভিলম্ব প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করা যায় না। তাই সরবরাহকৃত তথ্য থেকে ঘর্ষণসহ প্রকৃত লব্ধি বল $500\,\mathrm N$ হবে কি না এবং বস্তুটি নির্দিষ্ট দূরত্ব যাবে কি না নিশ্চিতভাবে বলা যায় না। বলের সঙ্গত দিক ও তলের সঙ্গে সম্পর্ক জানা প্রয়োজন।

এক প্রান্ত বন্ধ নলে আদর্শ অবস্থায় কেবল বিজোড় সমমেল থাকে, কিন্তু উভয় প্রান্ত খোলা নলে জোড় ও বিজোড় উভয় সমমেলই থাকতে পারে। তাই দুই ধরনের নলের সুরের গুণ বা স্বরবর্ণ আলাদা হয়।

দুই মুখ খোলা নলের অধিক সমমেল তার সুরকে তুলনামূলক সমৃদ্ধ করতে পারে। তবে কেবল সমমেলের সংখ্যা বেশি হলেই প্রতিটি ক্ষেত্রে সুর বেশি শ্রুতিমধুর হবে—এটি সর্বজনীন নিয়ম নয়; সমমেলগুলোর আপেক্ষিক তীব্রতাও গুরুত্বপূর্ণ।

উদ্দীপক হতে পাই, প্রথম সুরশলাকা থেকে নিঃসৃত তরঙ্গের সমীকরণ:

$y_1 = 0.1 \sin \frac{\pi}{25}(100 t - x)$

বা, $y_1 = 0.1 \sin \left(4\pi t - \frac{\pi}{25} x\right)$

তরঙ্গের প্রমিত সমীকরণ $y = A \sin (\omega t - kx)$ এর সাথে তুলনা করে পাই,

কৌণিক কম্পাঙ্ক, $\omega = 4\pi \text{ rad s}^{-1}$

তরঙ্গ সংখ্যা, $k = \frac{\pi}{25} \text{ m}^{-1}$

আমরা জানি, $\omega = 2\pi f_1$

বা, $4\pi = 2\pi f_1$

বা, $f_1 = 2 \text{ Hz}$

আবার, $k = \frac{2\pi}{\lambda}$

বা, $\frac{\pi}{25} = \frac{2\pi}{\lambda}$

বা, $\lambda = 50 \text{ m}$

ধরি, একমুখ খোলা নলের দৈর্ঘ্য = $L$

একমুখ খোলা নলে প্রথম উপসুর (First overtone) হলো ৩য় সমমেল। এর ক্ষেত্রে নলের দৈর্ঘ্য তরঙ্গের তরঙ্গদৈর্ঘ্যের তিন-চতুর্থাংশ হয়।

অর্থাৎ, $L = \frac{3\lambda}{4}$

$= \frac{3 \times 50}{4}$

$= \frac{150}{4}$

$= 37.5 \text{ m}$

অতএব, একমুখ খোলা নলের দৈর্ঘ্য $37.5 \text{ m}$।

(নোট: যেহেতু উদ্দীপকের সমীকরণে সরণ, সময় বা দূরত্বের কোনো নির্দিষ্ট এককের উল্লেখ নেই, তাই পদার্থবিজ্ঞানের প্রমিত নিয়ম অনুযায়ী আদর্শ SI একক (m, s) ধরে সমাধান করা হয়েছে।)

'গ' হতে প্রাপ্ত, প্রথম সুরশলাকার কম্পাঙ্ক, $f_1 = 2 \text{ Hz}$

উদ্দীপকে প্রদত্ত দ্বিতীয় সুরশলাকার সমীকরণ:

$y_2 = 0.1 \sin \pi\left(14 t - \frac{x}{7.143}\right)$

বা, $y_2 = 0.1 \sin \left(14\pi t - \frac{\pi}{7.143} x\right)$

প্রমিত সমীকরণের সাথে তুলনা করে পাই,

$\omega_2 = 14\pi$

বা, $2\pi f_2 = 14\pi$

বা, $f_2 = 7 \text{ Hz}$

সুরশলাকা দুটি একত্রে শব্দায়িত করলে প্রাথমিক বিট সংখ্যা,

$N = \vert\{\}f_2 - f_1\vert\{\} = \vert\{\}7 - 2\vert\{\} = 5$ টি/সেকেন্ড।

শর্তমতে, নতুন বিট সংখ্যা দ্বিগুণ হতে হবে। অর্থাৎ নতুন বিট সংখ্যা, $N' = 2 \times 5 = 10$ টি/সেকেন্ড।

যেহেতু দ্বিতীয় সুরশলাকাটিকে ঘষা হয়েছে, তাই এর ভর হ্রাস পাবে এবং কম্পাঙ্ক বৃদ্ধি পাবে।

ধরি, ঘষার পর দ্বিতীয় সুরশলাকার নতুন কম্পাঙ্ক $f_2'$।

যেহেতু কম্পাঙ্ক বৃদ্ধি পাবে, তাই অবশ্যই $f_2' > f_2$ অর্থাৎ $f_2' > 7 \text{ Hz}$ হবে।

আমরা জানি,

$N' = \vert\{\}f_2' - f_1\vert\{\}$

বা, $10 = f_2' - f_1$ [যেহেতু $f_2' > 7$ এবং $f_1 = 2$, তাই $f_2' > f_1$]

বা, $f_2' = 10 + f_1$

বা, $f_2' = 10 + 2 = 12 \text{ Hz}$

অতএব, দ্বিতীয় সুরশলাকার কম্পাঙ্কের পরিবর্তন = $f_2' - f_2 = 12 - 7 = 5 \text{ Hz}$।

মতামত: গাণিতিক বিশ্লেষণ হতে দেখা যায়, বিট সংখ্যা দ্বিগুণ করতে হলে দ্বিতীয় সুরশলাকাটিকে এমনভাবে ঘষতে হবে যেন এর কম্পাঙ্ক $5 \text{ Hz}$ বৃদ্ধি পেয়ে $12 \text{ Hz}$ হয়।