ধরি,

$P(a)=18a³-a²x-a-2$

যেহেতু (3a + 2) একটি উৎপাদক, তাই

$a=-\frac{2}{3}$ হলে P(a) = 0

$18\left(-\frac{2}{3}\right)³-\left(-\frac{2}{3}\right)²x-\left(-\frac{2}{3}\right)-2=0$

$-\frac{16}{3}-\frac{4x}{9}+\frac{2}{3}-2=0$

$-\frac{20}{3}-\frac{4x}{9}=0$

উভয় পক্ষকে 9 দ্বারা গুণ করে পাই,

−60 − 4x = 0

−4x = 60

অতএব x = −15

ধারাটি,

$(5-3x)^{-1}+(5-3x)^{-2}+(5-3x)^{-3}+\cdots$

এখানে প্রথম পদ ও সাধারণ অনুপাত,

$a=r=\frac{1}{5-3x}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{5-3x}\right|<1$

$|5-3x|>1$

অতএব $x<\frac{4}{3}$ অথবা x > 2

এখন,

$S_\infty=\frac{\frac{1}{5-3x}}{1-\frac{1}{5-3x}}$

$=\frac{1}{4-3x}$

অতএব $x<\frac{4}{3}$ অথবা x > 2 হলে অসীমতক সমষ্টি $\frac{1}{4-3x}$

$B=x³-1$

$=(x-1)(x²+x+1)$

লব ও হরের ঘাত সমান, তাই ভাগ করে পাই,

$\frac{3x³}{x³-1}=3+\frac{3}{x³-1}$

ধরি,

$\frac{3}{(x-1)(x²+x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{Bx+C}{x²+x+1}$

তাহলে,

3 = A(x² + x + 1) + (Bx + C)(x − 1)

সহগ তুলনা করে পাই,

A + B = 0

A − B + C = 0

A − C = 3

সমাধান করে পাই,

A = 1, B = −1 এবং C = −2

অতএব,

$\frac{3x³}{B}=3+\frac{1}{x-1}-\frac{x+2}{x²+x+1}$

x > 0 এবং y > 0 ধরি

দেওয়া আছে,

xʸ = yˣ

তাই,

$\left(\frac{x}{y}\right)^x=\frac{x^x}{y^x}$

$=\frac{x^x}{x^y}$

$=x^{x-y}$

উভয় পক্ষের y-তম মূল নিয়ে পাই,

$\left(\frac{x}{y}\right)^{\frac{x}{y}}=x^{\frac{x-y}{y}}$

$=x^{\frac{x}{y}-1}$

অতএব প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

$A=\log_k(5y+9)-2\log_k y$

A = 0 হলে,

$\log_k(5y+9)=2\log_k y$

$=\log_k y²$

লগারিদম সংজ্ঞায়িত হওয়ার জন্য y > 0

তাই,

5y + 9 = y²

y² − 5y − 9 = 0

দ্বিঘাত সমীকরণের সূত্র অনুযায়ী,

$y=\frac{5\pm\sqrt{25+36}}{2}$

$=\frac{5\pm\sqrt{61}}{2}$

y > 0 হওয়ায় ঋণাত্মক মানটি গ্রহণযোগ্য নয়

অতএব $y=\frac{5+\sqrt{61}}{2}$

$f(x)=\ln\left(\frac{9+x}{9-x}\right)$

ডোমেনের জন্য,

$\frac{9+x}{9-x}>0$

সংকটবিন্দু x = −9 এবং x = 9

লব ও হর উভয়ই ধনাত্মক হলে,

x > −9 এবং x < 9

অর্থাৎ −9 < x < 9

লব ও হর উভয়ই ঋণাত্মক হওয়ার শর্ত একই সঙ্গে পূরণ সম্ভব নয়

অতএব ডোমেন,

(−9, 9)

প্যাসকেলের ত্রিভুজে চতুর্থ ঘাতের সহগগুলো,

1, 4, 6, 4, 1

তাই,

$\left(1-\frac{3x}{2}\right)^4$

$=1+4\left(-\frac{3x}{2}\right)+6\left(-\frac{3x}{2}\right)²+4\left(-\frac{3x}{2}\right)³+\left(-\frac{3x}{2}\right)⁴$

$=1-6x+\frac{27}{2}x²-\frac{27}{2}x³+\frac{81}{16}x⁴$

$A=\left(2-\frac{x}{2}\right)^7$

x³ পর্যন্ত বিস্তৃত করে পাই,

$A=128-224x+168x²-70x³+\cdots$

তাই,

$(3+x)A$

$=(3+x)(128-224x+168x²-70x³+\cdots)$

$=384-544x+280x²-42x³+\cdots$

এখন,

$3.1\times(1.95)^7$

$=(3+0.1)\left(2-\frac{0.1}{2}\right)^7$

উপরের আসন্ন বিস্তৃতিতে x = 0.1 বসিয়ে পাই,

$3.1\times(1.95)^7$

$\approx384-544(0.1)+280(0.1)²-42(0.1)³$

= 384 − 54.4 + 2.8 − 0.042

= 332.358

অতএব x³ পর্যন্ত বিস্তৃতি ব্যবহার করে আসন্ন মান 332.358

$B=\left(2+\frac{1}{x}\right)^n$

সাধারণ পদ,

$T_{r+1}=\binom{n}{r}2^{n-r}x^{-r}$

চতুর্থ পদের সহগ,

$\binom{n}{3}2^{n-3}$

পঞ্চম পদের সহগ,

$\binom{n}{4}2^{n-4}$

শর্তানুসারে,

$\binom{n}{3}2^{n-3}=\frac{1}{2}\binom{n}{4}2^{n-4}$

$4\binom{n}{3}=\binom{n}{4}$

এখন,

$\frac{\binom{n}{4}}{\binom{n}{3}}=\frac{n-3}{4}$

তাই,

$4=\frac{n-3}{4}$

n − 3 = 16

অতএব n = 19

রেখাটি,

$x-\sqrt{3}y+5=0$

ঢাল-ছেদ রূপে লিখে পাই,

$y=\frac{1}{\sqrt{3}}x+\frac{5}{\sqrt{3}}$

তাই রেখাটির ঢাল,

$m=\frac{1}{\sqrt{3}}$

রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে α কোণ উৎপন্ন করলে,

tan α = m

$=\frac{1}{\sqrt{3}}$

অতএব $\alpha=\frac{\pi}{6}$ অর্থাৎ 30°

সামান্তরিকের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে

তাই অবস্থান ভেক্টরের সূত্র অনুযায়ী,

$\vec{P}+\vec{R}=\vec{Q}+\vec{S}$

অতএব,

$\vec{Q}=\vec{P}+\vec{R}-\vec{S}$

$=(-9,-3)+(12,3)-(-4,9)$

$=(7,-9)$

অতএব Q বিন্দুর স্থানাঙ্ক (7, −9)

P(−9, −3) ও S(−4, 9) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{PS}=\frac{9-(-3)}{-4-(-9)}$

$=\frac{12}{5}$

নির্ণেয় রেখাটি PS-এর সমান্তরাল, তাই এর ঢালও 12/5

এটি R(12, 3) বিন্দুগামী

বিন্দু-ঢাল সূত্র অনুযায়ী,

$y-3=\frac{12}{5}(x-12)$

5y − 15 = 12x − 144

অতএব রেখার সমীকরণ,

12x − 5y − 129 = 0

$\vec{a}$-এর বিপরীত ভেক্টর $-\vec{a}$

তাই,

$\vec{a}+(-\vec{a})=\vec{0}$

আবার $-\vec{a}$-এর বিপরীত ভেক্টরকে $-(-\vec{a})$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়

যেহেতু,

$(-\vec{a})+\vec{a}=\vec{0}$

তাই বিপরীত ভেক্টরের এককত্ব অনুযায়ী,

$-(-\vec{a})=\vec{a}$

অতএব প্রমাণিত

ধরি,

$\vec{PQ}=\vec{a}$ এবং $\vec{PR}=\vec{b}$

M ও N যথাক্রমে PQ ও PR-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{PM}=\frac{1}{2}\vec{a}$

এবং

$\vec{PN}=\frac{1}{2}\vec{b}$

এখন,

$\vec{MN}=\vec{PN}-\vec{PM}$

$=\frac{1}{2}(\vec{b}-\vec{a})$

আবার,

$\vec{QR}=\vec{PR}-\vec{PQ}$

$=\vec{b}-\vec{a}$

তাই,

$\vec{MN}=\frac{1}{2}\vec{QR}$

অতএব MN ∥ QR এবং $MN=\frac{1}{2}QR$

M, N, R ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{m},\vec{n},\vec{r},\vec{q}$ ধরি

A, B, C ও D যথাক্রমে MN, NR, RQ ও QM-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{a}=\frac{\vec{m}+\vec{n}}{2}$

$\vec{b}=\frac{\vec{n}+\vec{r}}{2}$

$\vec{c}=\frac{\vec{r}+\vec{q}}{2}$

$\vec{d}=\frac{\vec{q}+\vec{m}}{2}$

এখন,

$\vec{AB}=\vec{b}-\vec{a}$

$=\frac{\vec{r}-\vec{m}}{2}$

এবং,

$\vec{DC}=\vec{c}-\vec{d}$

$=\frac{\vec{r}-\vec{m}}{2}$

তাই $\vec{AB}=\vec{DC}$

একইভাবে,

$\vec{BC}=\frac{\vec{q}-\vec{n}}{2}$

এবং

$\vec{AD}=\frac{\vec{q}-\vec{n}}{2}$

তাই $\vec{BC}=\vec{AD}$

অতএব ABCD-এর উভয় জোড়া বিপরীত বাহু সমান ও সমান্তরাল

সুতরাং ABCD একটি সামান্তরিক

P = cos θ

দেওয়া আছে,

$\theta=-\frac{35\pi}{6}$

কোসাইন একটি জোড় ফাংশন, তাই

$P=\cos\left(-\frac{35\pi}{6}\right)$

$=\cos\frac{35\pi}{6}$

$=\cos\left(4\pi+\frac{11\pi}{6}\right)$

$=\cos\frac{11\pi}{6}$

$=\frac{\sqrt{3}}{2}$

দেওয়া আছে,

$\frac{1+P}{Q}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

এখানে P = cos θ এবং Q = sin θ

তাই,

$\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

অর্ধকোণের সূত্র অনুযায়ী,

$\frac{1+\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\frac{\theta}{2}$

তাই,

$\cot\frac{\theta}{2}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\tan\frac{\theta}{2}=\sqrt{3}$

যেহেতু 0 < θ ≤ 2π, তাই $0<\frac{\theta}{2}\leq\pi$

এই ব্যবধানে,

$\frac{\theta}{2}=\frac{\pi}{3}$

অতএব $\theta=\frac{2\pi}{3}$

দেওয়া আছে,

$Q=\sin\theta=-\frac{5}{13}$

এবং $\frac{P}{Q}$ ধনাত্মক

তাই P = cos θ-ও ঋণাত্মক

$\cos\theta=-\sqrt{1-\sin²\theta}$

$=-\sqrt{1-\frac{25}{169}}$

$=-\frac{12}{13}$

এখন,

$\sin(-\theta)+\cos(-\theta)$

$=-\sin\theta+\cos\theta$

$=\frac{5}{13}-\frac{12}{13}$

$=-\frac{7}{13}$

আবার,

$\sec(-\theta)+\tan(-\theta)$

$=\sec\theta-\tan\theta$

$=-\frac{13}{12}-\frac{5}{12}$

$=-\frac{3}{2}$

অতএব নির্ণেয় মান,

$\frac{-\frac{7}{13}}{-\frac{3}{2}}$

$=\frac{14}{39}$

FUNCTION শব্দটিতে মোট বর্ণের সংখ্যা = 8

স্বরবর্ণগুলো U, I ও O

অনুকূল বর্ণের সংখ্যা = 3

অতএব স্বরবর্ণ পাওয়ার সম্ভাবনা,

$=\frac{3}{8}$

61 থেকে 90 পর্যন্ত মোট স্বাভাবিক সংখ্যা,

= 90 − 61 + 1

= 30

4 এবং 6 উভয়ের গুণিতক হতে হলে সংখ্যাটি তাদের লসাগু 12-এর গুণিতক হতে হবে

61 থেকে 90-এর মধ্যে 12-এর গুণিতক,

72 এবং 84

অনুকূল সংখ্যা = 2

অতএব নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$=\frac{2}{30}$

$=\frac{1}{15}$

সাদা, লাল, কালো ও নীল বলের সংখ্যা যথাক্রমে,

x + 3, x + 2, x + 5 এবং x + 6

মোট বলের সংখ্যা,

= (x + 3) + (x + 2) + (x + 5) + (x + 6)

= 4x + 16

কালো বল পাওয়ার সম্ভাবনা,

$\frac{x+5}{4x+16}$

শর্তানুসারে,

$\frac{x+5}{4x+16}=\frac{3}{11}$

11x + 55 = 12x + 48

x = 7

অতএব,

সাদা বল = x + 3 = 10

লাল বল = x + 2 = 9

কালো বল = x + 5 = 12

নীল বল = x + 6 = 13