a, b, c অশূন্য ধরে,

$F(a,b,c)=\frac{1}{a³}+\frac{1}{b³}+\frac{1}{c³}-\frac{3}{abc}$

চক্রাকারে a → b, b → c, c → a বসালে,

$F(b,c,a)=\frac{1}{b³}+\frac{1}{c³}+\frac{1}{a³}-\frac{3}{bca}$

$=F(a,b,c)$

আবার a ও b অদলবদল করলে,

$F(b,a,c)=\frac{1}{b³}+\frac{1}{a³}+\frac{1}{c³}-\frac{3}{bac}$

$=F(a,b,c)$

একইভাবে যেকোনো দুটি চলক অদলবদল করলেও রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে

অতএব প্রদত্ত রাশিটি চক্রক্রমিক ও প্রতিসম

তবে চলকগুলো হরে থাকায় এটি বহুপদী নয়, প্রশ্নে “বহুপদী” শব্দটি গাণিতিকভাবে অসংগত

P(x)-কে (3x + m) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $P\left(-\frac{m}{3}\right)$

একইভাবে (3x + n) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ $P\left(-\frac{n}{3}\right)$

শর্তানুসারে,

$P\left(-\frac{m}{3}\right)=P\left(-\frac{n}{3}\right)$

ধরি,

$u=-\frac{m}{3}$ এবং $v=-\frac{n}{3}$

তাহলে,

u³ + 2u² − 5u − 6 = v³ + 2v² − 5v − 6

(u − v)[u² + uv + v² + 2(u + v) − 5] = 0

যেহেতু m ≠ n, তাই u ≠ v

অতএব,

u² + uv + v² + 2(u + v) − 5 = 0

এখন $u=-\frac{m}{3}$ এবং $v=-\frac{n}{3}$ বসিয়ে পাই,

$\frac{m²}{9}+\frac{mn}{9}+\frac{n²}{9}-\frac{2m}{3}-\frac{2n}{3}-5=0$

উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে পাই,

m² + mn + n² − 6m − 6n − 45 = 0

অতএব প্রমাণিত

$Q(y)=\frac{y³}{(y-1)(y²+2)}$

হরের বহুপদীর ঘাত ও লবের বহুপদীর ঘাত সমান, তাই ভাগ করে পাই,

$Q(y)=1+\frac{y²-2y+2}{(y-1)(y²+2)}$

ধরি,

$\frac{y²-2y+2}{(y-1)(y²+2)}=\frac{A}{y-1}+\frac{By+C}{y²+2}$

তাহলে,

y² − 2y + 2 = A(y² + 2) + (By + C)(y − 1)

সহগ তুলনা করে পাই,

A + B = 1

C − B = −2

2A − C = 2

সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই,

$A=\frac{1}{3},\ B=\frac{2}{3},\ C=-\frac{4}{3}$

অতএব,

$Q(y)=1+\frac{1}{3(y-1)}+\frac{2y-4}{3(y²+2)}$

ধরি,

$x=5.0\dot{7}$

$=5.07777\cdots$

তাহলে,

10x = 50.7777⋯

100x = 507.7777⋯

বিয়োগ করে পাই,

100x − 10x = 507.7777⋯ − 50.7777⋯

90x = 457

$x=\frac{457}{90}$

অতএব $5.0\dot{7}=\frac{457}{90}$

ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত

$r=\frac{1}{6y+1}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$|r|<1$

$\left|\frac{1}{6y+1}\right|<1$

$|6y+1|>1$

অতএব y > 0 অথবা $y<-\frac{1}{3}$

এখন,

$S_\infty=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{1}{1-\frac{1}{6y+1}}$

$=\frac{6y+1}{6y}$

অতএব y > 0 অথবা $y<-\frac{1}{3}$ হলে অসীমতক সমষ্টি $\frac{6y+1}{6y}$

$A=\left(2x²-\frac{1}{2x³}\right)^{10}$

সাধারণ পদ,

$T_{r+1}=\binom{10}{r}(2x²)^{10-r}\left(-\frac{1}{2x³}\right)^r$

$=(-1)^r\binom{10}{r}2^{10-2r}x^{20-5r}$

x-বর্জিত পদের জন্য,

20 − 5r = 0

=> r = 4

অতএব x-বর্জিত পদটি পঞ্চম পদ

$T_5=(-1)^4\binom{10}{4}2^{10-8}$

$=210\times4$

= 840

অতএব পঞ্চম পদটি x-বর্জিত এবং তার মান 840

বাস্তব সূচকের জন্য p > 0

দেওয়া আছে,

$p^{p\sqrt{p}}=(p\sqrt{p})^p$

যদি p = 1 হয়, তবে সমীকরণটির উভয় পক্ষের মান 1

এক্ষেত্রে $\sqrt{p}=1$

আবার p ≠ 1 হলে,

$(p\sqrt{p})^p=(p^{3/2})^p$

$=p^{3p/2}$

একই ধনাত্মক ও 1 ব্যতীত ভিত্তির ঘাত সমান হওয়ায়,

$p\sqrt{p}=\frac{3p}{2}$

$\sqrt{p}=\frac{3}{2}$

অতএব প্রদত্ত শর্তে $\sqrt{p}=1$ অথবা $\frac{3}{2}$

শুধু $\frac{3}{2}$ পেতে প্রশ্নে p ≠ 1 শর্তটি প্রয়োজন

দেওয়া আছে,

$\log_e(3+m)=2\log_e m$

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য m > 0

লগারিদমের সূত্র অনুযায়ী,

$\log_e(3+m)=\log_e m²$

তাই,

3 + m = m²

m² − m − 3 = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র প্রয়োগ করে পাই,

$m=\frac{1\pm\sqrt{1+12}}{2}$

$=\frac{1\pm\sqrt{13}}{2}$

যেহেতু m > 0, তাই ঋণাত্মক মানটি গ্রহণযোগ্য নয়

অতএব $m=\frac{1+\sqrt{13}}{2}$

ধরি,

$\sqrt[a]{x}=\sqrt[b]{y}=\sqrt[c]{z}=k$

তাহলে,

x = kᵃ, y = kᵇ এবং z = kᶜ

আবার xyz = 1

তাই,

kᵃkᵇkᶜ = 1

ধরি A = kᵃ, B = kᵇ এবং C = kᶜ

তাহলে ABC = 1

প্রদত্ত রাশির প্রথম পদ,

$\frac{1}{k^{-a}+k^b+1}$

$=\frac{1}{A^{-1}+B+1}$

$=\frac{A}{1+A+AB}$

দ্বিতীয় পদ,

$\frac{1}{k^{-b}+k^c+1}$

$=\frac{B}{1+B+BC}$

ABC = 1 ব্যবহার করে লব ও হরকে A দ্বারা গুণ করলে,

$=\frac{AB}{1+A+AB}$

তৃতীয় পদ,

$\frac{1}{k^{-c}+k^a+1}$

$=\frac{C}{1+C+CA}$

ABC = 1 ব্যবহার করে লব ও হরকে AB দ্বারা গুণ করলে,

$=\frac{1}{1+A+AB}$

অতএব প্রদত্ত যোগফল,

$=\frac{A+AB+1}{1+A+AB}$

= 1

অতএব প্রমাণিত

S বিন্দুর স্থানাঙ্ক (10, 5) এবং রেখার ঢাল −3

বিন্দু-ঢাল সূত্র অনুযায়ী,

y − 5 = −3(x − 10)

y − 5 = −3x + 30

3x + y − 35 = 0

অতএব নির্ণেয় রেখার সমীকরণ 3x + y − 35 = 0

P(−5, 5), Q(−10, −5), R(5, −5) এবং S(10, 5)

PQ রেখার ঢাল,

$m_{PQ}=\frac{-5-5}{-10-(-5)}$

$=\frac{-10}{-5}$

= 2

RS রেখার ঢাল,

$m_{RS}=\frac{5-(-5)}{10-5}$

$=\frac{10}{5}$

= 2

অতএব PQ ∥ RS

আবার QR ও PS উভয় রেখা অনুভূমিক

তাই QR ∥ PS

চতুর্ভুজটির উভয় জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল

অতএব PQRS একটি সামান্তরিক

চতুর্থ চতুর্ভাগে QR বাহুটি x-অক্ষের নিচে y = −5 রেখায় অবস্থিত

QR রেখা y-অক্ষকে A(0, −5) বিন্দুতে ছেদ করে

RS রেখার সমীকরণ নির্ণয় করি

R(5, −5) ও S(10, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল 2

তাই,

y + 5 = 2(x − 5)

y = 2x − 15

RS রেখা x-অক্ষকে B বিন্দুতে ছেদ করলে y = 0

0 = 2x − 15

$x=\frac{15}{2}$

অতএব $B\left(\frac{15}{2},0\right)$

চতুর্থ চতুর্ভাগের অংশটি OARB ট্রাপিজিয়াম, যেখানে O(0,0)

সমান্তরাল বাহুদ্বয়ের দৈর্ঘ্য,

$OA=5$ এবং $BR=\sqrt{\left(\frac{15}{2}-5\right)²+(0+5)²}$

$=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)²+5²}$

$=\frac{5\sqrt{5}}{2}$

তবে OA ও BR পরস্পর সমান্তরাল নয়, তাই সরাসরি স্থানাঙ্ক সূত্র ব্যবহার করি

O(0,0), A(0,−5), R(5,−5), $B\left(\frac{15}{2},0\right)$ ক্রমে ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}\left|0(-5)+0(-5)+5(0)+\frac{15}{2}(0)-\{0(0)+(-5)(5)+(-5)\frac{15}{2}+0(0)\}\right|$

$=\frac{1}{2}\left|25+\frac{75}{2}\right|$

$=\frac{125}{4}$ বর্গ একক

ধরি,

$\vec{XY}=\vec{a}$ এবং $\vec{XZ}=\vec{b}$

M যেহেতু XY-এর মধ্যবিন্দু, তাই

$\vec{XM}=\frac{1}{2}\vec{XY}$

$=\frac{1}{2}\vec{a}$

এখন,

$\vec{MZ}=\vec{MX}+\vec{XZ}$

$=-\frac{1}{2}\vec{a}+\vec{b}$

অতএব $\vec{MZ}=\vec{XZ}-\frac{1}{2}\vec{XY}$

ধরি,

$\vec{XY}=\vec{a}$ এবং $\vec{XZ}=\vec{b}$

M ও N যথাক্রমে XY ও XZ-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{XM}=\frac{1}{2}\vec{a}$

এবং $\vec{XN}=\frac{1}{2}\vec{b}$

এখন,

$\vec{MN}=\vec{XN}-\vec{XM}$

$=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{1}{2}\vec{a}$

$=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$

আবার,

$\vec{YZ}=\vec{XZ}-\vec{XY}$

$=\vec{b}-\vec{a}$

অতএব $\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{YZ}$

তাই MN-এর দৈর্ঘ্য YZ-এর দৈর্ঘ্যের অর্ধেক এবং MN ∥ YZ

অর্থাৎ $MN=\frac{1}{2}YZ$ এবং MN ∥ YZ

ধরি,

$\vec{XY}=\vec{a}$ এবং $\vec{XZ}=\vec{b}$

L যেহেতু YZ-এর মধ্যবিন্দু,

$\vec{XL}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$

N যেহেতু ZX-এর মধ্যবিন্দু,

$\vec{YN}=\vec{YX}+\vec{XN}$

$=-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$

M যেহেতু XY-এর মধ্যবিন্দু,

$\vec{ZM}=\vec{ZX}+\vec{XM}$

$=-\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$

অতএব,

$\vec{XL}+\vec{YN}+\vec{ZM}$

$=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})-\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}-\vec{b}+\frac{1}{2}\vec{a}$

$=\vec{0}$

অতএব প্রমাণিত

কোসাইন একটি জোড় ফাংশন, তাই

$\cos\left(-\frac{13\pi}{3}\right)=\cos\frac{13\pi}{3}$

$=\cos\left(4\pi+\frac{\pi}{3}\right)$

$=\cos\frac{\pi}{3}$

$=\frac{1}{2}$

$M=\sin²\frac{\pi}{15}+\sin²\frac{13\pi}{30}+\sin²\frac{16\pi}{15}+\sin²\frac{47\pi}{30}$

এখন,

$\sin\frac{13\pi}{30}=\sin\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{15}\right)$

$=\cos\frac{\pi}{15}$

$\sin\frac{16\pi}{15}=\sin\left(\pi+\frac{\pi}{15}\right)$

$=-\sin\frac{\pi}{15}$

$\sin\frac{47\pi}{30}=\sin\left(\frac{3\pi}{2}+\frac{\pi}{15}\right)$

$=-\cos\frac{\pi}{15}$

তাই,

$M=\sin²\frac{\pi}{15}+\cos²\frac{\pi}{15}+\sin²\frac{\pi}{15}+\cos²\frac{\pi}{15}$

= 1 + 1

= 2

অতএব প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

$2(xy+\sqrt{3})=\sqrt{3}y+4x$

সব পদ এক পাশে এনে পাই,

$2xy-4x-\sqrt{3}y+2\sqrt{3}=0$

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$(2x-\sqrt{3})(y-2)=0$

এখন x = sin θ এবং y = cos θ বসিয়ে পাই,

$(2\sin\theta-\sqrt{3})(\cos\theta-2)=0$

বাস্তব θ-এর জন্য cos θ = 2 অসম্ভব

তাই,

$2\sin\theta-\sqrt{3}=0$

$\sin\theta=\frac{\sqrt{3}}{2}$

যেহেতু 0 < θ < 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{3}$ অথবা $\frac{2\pi}{3}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কার নমুনাক্ষেত্র,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 অথবা 3-এর বেশি সংখ্যা পাওয়ার অনুকূল ফল,

A = {3, 4, 5, 6}

তাই n(S) = 6 এবং n(A) = 4

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

$=\frac{4}{6}$

$=\frac{2}{3}$

50 থেকে 60 পর্যন্ত স্বাভাবিক সংখ্যাগুলো,

S = {50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60}

তাই n(S) = 11

মৌলিক সংখ্যাগুলো,

A = {53, 59}

তাই,

$P(A)=\frac{2}{11}$

5 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যাগুলো,

B = {50, 55, 60}

তাই,

$P(B)=\frac{3}{11}$

অতএব,

$P(A)+P(B)$

$=\frac{2}{11}+\frac{3}{11}$

$=\frac{5}{11}$

অতএব প্রমাণিত

প্রথম ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা,

$P(E)=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

দ্বিতীয় ছক্কায় মৌলিক সংখ্যা 2, 3 অথবা 5 পাওয়ার সম্ভাবনা,

$P(P)=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

দুটি ছক্কার ফল পরস্পর স্বাধীন

তাই probability tree অনুযায়ী নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$P(E\cap P)=P(E)\times P(P)$

$=\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}$

$=\frac{1}{4}$