রাশিটি,

S = x² + y² + z² + 2xyz

x ও y অদলবদল করলে,

S = y² + x² + z² + 2yxz

= x² + y² + z² + 2xyz

একইভাবে x, y, z-এর যেকোনো দুটি চলক অদলবদল করলেও রাশিটির মান অপরিবর্তিত থাকে

অতএব $x²+y²+z²+2xyz$ একটি প্রতিসম রাশি

$P(x)=x³+6x²+11x-6$

P(x)-কে (x + r) দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ P(−r)

শর্তানুসারে,

P(−r) = −12

$(-r)³+6(-r)²+11(-r)-6=-12$

−r³ + 6r² − 11r − 6 = −12

r³ − 6r² + 11r − 6 = 0

$(r-1)(r-2)(r-3)=0$

অতএব r = 1, 2 অথবা 3

$Q(x)=(x-1)(x²+1)$

$=x³-x²+x-1$

P(x)-কে Q(x) দ্বারা ভাগ করে পাই,

$\frac{P(x)}{Q(x)}=1+\frac{7x²+10x-5}{(x-1)(x²+1)}$

ধরি,

$\frac{7x²+10x-5}{(x-1)(x²+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x²+1}$

7x² + 10x − 5 = A(x² + 1) + (Bx + C)(x − 1)

সহগ তুলনা করে পাই,

A + B = 7

C − B = 10

A − C = −5

সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই,

A = 6, B = 1, C = 11

অতএব,

$\frac{P(x)}{Q(x)}=1+\frac{6}{x-1}+\frac{x+11}{x²+1}$

$0.\dot{1}2\dot{3}=0.123123123\cdots$

$=\frac{123}{10³}+\frac{123}{10⁶}+\frac{123}{10⁹}+\cdots$

এটি একটি অসীম গুণোত্তর ধারা

প্রথম পদ,

$a=\frac{123}{10³}$

সাধারণ অনুপাত,

$r=\frac{123/10⁶}{123/10³}$

$=\frac{1}{10³}$

$=\frac{1}{1000}$

অতএব সাধারণ অনুপাত $\frac{1}{1000}$

x = 3 হলে,

$a=\frac{1}{x+2}=\frac{1}{5}$

$r=\frac{1}{x+2}=\frac{1}{5}$

12তম পদ,

$T_{12}=ar^{11}$

$=\frac{1}{5}\left(\frac{1}{5}\right)^{11}$

$=\frac{1}{5^{12}}$

প্রথম 12টি পদের সমষ্টি,

$S_{12}=\frac{a(1-r^{12})}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{5}\left[1-\left(\frac{1}{5}\right)^{12}\right]}{1-\frac{1}{5}}$

$=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5^{12}}\right)$

অতএব $T_{12}=\frac{1}{5^{12}}$ এবং $S_{12}=\frac{1}{4}\left(1-\frac{1}{5^{12}}\right)$

অসীম গুণোত্তর ধারার সমষ্টি থাকার শর্ত,

|r| < 1

এখানে,

$r=\frac{1}{x+2}$

তাই,

$\left|\frac{1}{x+2}\right|<1$

|x + 2| > 1

অতএব x < −3 অথবা x > −1

এই শর্তে অসীমতক সমষ্টি,

$S_\infty=\frac{a}{1-r}$

$=\frac{\frac{1}{x+2}}{1-\frac{1}{x+2}}$

$=\frac{1}{x+1}$

অতএব x < −3 অথবা x > −1 হলে $S_\infty=\frac{1}{x+1}$

প্যাসকেলের ত্রিভুজের 5ম ঘাতের সহগগুলো 1, 5, 10, 10, 5, 1

$(1-2x)^5$

$=1+5(-2x)+10(-2x)²+10(-2x)³+5(-2x)⁴+(-2x)⁵$

$=1-10x+40x²-80x³+80x⁴-32x⁵$

$P=(2+bx)^n$, যেখানে $b=\frac{2}{3}$

x⁵-এর সহগ,

$C_5=\binom{n}{5}2^{n-5}\left(\frac{2}{3}\right)^5$

x⁶-এর সহগ,

$C_6=\binom{n}{6}2^{n-6}\left(\frac{2}{3}\right)^6$

শর্তানুসারে,

C₅ = 3C₆

$\frac{C_5}{C_6}=3$

$\frac{\binom{n}{5}}{\binom{n}{6}}\times2\times\frac{3}{2}=3$

$\frac{6}{n-5}\times3=3$

$\frac{18}{n-5}=3$

n − 5 = 6

n = 11

অতএব n = 11

b = −1/2 এবং n = 7 হলে,

$P=\left(2-\frac{x}{2}\right)^7$

প্রথম চারটি পদ,

$T_1=2^7=128$

$T_2=\binom{7}{1}2^6\left(-\frac{x}{2}\right)=-224x$

$T_3=\binom{7}{2}2^5\left(-\frac{x}{2}\right)^2=168x²$

$T_4=\binom{7}{3}2^4\left(-\frac{x}{2}\right)^3=-70x³$

অতএব প্রথম চারটি পদ 128 − 224x + 168x² − 70x³

$(1.95)^7$-এর জন্য,

$2-\frac{x}{2}=1.95$

x = 0.1

পূর্ণ বিস্তৃতি ব্যবহার করে,

$(1.95)^7=128-224(0.1)+168(0.1)^2-70(0.1)^3$

$\quad+17.5(0.1)^4-2.625(0.1)^5+0.21875(0.1)^6-0.0078125(0.1)^7$

$=107.211723967\cdots$

চার দশমিক স্থান পর্যন্ত $(1.95)^7=107.2117$

সরলরেখাটি (−2, −3) বিন্দুগামী এবং ঢাল $\frac{1}{2}$

বিন্দু-ঢাল আকারে,

$y-(-3)=\frac{1}{2}[x-(-2)]$

$y+3=\frac{1}{2}(x+2)$

y-অক্ষের ওপর x = 0

$y+3=\frac{1}{2}(0+2)$

$y+3=1$

y = −2

অতএব y-অক্ষের ছেদক −2

A(1, −2), B(5, 6) এবং C(k, 2k)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল,

$\Delta=\frac{1}{2}|x_1(y_2-y_3)+x_2(y_3-y_1)+x_3(y_1-y_2)|$

$=\frac{1}{2}|1(6-2k)+5(2k+2)+k(-2-6)|$

$=\frac{1}{2}|6-2k+10k+10-8k|$

$=\frac{1}{2}|16|$

$=8$

ক্ষেত্রফল k-এর ওপর নির্ভর করে না এবং সব k-এর জন্য 8 বর্গ একক

তাই ক্ষেত্রফল 12 বর্গ একক হওয়ার মতো কোনো k নেই

প্রদত্ত 12 বর্গ একক শর্তটি বিন্দুগুলোর সঙ্গে অসামঞ্জস্যপূর্ণ

P(x, y) বিন্দুটি A(1, −2) ও B(5, 6) থেকে সমদূরবর্তী

$PA²=PB²$

$(x-1)²+(y+2)²=(x-5)²+(y-6)²$

$x²-2x+1+y²+4y+4=x²-10x+25+y²-12y+36$

8x + 16y − 56 = 0

x + 2y − 7 = 0

x-অক্ষের ওপর y = 0

x − 7 = 0

x = 7

অতএব x-অক্ষের খণ্ডিতাংশের দৈর্ঘ্য 7 একক

$\vec a+\vec b$-এর বিপরীত ভেক্টর হলো $-(\vec a+\vec b)$

এখন,

$(\vec a+\vec b)+(-\vec a-\vec b)$

$=\vec a+\vec b-\vec a-\vec b$

$=(\vec a-\vec a)+(\vec b-\vec b)$

$=\vec 0$

অতএব $-\vec a-\vec b$ হলো $\vec a+\vec b$-এর বিপরীত ভেক্টর

বিপরীত ভেক্টর অদ্বিতীয় বলে,

$-(\vec a+\vec b)=-\vec a-\vec b$

ত্রিভুজ PQR-এ M ও N যথাক্রমে PQ ও PR-এর মধ্যবিন্দু ধরে নিই

P, Q, R-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec p,\vec q,\vec r$

তাহলে,

$\vec m=\frac{\vec p+\vec q}{2}$

$\vec n=\frac{\vec p+\vec r}{2}$

$\overrightarrow\{MN\}=\vec n-\vec m$

$=\frac{\vec p+\vec r}{2}-\frac{\vec p+\vec q}{2}$

$=\frac{\vec r-\vec q}{2}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow\{QR\}$

অতএব MN ∥ QR এবং $MN=\frac{1}{2}QR$

ট্রাপিজিয়াম DERQ-তে DE ∥ QR এবং M, N যথাক্রমে QE ও DR কর্ণের মধ্যবিন্দু ধরে নিই

D, E, Q, R-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec d,\vec e,\vec q,\vec r$

তাহলে,

$\vec m=\frac{\vec q+\vec e}{2}$

$\vec n=\frac{\vec d+\vec r}{2}$

$\overrightarrow\{MN\}=\vec n-\vec m$

$=\frac{\vec d+\vec r-\vec q-\vec e}{2}$

$=\frac{1}{2}[(\vec r-\vec q)-(\vec e-\vec d)]$

$=\frac{1}{2}(\overrightarrow\{QR\}-\overrightarrow\{DE\})$

যেহেতু $\overrightarrow\{DE\}$ ও $\overrightarrow\{QR\}$ সমান্তরাল, তাই তাদের অন্তরও একই দিকের সমান্তরাল ভেক্টর

অতএব MN ∥ DE ∥ QR এবং $MN=\frac{1}{2}(QR-DE)$

stored প্রশ্নে M ও N-এর মধ্যবিন্দু হওয়ার শর্তটি লেখা নেই, তাই প্রমাণটি চিত্রের প্রচলিত midpoint শর্তে সম্পন্ন করা হয়েছে

$\sin²\frac{3\pi}{4}+\sin²\frac{5\pi}{4}$

$=\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)^2$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}$

= 1

অতএব মান 1

চিত্রের সমকোণী ত্রিভুজ OAD-এ,

$\frac{AD}{OA}=\tan\theta$

$\frac{OD}{OA}=\sec\theta$

শর্তানুসারে,

x = tan θ + sec θ

$(\sec\theta+\tan\theta)(\sec\theta-\tan\theta)=1$

তাই,

$\sec\theta-\tan\theta=\frac{1}{x}$

যোগ করে পাই,

$2\sec\theta=x+\frac{1}{x}$

বিয়োগ করে পাই,

$2\tan\theta=x-\frac{1}{x}$

$\sin\theta=\frac{\tan\theta}{\sec\theta}$

$=\frac{x-\frac{1}{x}}{x+\frac{1}{x}}$

$=\frac{x²-1}{x²+1}$

অতএব,

$\csc\theta=\frac{x²+1}{x²-1}$

চিত্র থেকে,

$\frac{AD}{OA}=\tan\theta$

$\frac{OD}{OA}=\sec\theta$

শর্তানুসারে,

$\tan²\theta+\sec²\theta=\frac{5}{3}$

$\sec²\theta=1+\tan²\theta$ বসিয়ে পাই,

$2\tan²\theta+1=\frac{5}{3}$

$2\tan²\theta=\frac{2}{3}$

$\tan²\theta=\frac{1}{3}$

$\tan\theta=\pm\frac{1}{\sqrt3}$

রেফারেন্স কোণ $\frac{\pi}{6}$

$0<\theta<2\pi$ হলে,

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

চতুস্তলকের পৃষ্ঠগুলো A, B, C ও D

মোট সমসম্ভাব্য ফল 4টি

এদের মধ্যে vowel কেবল A

অনুকূল ফল 1টি

অতএব vowel আসার সম্ভাবনা,

$P=\frac{1}{4}$

দিনাজপুর থেকে ঢাকা বাসে যাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{3}{5}$

তাই বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা,

$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$

ঢাকা থেকে বরিশাল প্লেনে যাওয়ার সম্ভাবনা $\frac{2}{3}$

Probability tree অনুযায়ী প্রয়োজনীয় সম্ভাবনা,

$P(\text{বাস নয় এবং প্লেন})$

$=\frac{2}{5}\times\frac{2}{3}$

$=\frac{4}{15}$

মুদ্রায় H আসার সম্ভাবনা,

$P(H)=\frac{1}{2}$

ছক্কার মৌলিক সংখ্যাগুলো 2, 3, 5

তাই মৌলিক সংখ্যা আসার সম্ভাবনা,

$P(\text{মৌলিক})=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$

ঘটনা দুটি স্বাধীন

Probability tree অনুযায়ী,

$P(H\text{ এবং মৌলিক})$

$=\frac{1}{2}\times\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{4}$