ধরি,

$G(x)=x³+kx²+2x+1$

যেহেতু (x + 1) একটি উৎপাদক, তাই উৎপাদক উপপাদ্য অনুযায়ী,

G(−1) = 0

(−1)³ + k(−1)² + 2(−1) + 1 = 0

−1 + k − 2 + 1 = 0

k − 2 = 0

অতএব k = 2

প্রথমে,

$F\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)=x³+y³+z³-3xyz$

পরিচিত সূত্র অনুযায়ী,

$x³+y³+z³-3xyz$

$=\frac{1}{2}(x+y+z)\{(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²\}$

এখন ধরি,

A = y + z − x

B = z + x − y

C = x + y − z

তাহলে,

a = 1/A, b = 1/B এবং c = 1/C

তাই,

F(a,b,c) = A³ + B³ + C³ − 3ABC

আবার,

A + B + C = x + y + z

A − B = 2(y − x)

B − C = 2(z − y)

C − A = 2(x − z)

অতএব,

$F(a,b,c)$

$=\frac{1}{2}(A+B+C)\{(A-B)²+(B-C)²+(C-A)²\}$

$=2(x+y+z)\{(x-y)²+(y-z)²+(z-x)²\}$

$=4F\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right)$

সুতরাং সঠিক অনুপাত,

$F\left(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z}\right):F(a,b,c)=1:4$

প্রশ্নে উল্লিখিত 1 : 2 অনুপাতটি সঠিক নয়

$P(x)=(x+2)(x²+3)$

$=x³+2x²+3x+6$

প্রথমে ভাগ করে পাই,

$\frac{x³+7}{P(x)}=1+\frac{-2x²-3x+1}{(x+2)(x²+3)}$

ধরি,

$\frac{-2x²-3x+1}{(x+2)(x²+3)}=\frac{A}{x+2}+\frac{Bx+C}{x²+3}$

তাহলে,

−2x² − 3x + 1 = A(x² + 3) + (Bx + C)(x + 2)

সহগ তুলনা করে পাই,

A + B = −2

2B + C = −3

3A + 2C = 1

সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই,

$A=-\frac{1}{7},\ B=-\frac{13}{7},\ C=\frac{5}{7}$

অতএব,

$\frac{x³+7}{P(x)}=1-\frac{1}{7(x+2)}+\frac{-13x+5}{7(x²+3)}$

অনুক্রমটি,

$1,\frac{4}{3},\frac{9}{5},\frac{16}{7},\cdots$

লবগুলো 1², 2², 3², 4², ... এবং হরগুলো 1, 3, 5, 7, ...

অতএব n-তম পদের লব n² এবং হর 2n − 1

সুতরাং সাধারণ পদ,

$a_n=\frac{n²}{2n-1}$

দেওয়া আছে,

$p=\left(a-\frac{x}{3}\right)^7$

দ্বিপদী বিস্তৃতির প্রথম তিনটি পদ,

$p=a⁷+7a⁶\left(-\frac{x}{3}\right)+\binom{7}{2}a⁵\left(-\frac{x}{3}\right)²+\cdots$

$=a⁷-\frac{7a⁶}{3}x+\frac{7a⁵}{3}x²+\cdots$

আবার,

p = r − 1701x + mx² + ⋯

সহগ তুলনা করে পাই,

$-\frac{7a⁶}{3}=-1701$

a⁶ = 729

a = 3 অথবা −3

যদি a = 3 হয়, তবে

$r=a⁷=2187$

$m=\frac{7a⁵}{3}=567$

যদি a = −3 হয়, তবে

r = −2187

m = −567

অতএব (a, m, r) = (3, 567, 2187) অথবা (−3, −567, −2187)

শুধু প্রথম মানটি পেতে a > 0 শর্তটি প্রয়োজন

a = 3 এবং b = 2 হলে,

$p=(3+2x)^n$

প্রশ্নের বর্ণনা অনুযায়ী গুণোত্তর ধারার n-তম পদ,

$T_n=p^{-1}$

$=(3+2x)^{-n}$

তাই প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত উভয়ই,

$r=\frac{1}{3+2x}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{3+2x}\right|<1$

$|3+2x|>1$

অতএব x > −1 অথবা x < −2

এখন,

$S_\infty=\frac{\frac{1}{3+2x}}{1-\frac{1}{3+2x}}$

$=\frac{1}{2x+2}$

$=\frac{1}{2(x+1)}$

অতএব x > −1 অথবা x < −2 হলে ধারাটির অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{2(x+1)}$

বাস্তব ঘাতের জন্য x > 0

দেওয়া আছে,

$x^x\sqrt[3]{x}=(x\sqrt[3]{x})^x$

বামপক্ষ,

$x^x\sqrt[3]{x}=x^{x+\frac{1}{3}}$

ডানপক্ষ,

$(x\sqrt[3]{x})^x$

$=(x^{\frac{4}{3}})^x$

$=x^{\frac{4x}{3}}$

x = 1 হলে উভয় পক্ষের মান 1, তাই x = 1 একটি সমাধান

x ≠ 1 হলে একই ভিত্তির ঘাত তুলনা করে পাই,

$x+\frac{1}{3}=\frac{4x}{3}$

3x + 1 = 4x

x = 1

অতএব একমাত্র সমাধান x = 1

ধরি,

$t=2^{\frac{1}{3}}$

তাহলে,

$p=t²+t^{-2}$

দেওয়া আছে,

p = a² + 2

তাই,

a² = t² + t⁻² − 2

$=(t-t^{-1})²$

অতএব,

$a=\pm(t-t^{-1})$

যদি $a=t-t^{-1}$ হয়, তবে

$a³+3a=t³-t^{-3}$

$=2-\frac{1}{2}$

$=\frac{3}{2}$

তাই,

2a³ + 6a = 3

আর ঋণাত্মক মানটি নিলে,

2a³ + 6a = −3

অতএব প্রদত্ত তথ্য থেকে 2a³ + 6a-এর মান 3 অথবা −3, কখনোই 5 নয়

প্রশ্নের দাবিটি গাণিতিকভাবে অসংগত

$f(x)=\ln\frac{2x+3}{2x-3}$

ডোমেনের জন্য,

$\frac{2x+3}{2x-3}>0$

লব ও হরের সংকটবিন্দু যথাক্রমে $-\frac{3}{2}$ এবং $\frac{3}{2}$

চিহ্ন বিশ্লেষণ করে পাই,

$x<-\frac{3}{2}$ অথবা $x>\frac{3}{2}$

অতএব ডোমেন,

$\left(-\infty,-\frac{3}{2}\right)\cup\left(\frac{3}{2},\infty\right)$

রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য ধরি,

$y=\ln\frac{2x+3}{2x-3}$

তাহলে,

$e^y=\frac{2x+3}{2x-3}$

সমাধান করে পাই,

$x=\frac{3(e^y+1)}{2(e^y-1)}$

এখানে y = 0 হলে হর শূন্য হয় এবং কোনো সসীম x পাওয়া যায় না

অন্য সব বাস্তব y-এর জন্য x ডোমেনের কোনো একটি ব্যবধানে থাকে

অতএব রেঞ্জ,

$(-\infty,0)\cup(0,\infty)$

A(4, 9) এবং C(−5, −3)

AC সরলরেখার ঢাল,

$m_{AC}=\frac{9-(-3)}{4-(-5)}$

$=\frac{12}{9}$

$=\frac{4}{3}$

AB রেখাটি y-অক্ষকে E বিন্দুতে ছেদ করে

A(4, 9) ও B(−4, 12) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{AB}=\frac{12-9}{-4-4}$

$=-\frac{3}{8}$

তাই AB রেখার সমীকরণ,

$y-9=-\frac{3}{8}(x-4)$

x = 0 বসিয়ে পাই,

$y=\frac{21}{2}$

অতএব $E\left(0,\frac{21}{2}\right)$

AC রেখাটি y-অক্ষকে F বিন্দুতে ছেদ করে

AC রেখার ঢাল $\frac{4}{3}$

তাই,

$y-9=\frac{4}{3}(x-4)$

x = 0 বসিয়ে পাই,

$y=\frac{11}{3}$

অতএব $F\left(0,\frac{11}{3}\right)$

$EF=\frac{21}{2}-\frac{11}{3}$

$=\frac{41}{6}$

A বিন্দু থেকে y-অক্ষের লম্ব দূরত্ব = 4 একক

অতএব ত্রিভুজ AEF-এর ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}\times\frac{41}{6}\times4$

$=\frac{41}{3}$ বর্গ একক

স্থানাঙ্ক সূত্রে ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}|4(12+3)+(-4)(-3-9)+(-5)(9-12)|$

$=\frac{1}{2}|60+48+15|$

$=\frac{123}{2}$ বর্গ একক

A, B, C, D ঘড়ির কাঁটার বিপরীতক্রমে থাকায় চতুর্ভুজ ABCD-এর ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}|\{4(12)+(-4)(-3)+(-5)(-2)+k(9)\}-\{9(-4)+12(-5)+(-3)k+(-2)(4)\}|$

$=\frac{1}{2}|174+12k|$

প্রদত্ত ক্রমে ক্ষেত্রফল ধনাত্মক ধরে,

$=87+6k$

শর্তানুসারে ত্রিভুজ ABC-এর ক্ষেত্রফল চতুর্ভুজ ABCD-এর ক্ষেত্রফলের অর্ধেক

তাই,

$\frac{123}{2}=\frac{1}{2}(87+6k)$

123 = 87 + 6k

6k = 36

অতএব k = 6

শুধু AC ও BD কর্ণের ছেদবিন্দু O দেওয়া থাকলে $\vec{OB}$-এর একক মান নির্ণয় করা যায় না

ধরি,

$\vec{AO}=\lambda\vec{AC}$

এখন,

$\vec{AC}=\vec{AB}+\vec{BC}$

তাই,

$\vec{OB}=\vec{AB}-\vec{AO}$

$=\vec{AB}-\lambda(\vec{AB}+\vec{BC})$

$=(1-\lambda)\vec{AB}-\lambda\vec{BC}$

এখানে λ কর্ণদ্বয়ের বিভাজন অনুপাতের উপর নির্ভরশীল

প্রশ্নে সেই অনুপাত বা চতুর্ভুজের বিশেষ প্রকৃতি দেওয়া নেই, তাই আরও নির্দিষ্ট প্রকাশ সম্ভব নয়

যদি ABCD সামান্তরিক হতো, তবে λ = 1/2 এবং $\vec{OB}=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{BC})$

A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ ধরি

E, F, G ও H যথাক্রমে AB, BC, CD ও AD-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{e}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$

$\vec{f}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$

$\vec{g}=\frac{\vec{c}+\vec{d}}{2}$

$\vec{h}=\frac{\vec{a}+\vec{d}}{2}$

এখন,

$\vec{EF}=\vec{f}-\vec{e}$

$=\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}$

আবার,

$\vec{HG}=\vec{g}-\vec{h}$

$=\frac{\vec{c}-\vec{a}}{2}$

তাই $\vec{EF}=\vec{HG}$

একইভাবে,

$\vec{FG}=\vec{g}-\vec{f}$

$=\frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}$

এবং

$\vec{EH}=\vec{h}-\vec{e}$

$=\frac{\vec{d}-\vec{b}}{2}$

তাই $\vec{FG}=\vec{EH}$

অতএব EFGH চতুর্ভুজের উভয় জোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল

সুতরাং EFGH একটি সামান্তরিক

শুধু সাধারণ চতুর্ভুজের জন্য দাবিটি সত্য নয়

দাবিটি প্রমাণের জন্য অতিরিক্ত শর্ত AB ∥ DC প্রয়োজন

A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{a},\vec{b},\vec{c},\vec{d}$ ধরি

P ও Q যথাক্রমে AC ও BD কর্ণের মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{p}=\frac{\vec{a}+\vec{c}}{2}$

এবং

$\vec{q}=\frac{\vec{b}+\vec{d}}{2}$

অতএব,

$\vec{PQ}=\vec{q}-\vec{p}$

$=\frac{1}{2}\{(\vec{b}-\vec{a})+(\vec{d}-\vec{c})\}$

$=\frac{1}{2}(\vec{AB}+\vec{CD})$

$=\frac{1}{2}(\vec{AB}-\vec{DC})$

যদি AB ∥ DC হয়, তবে $\vec{AB}$ ও $\vec{DC}$ সমান্তরাল

তাই $\vec{PQ}$-ও তাদের সমান্তরাল

অতএব PQ ∥ AB ∥ DC

এবং দৈর্ঘ্যের ক্ষেত্রে,

$PQ=\frac{1}{2}|AB-DC|$

AB ≥ DC ধরে প্রশ্নের রূপে,

$PQ=\frac{1}{2}(AB-DC)$

প্রশ্নে AB ∥ DC শর্তটি অনুপস্থিত

দেওয়া আছে,

$\theta=\frac{3\pi}{4}$

তাই,

$\tan\theta=\tan\frac{3\pi}{4}$

= −1

এবং

$\sec\theta=\frac{1}{\cos\frac{3\pi}{4}}$

$=\frac{1}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$

$=-\sqrt{2}$

অতএব,

$\tan\theta+\sec\theta=-1-\sqrt{2}$

দেওয়া আছে,

P = 1 − sin θ এবং Q = 1 − cos θ

বামপক্ষ,

$\frac{1-(P-Q)}{1-(P+Q)}$

$=\frac{1-\{(1-\sin\theta)-(1-\cos\theta)\}}{1-\{(1-\sin\theta)+(1-\cos\theta)\}}$

$=\frac{1+\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta-1}$

লব ও হরকে (1 − sin θ) দ্বারা গুণ করার সমতুল্য সম্পর্ক যাচাই করি

$(1+\sin\theta-\cos\theta)(1-\sin\theta)$

$=1-\sin²\theta-\cos\theta+\sin\theta\cos\theta$

$=\cos²\theta-\cos\theta+\sin\theta\cos\theta$

$=\cos\theta(\sin\theta+\cos\theta-1)$

তাই,

$\frac{1+\sin\theta-\cos\theta}{\sin\theta+\cos\theta-1}$

$=\frac{\cos\theta}{1-\sin\theta}$

$=\frac{1-Q}{P}$

অতএব প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

$\frac{1-P}{4Q+1}=\frac{1}{4}\operatorname{cosec}\theta$

এখানে,

1 − P = sin θ

এবং

4Q + 1 = 4(1 − cos θ) + 1

= 5 − 4 cos θ

তাই,

$\frac{\sin\theta}{5-4\cos\theta}=\frac{1}{4\sin\theta}$

cosec θ সংজ্ঞায়িত হওয়ায় sin θ ≠ 0

আড়গুণ করে পাই,

4sin²θ = 5 − 4cos θ

$4(1-\cos²\theta)=5-4\cos\theta$

4cos²θ − 4cos θ + 1 = 0

$(2\cos\theta-1)²=0$

$\cos\theta=\frac{1}{2}$

যেহেতু 0 ≤ θ ≤ 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{3}$ অথবা $\frac{5\pi}{3}$

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রার নমুনাক্ষেত্র,

S = {HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH, TTT}

তাই n(S) = 8

একই ধরনের ফলাফল পাওয়ার অনুকূল ঘটনা,

A = {HHH, TTT}

তাই n(A) = 2

অতএব,

$P(A)=\frac{n(A)}{n(S)}$

$=\frac{2}{8}$

$=\frac{1}{4}$

ছক্কায় জোড় সংখ্যা পাওয়ার সম্ভাবনা,

$P(E)=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

দুটি মুদ্রায় কমপক্ষে একটি H পাওয়ার সম্ভাবনা,

$P(A)=1-P(TT)$

$=1-\frac{1}{4}$

$=\frac{3}{4}$

ছক্কা ও মুদ্রার ফল পরস্পর স্বাধীন

তাই probability tree অনুযায়ী,

$P(E\cap A)=P(E)\times P(A)$

$=\frac{1}{2}\times\frac{3}{4}$

$=\frac{3}{8}$

একটি ছক্কার ফল d এবং দুটি মুদ্রার ফল uv দ্বারা প্রকাশ করি

নমুনাক্ষেত্র,

S = {(d, uv) : d ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}, uv ∈ {HH, HT, TH, TT}}

তাই n(S) = 6 × 4

= 24

দুটি মুদ্রায় H-এর সর্বোচ্চ সংখ্যা 2

তাই জোড় সংখ্যার সাথে সর্বোচ্চ দুটি H পাওয়ার ঘটনায় সব 3টি জোড় ফল ও মুদ্রার সব 4টি ফল অন্তর্ভুক্ত

অনুকূল ফল = 3 × 4

= 12

একইভাবে দুটি মুদ্রায় T-এর সর্বোচ্চ সংখ্যা 2

তাই বিজোড় সংখ্যার সাথে সর্বোচ্চ দুটি T পাওয়ার অনুকূল ফল = 3 × 4

= 12

জোড় ও বিজোড় ফল পরস্পর বিচ্ছিন্ন

তাই অথবা ঘটনার মোট অনুকূল ফল,

= 12 + 12

= 24

অতএব নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$=\frac{24}{24}$

= 1