ধরি,

$f(x)=x³+2x²-5x-6$

x = 2 বসিয়ে পাই,

f(2) = 8 + 8 − 10 − 6

= 0

তাই (x − 2) একটি উৎপাদক

ভাগ করে পাই,

$x³+2x²-5x-6$

$=(x-2)(x²+4x+3)$

$=(x-2)(x+1)(x+3)$

অতএব উৎপাদকে বিশ্লেষিত রাশি $(x-2)(x+1)(x+3)$

$P(x)=x³+3x²-10x-24$

উৎপাদকে বিশ্লেষণ করে পাই,

$P(x)=(x-3)(x+2)(x+4)$

লব ও হরের ঘাত সমান, তাই প্রথমে ভাগ করে পাই,

$\frac{3x³}{P(x)}=3+\frac{-9x²+30x+72}{(x-3)(x+2)(x+4)}$

ধরি,

$\frac{-9x²+30x+72}{(x-3)(x+2)(x+4)}=\frac{A}{x-3}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x+4}$

x = 3, −2 এবং −4 বসিয়ে যথাক্রমে পাই,

$A=\frac{81}{35}$

$B=\frac{12}{5}$

$C=-\frac{96}{7}$

অতএব,

$\frac{3x³}{P(x)}=3+\frac{81}{35(x-3)}+\frac{12}{5(x+2)}-\frac{96}{7(x+4)}$

p, q, r অশূন্য ধরে,

$x=\frac{1}{p},\ y=\frac{1}{q},\ z=\frac{1}{r}$

তাহলে,

A = x³ + y³ + z³ − 3xyz

পরিচিত সূত্র অনুযায়ী,

$x³+y³+z³-3xyz$

$=(x+y+z)(x²+y²+z²-xy-yz-zx)$

A = 0 হলে,

x + y + z = 0

অথবা

x = y = z

যদি x = y = z হয়, তবে

$\frac{1}{p}=\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$

অতএব p = q = r

আবার x + y + z = 0 হলে,

$\frac{1}{p}+\frac{1}{q}+\frac{1}{r}=0$

$\frac{qr+rp+pq}{pqr}=0$

অতএব pq + qr + rp = 0

সুতরাং p = q = r অথবা pq + qr + rp = 0

দেওয়া আছে,

প্রথম পদ $a=\frac{1}{2}$

এবং অসীমতক সমষ্টি $S_\infty=\frac{1}{3}$

গুণোত্তর ধারার সূত্র অনুযায়ী,

$S_\infty=\frac{a}{1-r}$

তাই,

$\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{2}}{1-r}$

1 − r = 3/2

$r=1-\frac{3}{2}$

$=-\frac{1}{2}$

অতএব সাধারণ অনুপাত $-\frac{1}{2}$

ধারাটি,

30 + 330 + 3330 + ⋯

k-তম পদ,

$T_k=30+300+3000+\cdots+3\times10^k$

$=\frac{10}{3}(10^k-1)$

তাই n সংখ্যক পদের যোগফল,

$S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{10}{3}(10^k-1)$

$=\frac{10}{3}\left(\sum_{k=1}^{n}10^k-n\right)$

এখন,

$\sum_{k=1}^{n}10^k=\frac{10(10^n-1)}{9}$

অতএব,

$S_n=\frac{10}{3}\left\{\frac{10(10^n-1)}{9}-n\right\}$

$=\frac{100(10^n-1)-90n}{27}$

ধারাটি,

$1+(3x-5)^{-1}+(3x-5)^{-2}+\cdots$

এখানে প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত,

$r=\frac{1}{3x-5}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{3x-5}\right|<1$

$|3x-5|>1$

অতএব x > 2 অথবা $x<\frac{4}{3}$

এখন,

$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{3x-5}}$

$=\frac{3x-5}{3x-6}$

$=\frac{3x-5}{3(x-2)}$

অতএব x > 2 অথবা $x<\frac{4}{3}$ হলে অসীমতক সমষ্টি $\frac{3x-5}{3(x-2)}$

ধরি,

$x^a=y^b=z^c=t$

তাহলে,

$x=t^{\frac{1}{a}},\ y=t^{\frac{1}{b}},\ z=t^{\frac{1}{c}}$

দেওয়া আছে,

y² = xz

তাই,

$t^{\frac{2}{b}}=t^{\frac{1}{a}+\frac{1}{c}}$

যদি t > 0 এবং t ≠ 1 হয়, তবে ঘাত তুলনা করে পাই,

$\frac{2}{b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}$

অতএব $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

তবে প্রশ্নে t ≠ 1 শর্তটি নেই

t = 1 হলে x = y = z = 1 নিয়ে যেকোনো অশূন্য a, b, c-এর জন্য প্রদত্ত সমীকরণগুলো সত্য, কিন্তু দাবিকৃত সম্পর্কটি অবশ্যই সত্য হয় না

অতএব t ≠ 1 শর্ত ছাড়া দাবিটি সর্বদা প্রমাণযোগ্য নয়

উদ্দীপকের লগারিদমগুলোকে যথাক্রমে $\log_p(qr)$, $\log_q(pr)$ ও $\log_r(pq)$ হিসেবে বিবেচনা করি

তাহলে,

m + 3 = logₚ(qr) + 1

$=\log_p(qr)+\log_p p$

$=\log_p(pqr)$

একইভাবে,

$n+4=\log_q(pqr)$

এবং

$k+5=\log_r(pqr)$

তাই,

$(m+3)^{-1}+(n+4)^{-1}+(k+5)^{-1}$

$=\frac{1}{\log_p(pqr)}+\frac{1}{\log_q(pqr)}+\frac{1}{\log_r(pqr)}$

ভিত্তি পরিবর্তনের সূত্র অনুযায়ী,

$=\log_{pqr}p+\log_{pqr}q+\log_{pqr}r$

$=\log_{pqr}(pqr)$

= 1

অতএব প্রমাণিত

ধরি,

$a^{\frac{1}{x}}=b^{\frac{1}{y}}=c^{\frac{1}{z}}=t$

তাহলে,

a = tˣ, b = tʸ এবং c = tᶻ

আবার abc = 1

তাই,

$t^{x+y+z}=1$

t ≠ 1 হলে x + y + z = 0

এখন ধরি,

A = aˣ, B = aʸ এবং C = aᶻ

তাহলে ABC = 1

প্রথম পদ,

$\frac{1}{a^y+a^{-z}+1}$

$=\frac{1}{B+AB+1}$

কারণ $a^{-z}=a^{x+y}=AB$

দ্বিতীয় পদ,

$\frac{1}{a^z+a^{-x}+1}$

$=\frac{1}{C+BC+1}$

লব ও হরকে AB দ্বারা গুণ করে পাই,

$=\frac{AB}{1+B+AB}$

তৃতীয় পদ,

$\frac{1}{a^x+a^{-y}+1}$

$=\frac{1}{A+AC+1}$

লব ও হরকে B দ্বারা গুণ করে পাই,

$=\frac{B}{1+B+AB}$

অতএব প্রদত্ত যোগফল,

$=\frac{1+AB+B}{1+B+AB}$

= 1

t = 1 হলেও a = b = c = 1 এবং প্রতিটি পদ 1/3 হওয়ায় যোগফল 1

অতএব প্রমাণিত

P বিন্দুর স্থানাঙ্ক (−3, 4) এবং রেখার ঢাল −4

বিন্দু-ঢাল সূত্র অনুযায়ী,

y − 4 = −4(x + 3)

y − 4 = −4x − 12

অতএব রেখার সমীকরণ,

4x + y + 8 = 0

P(−3, 4), Q(−5, −6), R(3, −6) এবং S(5, 4)

PQ রেখার ঢাল,

$m_{PQ}=\frac{-6-4}{-5-(-3)}$

$=\frac{-10}{-2}$

= 5

RS রেখার ঢাল,

$m_{RS}=\frac{4-(-6)}{5-3}$

$=\frac{10}{2}$

= 5

অতএব PQ ∥ RS

আবার Q ও R-এর y-স্থানাঙ্ক সমান এবং P ও S-এর y-স্থানাঙ্ক সমান

তাই QR ∥ PS

চতুর্ভুজটির উভয় জোড়া বিপরীত বাহু পরস্পর সমান্তরাল

অতএব PQRS একটি সামান্তরিক

Q(−5, −6) ও S(5, 4) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{QS}=\frac{4-(-6)}{5-(-5)}$

$=\frac{10}{10}$

= 1

Q বিন্দু ব্যবহার করে রেখার সমীকরণ,

y + 6 = 1(x + 5)

y = x − 1

রেখাটি y-অক্ষকে A বিন্দুতে ছেদ করে, তাই x = 0

y = −1

অতএব A বিন্দুর স্থানাঙ্ক (0, −1)

(3, 4) ও (−3, 6) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m=\frac{6-4}{-3-3}$

$=\frac{2}{-6}$

$=-\frac{1}{3}$

রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে θ কোণ উৎপন্ন করলে,

tan θ = m

$=-\frac{1}{3}$

রেখার ঢাল ঋণাত্মক এবং 0 < θ < π

তাই θ দ্বিতীয় চতুর্ভাগের কোণ

অতএব θ একটি স্থূলকোণ

P, Q, R ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{p},\vec{q},\vec{r},\vec{s}$ ধরি

X, Y, Z ও M যথাক্রমে PQ, QR, RS ও SP-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{x}=\frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}$

$\vec{y}=\frac{\vec{q}+\vec{r}}{2}$

$\vec{z}=\frac{\vec{r}+\vec{s}}{2}$

$\vec{m}=\frac{\vec{s}+\vec{p}}{2}$

এখন,

$\vec{XY}=\vec{y}-\vec{x}$

$=\frac{\vec{r}-\vec{p}}{2}$

এবং

$\vec{MZ}=\vec{z}-\vec{m}$

$=\frac{\vec{r}-\vec{p}}{2}$

তাই $\vec{XY}=\vec{MZ}$

একইভাবে,

$\vec{YZ}=\frac{\vec{s}-\vec{q}}{2}$

এবং

$\vec{XM}=\frac{\vec{s}-\vec{q}}{2}$

তাই $\vec{YZ}=\vec{XM}$

অতএব XYZM-এর উভয় জোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল

সুতরাং XYZM একটি সামান্তরিক

P, Q, R ও S বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{p},\vec{q},\vec{r},\vec{s}$ ধরি

D ও E যথাক্রমে PQ ও SR বাহুর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{d}=\frac{\vec{p}+\vec{q}}{2}$

এবং

$\vec{e}=\frac{\vec{s}+\vec{r}}{2}$

অতএব,

$\vec{DE}=\vec{e}-\vec{d}$

$=\frac{1}{2}\{(\vec{s}-\vec{p})+(\vec{r}-\vec{q})\}$

$=\frac{1}{2}(\vec{PS}+\vec{QR})$

দেওয়া আছে PS ∥ QR

তাই $\vec{PS}$ ও $\vec{QR}$ সমান্তরাল

অতএব $\vec{DE}$-ও তাদের সমান্তরাল

সুতরাং DE ∥ PS ∥ QR

এবং,

$DE=\frac{1}{2}(PS+QR)$

প্রশ্নে DE ∥ PS ∥ SR লেখা হয়েছে, কিন্তু উদ্দীপক অনুযায়ী সঠিক সম্পর্ক DE ∥ PS ∥ QR

সেক্যান্ট একটি জোড় ফাংশন, তাই

$\sec\left(-\frac{31\pi}{6}\right)=\sec\frac{31\pi}{6}$

$=\sec\left(4\pi+\frac{7\pi}{6}\right)$

$=\sec\frac{7\pi}{6}$

$=\frac{1}{-\frac{\sqrt{3}}{2}}$

$=-\frac{2}{\sqrt{3}}$

$=-\frac{2\sqrt{3}}{3}$

দেওয়া আছে,

$A=\frac{\pi}{9}$

$B=\frac{7\pi}{18}=\frac{\pi}{2}-A$

$C=\frac{10\pi}{9}=\pi+A$

$D=\frac{11\pi}{18}=\pi-B$

তাই,

sin²B = cos²A

sin²C = sin²A

এবং

sin²D = sin²B = cos²A

অতএব,

sin²A + sin²B + sin²C + sin²D

= sin²A + cos²A + sin²A + cos²A

= 1 + 1

= 2

অতএব প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

P = sec θ এবং Q = tan θ

তাই,

P² + Q² = 7

sec²θ + tan²θ = 7

$\sec²\theta=1+\tan²\theta$ বসিয়ে পাই,

1 + 2tan²θ = 7

2tan²θ = 6

tan²θ = 3

tan θ = ±√3

যেহেতু 0 < θ < 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3},\frac{4\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কার নমুনাক্ষেত্র,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

একই সঙ্গে জোড় ও মৌলিক সংখ্যা শুধু 2

অনুকূল ঘটনা,

A = {2}

তাই,

$P(A)=\frac{1}{6}$

ঝুড়িতে মোট মার্বেলের সংখ্যা,

15 + 17 + 20 = 52

চারটি মার্বেলই সাদা হওয়ার সম্ভাবনা,

$P(W)=\frac{20}{52}\times\frac{19}{51}\times\frac{18}{50}\times\frac{17}{49}$

$=\frac{57}{3185}$

অতএব সবগুলো মার্বেল সাদা না হওয়ার সম্ভাবনা,

$=1-P(W)$

$=1-\frac{57}{3185}$

$=\frac{3128}{3185}$

তিনবার মুদ্রা নিক্ষেপের নমুনাক্ষেত্র,

S = {HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

তাই n(S) = 8

অনধিক 2H অর্থাৎ সর্বোচ্চ দুটি H পাওয়ার ঘটনা,

A = {HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT}

তাই,

$P(A)=\frac{7}{8}$

কমপক্ষে 2T পাওয়ার ঘটনা,

B = {HTT, THT, TTH, TTT}

তাই,

$P(B)=\frac{4}{8}$

$=\frac{1}{2}$

অতএব probability tree অনুযায়ী সম্ভাবনাদ্বয়ের পার্থক্য,

$P(A)-P(B)$

$=\frac{7}{8}-\frac{4}{8}$

$=\frac{3}{8}$