ধরি,

$F(x,y,z)=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$

x ও y অদলবদল করলে,

$F(y,x,z)=\frac{yxz}{yx+xz+zy}$

$=\frac{xyz}{xy+yz+zx}$

$=F(x,y,z)$

একইভাবে x, y, z-এর যেকোনো দুটি চলক অদলবদল করলেও রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে

অতএব $\frac{xyz}{xy+yz+zx}$ একটি প্রতিসম রাশি

প্রদত্ত বহুপদী,

$P(y)=ay⁵+by⁴+cy³+cy²+by+a$

এটি একটি reciprocal বহুপদী, কারণ

$y⁵P\left(\frac{1}{y}\right)=P(y)$

যেহেতু (y + h) একটি উৎপাদক,

P(−h) = 0

আবার a ≠ 0 হওয়ায় y, P(y)-এর উৎপাদক নয়

তাই h ≠ 0

reciprocal সম্পর্ক ব্যবহার করে পাই,

$P(-h)=(-h)⁵P\left(-\frac{1}{h}\right)$

P(−h) = 0 এবং h ≠ 0 হওয়ায়,

$P\left(-\frac{1}{h}\right)=0$

অতএব $\left(y+\frac{1}{h}\right)$ একটি উৎপাদক

ধ্রুবক h দ্বারা গুণ করলে সমতুল্য উৎপাদক hy + 1

সুতরাং (hy + 1) হলো P(y)-এর আরেকটি উৎপাদক

$Q(x)=\frac{x³}{x²-216}$

লবের ঘাত হরের ঘাতের চেয়ে বড়, তাই ভাগ করে পাই,

$Q(x)=x+\frac{216x}{x²-216}$

এখন,

216 = (6√6)²

তাই,

$x²-216=(x-6\sqrt{6})(x+6\sqrt{6})$

ধরি,

$\frac{216x}{(x-6\sqrt{6})(x+6\sqrt{6})}=\frac{A}{x-6\sqrt{6}}+\frac{B}{x+6\sqrt{6}}$

সহগ তুলনা করে পাই,

A = 108 এবং B = 108

অতএব,

$Q(x)=x+\frac{108}{x-6\sqrt{6}}+\frac{108}{x+6\sqrt{6}}$

দেওয়া আছে,

$\binom{n}{2}=6$

$\frac{n(n-1)}{2}=6$

n(n − 1) = 12

n² − n − 12 = 0

(n − 4)(n + 3) = 0

=> n = 4 অথবা n = −3

n-এর ধনাত্মক মান 4

$A=p-\frac{x}{3}$

তাই,

$A⁷=\left(p-\frac{x}{3}\right)^7$

বিস্তৃতিতে x-এর সহগ,

$\binom{7}{1}p⁶\left(-\frac{1}{3}\right)$

$=-\frac{7p⁶}{3}$

শর্তানুসারে,

$-\frac{7p⁶}{3}=-1701$

p⁶ = 729

p = 3 অথবা −3

x-মুক্ত পদ = p⁷

অতএব x-মুক্ত পদের মান 2187 অথবা −2187

শুধু p > 0 ধরা হলে মান 2187

ধারাটি,

$B^{-1}+B^{-2}+B^{-3}+\cdots$

যেখানে B = 8x − 1

এখানে প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত,

$a=r=\frac{1}{8x-1}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{8x-1}\right|<1$

$|8x-1|>1$

অতএব x > 1/4 অথবা x < 0

এখন,

$S_\infty=\frac{\frac{1}{8x-1}}{1-\frac{1}{8x-1}}$

$=\frac{1}{8x-2}$

$=\frac{1}{2(4x-1)}$

অতএব x > 1/4 অথবা x < 0 হলে অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{2(4x-1)}$

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য,

k > 0, k ≠ 1 এবং x > 0

দেওয়া আছে,

$\frac{\log_k(4x)}{\log_k(1+x)}=2$

তাই,

$\log_k(4x)=2\log_k(1+x)$

$=\log_k(1+x)²$

অতএব,

4x = (1 + x)²

x² − 2x + 1 = 0

(x − 1)² = 0

অতএব x = 1

ধরি,

$X=x\sqrt[3]{p}$

$Y=y\sqrt[3]{q}$

$Z=z\sqrt[3]{r}$

D = 0 হওয়ায়,

X + Y + Z = 0

পরিচিত সূত্র অনুযায়ী X + Y + Z = 0 হলে,

X³ + Y³ + Z³ = 3XYZ

তাই,

$px³+qy³+rz³=3xyz\sqrt[3]{pqr}$

আবার দেওয়া আছে,

r⁵ = pq

তাই,

pqr = r⁶

এবং,

$\sqrt[3]{pqr}=\sqrt[3]{r⁶}=r²$

অতএব,

$px³+qy³+rz³=3r²xyz$

অতএব প্রমাণিত

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য a > b > 0 ধরি

দেওয়া আছে,

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}=82$

$\frac{a²+b²}{ab}=82$

a² + b² = 82ab

উভয় পাশ থেকে 2ab বিয়োগ করে পাই,

a² − 2ab + b² = 80ab

(a − b)² = 16 × 5ab

a > b হওয়ায়,

a − b = 4√(5ab)

তাই,

$\frac{a-b}{4}=\sqrt{5ab}$

উভয় পাশে লগ নিয়ে পাই,

$\log\left(\frac{a-b}{4}\right)=\log\sqrt{5ab}$

$=\frac{1}{2}\log(5ab)$

$=\frac{1}{2}\log5+\frac{1}{2}\log a+\frac{1}{2}\log b$

অতএব a > b > 0 শর্তে প্রমাণিত

প্রশ্নে এই প্রয়োজনীয় শর্তটি উল্লেখ নেই

রেখাটির ঢাল −1 এবং রেখাটি P(2, 3) বিন্দুগামী

বিন্দু-ঢাল সূত্র অনুযায়ী,

y − 3 = −1(x − 2)

y − 3 = −x + 2

অতএব রেখার সমীকরণ,

x + y − 5 = 0

রেখাটি,

bx + y + 10 = 0

এটি Q(−2, 4) বিন্দুগামী

তাই,

−2b + 4 + 10 = 0

−2b + 14 = 0

b = 7

অতএব রেখাটি,

7x + y + 10 = 0

x-অক্ষের ছেদবিন্দুর জন্য y = 0

$7x+10=0$

$x=-\frac{10}{7}$

তাই x-অক্ষে খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য $\frac{10}{7}$ একক

y-অক্ষের ছেদবিন্দুর জন্য x = 0

y = −10

তাই y-অক্ষে খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য 10 একক

RS রেখাটি y-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে

R(−5, 0) ও S(3, −5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{RS}=\frac{-5-0}{3-(-5)}$

$=-\frac{5}{8}$

তাই,

$y=-\frac{5}{8}(x+5)$

x = 0 হলে,

$y=-\frac{25}{8}$

অতএব $A\left(0,-\frac{25}{8}\right)$

SP রেখাটি x-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করে

S(3, −5) ও P(2, 3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{SP}=\frac{3-(-5)}{2-3}$

= −8

তাই,

y + 5 = −8(x − 3)

y = −8x + 19

y = 0 হলে,

$x=\frac{19}{8}$

অতএব $B\left(\frac{19}{8},0\right)$

চতুর্থ চতুর্ভাগের অংশটি OASB চতুর্ভুজ, যেখানে O(0, 0)

স্থানাঙ্ক সূত্রে ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}\left|0\left(-\frac{25}{8}\right)+0(-5)+3(0)+\frac{19}{8}(0)-\left\{0(0)+\left(-\frac{25}{8}\right)3+(-5)\frac{19}{8}+0(0)\right\}\right|$

$=\frac{85}{8}$ বর্গ একক

দেওয়া আছে,

cosec θ = −2

তাই,

$\sin\theta=-\frac{1}{2}$

আবার,

$\pi<\theta<\frac{3\pi}{2}$

অর্থাৎ θ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত

তৃতীয় চতুর্ভাগে sin θ = −1/2 হলে,

$\theta=\pi+\frac{\pi}{6}$

$=\frac{7\pi}{6}$

দেওয়া আছে,

3R = √3S

এখানে R = sin θ এবং S = cos θ

তাই,

3sin θ = √3cos θ

$\tan\theta=\frac{1}{\sqrt{3}}$

অতএব,

$\theta=n\pi+\frac{\pi}{6}$, যেখানে n পূর্ণসংখ্যা

তাই,

$\tan2\theta=\tan\left(2n\pi+\frac{\pi}{3}\right)$

$=\sqrt{3}$

আবার,

$\frac{2\tan\theta}{1-\tan²\theta}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$

$=\sqrt{3}$

অতএব $\tan2\theta=\frac{2\tan\theta}{1-\tan²\theta}$

দেওয়া আছে,

R² − S² = R

এখানে R = sin θ এবং S = cos θ

তাই,

sin²θ − cos²θ = sin θ

$\cos²\theta=1-\sin²\theta$ বসিয়ে পাই,

2sin²θ − sin θ − 1 = 0

(2sin θ + 1)(sin θ − 1) = 0

তাই,

sin θ = 1

অথবা

$\sin\theta=-\frac{1}{2}$

যেহেতু 0 ≤ θ ≤ 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{2},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

ধরি,

$\vec{v}=\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$, যেখানে $\vec{u}\ne\vec{0}$

তাহলে,

$|\vec{v}|=\left|\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}\right|$

$=\frac{1}{|\vec{u}|}|\vec{u}|$

= 1

তাই $\vec{v}$ একটি একক ভেক্টর

আবার $\frac{1}{|\vec{u}|}$ একটি ধনাত্মক স্কেলার

তাই $\vec{v}$-এর দিক $\vec{u}$-এর দিকের একই

অতএব $\frac{1}{|\vec{u}|}\vec{u}$ হলো $\vec{u}$-মুখী একক ভেক্টর

A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ধরি

P, Q ও R যথাক্রমে BC, AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{p}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\vec{q}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

$\vec{r}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

এখন,

$\vec{AP}=\vec{p}-\vec{a}$

$=\frac{\vec{b}+\vec{c}-2\vec{a}}{2}$

$\vec{BQ}=\vec{q}-\vec{b}$

$=\frac{\vec{a}+\vec{c}-2\vec{b}}{2}$

$\vec{CR}=\vec{r}-\vec{c}$

$=\frac{\vec{a}+\vec{b}-2\vec{c}}{2}$

তিনটি যোগ করে পাই,

$\vec{AP}+\vec{BQ}+\vec{CR}=\vec{0}$

অতএব প্রমাণিত

A, B ও C বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a},\vec{b},\vec{c}$ ধরি

R ও Q যথাক্রমে AB ও AC-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{r}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

এবং

$\vec{q}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

S হলো RB-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{s}=\frac{\vec{r}+\vec{b}}{2}$

$=\frac{\vec{a}+3\vec{b}}{4}$

T হলো QC-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{t}=\frac{\vec{q}+\vec{c}}{2}$

$=\frac{\vec{a}+3\vec{c}}{4}$

অতএব,

$\vec{ST}=\vec{t}-\vec{s}$

$=\frac{3(\vec{c}-\vec{b})}{4}$

আবার,

$\vec{RQ}=\vec{q}-\vec{r}$

$=\frac{\vec{c}-\vec{b}}{2}$

তাই,

$\vec{ST}=\frac{3}{2}\vec{RQ}$

অতএব প্রমাণিত

মুদ্রায় H অথবা T পাওয়ার সম্ভাবনা প্রতিটি 1/2

ছক্কায় 1, 2, 3, 4, 5 অথবা 6 পাওয়ার সম্ভাবনা প্রতিটি 1/6

তাই probability tree-এর প্রতিটি শেষ শাখার সম্ভাবনা,

$\frac{1}{2}\times\frac{1}{6}$

$=\frac{1}{12}$

নমুনাক্ষেত্র,

S = {H1, H2, H3, H4, H5, H6, T1, T2, T3, T4, T5, T6}

প্রতিটি ফলের সম্ভাবনা 1/12

লাল রঙের ছক্কার সংখ্যা 10

এর এক-পঞ্চমাংশ,

$10\times\frac{1}{5}$

= 2

অতএব দুটি নিরপেক্ষ ছক্কা নিক্ষেপ করা হয়েছে

মোট সমসম্ভাব্য ফল = 6 × 6

= 36

দুটি ছক্কার যোগফল মৌলিক হতে পারে 2, 3, 5, 7 অথবা 11

অনুকূল ফলের সংখ্যা যথাক্রমে,

1, 2, 4, 6 এবং 2

মোট অনুকূল ফল,

= 1 + 2 + 4 + 6 + 2

= 15

অতএব যোগফল মৌলিক হওয়ার সম্ভাবনা,

$=\frac{15}{36}$

$=\frac{5}{12}$

এখন,

$\frac{5}{12}<\frac{1}{2}$

অতএব প্রমাণিত

ঝুড়িতে মোট ছক্কার সংখ্যা,

7 + 9 + 10 = 26

প্রতিস্থাপন ছাড়া তিনটি ছক্কা তুললে সবগুলো একই রঙের হওয়ার অনুকূল উপায়,

$=\binom{7}{3}+\binom{9}{3}+\binom{10}{3}$

= 35 + 84 + 120

= 239

মোট উপায়,

$=\binom{26}{3}$

= 2600

অতএব নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$=\frac{239}{2600}$