ধরি,

$F(x,y,z)=\frac{x}{3y}+\frac{y}{3z}+\frac{z}{3x}$

চক্রক্রমে x → y, y → z এবং z → x বসালে,

$F(y,z,x)=\frac{y}{3z}+\frac{z}{3x}+\frac{x}{3y}$

$=F(x,y,z)$

তাই রাশিটি চক্রক্রমিক

কিন্তু x ও y অদলবদল করলে,

$F(y,x,z)=\frac{y}{3x}+\frac{x}{3z}+\frac{z}{3y}$

যা সাধারণভাবে F(x, y, z)-এর সমান নয়

যেমন x = 1, y = 2, z = 3 হলে,

$F(1,2,3)=\frac{25}{18}$

কিন্তু,

$F(2,1,3)=\frac{23}{18}$

অতএব রাশিটি প্রতিসম নয় কিন্তু চক্রক্রমিক

ভাগশেষ উপপাদ্য অনুযায়ী একই ভাগশেষ থাকার কারণে,

P(m) = P(n)

তাই,

m³ + 7m² + 5m + 10 = n³ + 7n² + 5n + 10

m³ − n³ + 7(m² − n²) + 5(m − n) = 0

$(m-n)[m²+mn+n²+7(m+n)+5]=0$

যেহেতু m ≠ n, তাই m − n ≠ 0

অতএব,

m² + mn + n² + 7m + 7n + 5 = 0

প্রমাণিত

$g(x)=x³-4x²-21x$

$=x(x²-4x-21)$

$=x(x-7)(x+3)$

ধরি,

$\frac{x²-x+1}{g(x)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-7}+\frac{C}{x+3}$

তাহলে,

$x²-x+1=A(x-7)(x+3)+Bx(x+3)+Cx(x-7)$

x = 0 বসিয়ে পাই,

1 = −21A

$A=-\frac{1}{21}$

x = 7 বসিয়ে পাই,

43 = 70B

$B=\frac{43}{70}$

x = −3 বসিয়ে পাই,

13 = 30C

$C=\frac{13}{30}$

অতএব,

$\frac{x²-x+1}{g(x)}=-\frac{1}{21x}+\frac{43}{70(x-7)}+\frac{13}{30(x+3)}$

দ্বিপদী বিস্তৃতির সাধারণ পদ,

$T_{r+1}=\binom{6}{r}(1)^{6-r}\left(-\frac{x}{2}\right)^r$

x⁵ পদের জন্য r = 5

তাই x⁵-এর সহগ,

$\binom{6}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)^5$

$=6\left(-\frac{1}{32}\right)$

$=-\frac{3}{16}$

a = 5 হলে,

S = 1 + 5x

ধারাটির প্রথম পদ 1 এবং সাধারণ অনুপাত,

$r=\frac{1}{S}=\frac{1}{1+5x}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{1+5x}\right|<1$

$|1+5x|>1$

তাই x > 0 অথবা $x<−\frac{2}{5}$

এই শর্তে অসীমতক সমষ্টি,

$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{1+5x}}$

$=\frac{1+5x}{5x}$

$(S)^8=(1+ax)^8$

চতুর্থ পদের x³-এর সহগ,

$\binom{8}{3}a³=56a³$

ষষ্ঠ পদের x⁵-এর সহগ,

$\binom{8}{5}a⁵=56a⁵$

প্রশ্নমতে,

56a³ = 56a⁵

a³(1 − a²) = 0

তাই a = 0 অথবা a² = 1

অতএব বীজগাণিতিকভাবে a = 0, 1, −1

যদি চতুর্থ ও ষষ্ঠ উভয় পদকে অশূন্য পদ বোঝানো হয়, তবে a ≠ 0 এবং সেক্ষেত্রে a = ±1

m, n ও b ধনাত্মক এবং b ≠ 1 ধরি

উভয় পক্ষকে b ভিত্তিক লগারিদম নিলে,

$\log_b\left(m^{\log_b n}\right)=\log_b m\cdot\log_b n$

আবার,

$\log_b\left(n^{\log_b m}\right)=\log_b n\cdot\log_b m$

গুণের বিনিময় সূত্র অনুযায়ী রাশি দুটি সমান

অতএব,

$m^{\log_b n}=n^{\log_b m}$

প্রমাণিত

ধরি,

$\sqrt[x]{a}=\sqrt[y]{b}=\sqrt[z]{c}=\lambda$

তাহলে,

a = λˣ, b = λʸ এবং c = λᶻ

যদি λ = 1 হয়, তবে a = b = c = 1 এবং প্রদত্ত তিনটি ভগ্নাংশের প্রত্যেকটি $\frac{1}{3}$

তাই তাদের সমষ্টি 1

এখন λ ≠ 1 হলে abc = 1 থেকে,

$\lambda^{x+y+z}=1$

তাই,

x + y + z = 0

অর্থাৎ −z = x + y

ধরি,

X = aˣ এবং Y = aʸ

তাহলে,

$a^{-z}=a^{x+y}=XY$

প্রথম হর,

$a^y+a^{-z}+1=Y+XY+1$

ধরি D = 1 + Y + XY

দ্বিতীয় হর,

$a^z+a^{-x}+1$

$=\frac{1}{XY}+\frac{1}{X}+1$

$=\frac{D}{XY}$

তৃতীয় হর,

$a^x+a^{-y}+1$

$=X+\frac{1}{Y}+1$

$=\frac{D}{Y}$

অতএব প্রদত্ত সমষ্টি,

$=\frac{1}{D}+\frac{XY}{D}+\frac{Y}{D}$

$=\frac{1+XY+Y}{D}$

= 1

প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

$p=\frac{\log_k(1+t)}{\log_k t}=2$

ভিত্তি পরিবর্তন সূত্র অনুযায়ী,

$\log_t(1+t)=2$

লগারিদমের সংজ্ঞা থেকে,

1 + t = t²

t² − t − 1 = 0

দ্বিঘাত সূত্র অনুযায়ী,

$t=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$

লগারিদমের ভিত্তি t > 0 হওয়ায়,

$t=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$

অতএব,

$2t=1+\sqrt{5}$

প্রমাণিত

A(−1, 1) ও B(2, 5) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{AB}=\frac{5-1}{2-(-1)}$

$=\frac{4}{3}$

C(7, 5) ও D(4, 1) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{CD}=\frac{1-5}{4-7}$

$=\frac{-4}{-3}$

$=\frac{4}{3}$

যেহেতু $m_{AB}=m_{CD}$, তাই AB ∥ CD

প্রমাণিত

দূরত্ব সূত্র অনুযায়ী,

$AB=\sqrt{(2+1)²+(5-1)²}$

= 5

$BC=\sqrt{(7-2)²+(5-5)²}$

= 5

$CD=\sqrt{(4-7)²+(1-5)²}$

= 5

$DA=\sqrt{(-1-4)²+(1-1)²}$

= 5

অতএব ABCD চতুর্ভুজের চারটি বাহুই সমান

সুতরাং ABCD একটি রম্বস

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে ABCD-এর অংশটি y-অক্ষ, AB এবং AD দ্বারা গঠিত একটি ত্রিভুজ

AB রেখার ঢাল $\frac{4}{3}$

তাই AB-এর সমীকরণ,

$y-1=\frac{4}{3}(x+1)$

x = 0 বসালে,

$y=1+\frac{4}{3}$

$=\frac{7}{3}$

অতএব AB রেখা y-অক্ষকে E$\left(0,\frac{7}{3}\right)$ বিন্দুতে ছেদ করে

AD রেখার সমীকরণ y = 1 এবং এটি y-অক্ষকে F(0, 1) বিন্দুতে ছেদ করে

তাই,

AF = 1 একক

এবং,

$EF=\frac{7}{3}-1$

$=\frac{4}{3}$ একক

দ্বিতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত অংশের ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}\times AF\times EF$

$=\frac{1}{2}\times1\times\frac{4}{3}$

$=\frac{2}{3}$ বর্গ একক

A, B, C ও D বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec a,\vec b,\vec c,\vec d$ ধরি

D যেহেতু BC-এর মধ্যবিন্দু, তাই

$\vec d=\frac{\vec b+\vec c}{2}$

এখন,

$\overrightarrow\{AB\}+\overrightarrow\{AC\}$

$=(\vec b-\vec a)+(\vec c-\vec a)$

$=\vec b+\vec c-2\vec a$

$=2\left(\frac{\vec b+\vec c}{2}-\vec a\right)$

$=2(\vec d-\vec a)$

$=2\overrightarrow\{AD\}$

প্রমাণিত

A, B ও C-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec a,\vec b,\vec c$ ধরি

D, E ও F যথাক্রমে BC, AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু হওয়ায়,

$\overrightarrow\{AD\}=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a}{2}$

$\overrightarrow\{BE\}=\frac{\vec a+\vec c-2\vec b}{2}$

এবং

$\overrightarrow\{CF\}=\frac{\vec a+\vec b-2\vec c}{2}$

তাই,

$\overrightarrow\{AD\}+\overrightarrow\{BE\}+\overrightarrow\{CF\}$

$=\frac{\vec b+\vec c-2\vec a+\vec a+\vec c-2\vec b+\vec a+\vec b-2\vec c}{2}$

$=\vec 0$

প্রমাণিত

A, B ও C-এর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec a,\vec b,\vec c$ ধরি

E ও F যথাক্রমে AC ও AB-এর মধ্যবিন্দু হওয়ায়,

$\vec e=\frac{\vec a+\vec c}{2}$

এবং

$\vec f=\frac{\vec a+\vec b}{2}$

তাই,

$\overrightarrow\{EF\}=\vec f-\vec e$

$=\frac{\vec a+\vec b-\vec a-\vec c}{2}$

$=\frac{\vec b-\vec c}{2}$

$=\frac{1}{2}\overrightarrow\{CB\}$

অতএব EF ও BC সমান্তরাল

অর্থাৎ EF ∥ BC

প্রমাণিত

$\theta=\frac{\pi}{6}$ হলে,

বামপক্ষ,

$\tan2\theta=\tan\frac{\pi}{3}$

= √3

ডানপক্ষ,

$\frac{2\tan\theta}{1-\tan²\theta}$

$=\frac{2\tan\frac{\pi}{6}}{1-\tan²\frac{\pi}{6}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{1-\frac{1}{3}}$

$=\frac{\frac{2}{\sqrt{3}}}{\frac{2}{3}}$

= √3

অতএব বামপক্ষ = ডানপক্ষ

প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

12sin θ = 5cos θ

তাই,

$\tan\theta=\frac{5}{12}$

আবার cos θ < 0 এবং tan θ > 0 হওয়ায় θ তৃতীয় চতুর্ভাগে অবস্থিত

তাই,

$\sin\theta=-\frac{5}{13}$

এবং

$\cos\theta=-\frac{12}{13}$

এখন,

$\cos(-\theta)+\sin(-\theta)$

= cos θ − sin θ

$=-\frac{12}{13}+\frac{5}{13}$

$=-\frac{7}{13}$

এবং,

$\cot\theta-\cosec(-\theta)$

$=\frac{12}{5}-\frac{13}{5}$

$=-\frac{1}{5}$

অতএব,

$\frac{\cos(-\theta)+\sin(-\theta)}{\cot\theta-\cosec(-\theta)}$

$=\frac{-\frac{7}{13}}{-\frac{1}{5}}$

$=\frac{35}{13}$

প্রমাণিত

দেওয়া আছে,

6P² + 2Q² = 3

অর্থাৎ,

6sin²θ + 2cos²θ = 3

$6\sin²\theta+2(1-\sin²\theta)=3$

4sin²θ = 1

$\sin²\theta=\frac{1}{4}$

$\sin\theta=\pm\frac{1}{2}$

যেহেতু 0 < θ < 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কার নমুনাক্ষেত্র,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

মৌলিক সংখ্যা আসার ঘটনা,

A = {2, 3, 5}

তাই,

$P(A)=\frac{3}{6}$

$=\frac{1}{2}$

তিনটি নিরপেক্ষ মুদ্রা একই সঙ্গে নিক্ষেপে মোট সম্ভাব্য ফল,

$2³=8$

চিত্রের probability tree অনুযায়ী ফলগুলো,

HHH, HHT, HTH, HTT, THH, THT, TTH, TTT

প্রতিটি ফলের সম্ভাবনা $\frac{1}{8}$

একই ফল আসার অনুকূল ঘটনা HHH ও TTT

তাই নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$=\frac{2}{8}$

$=\frac{1}{4}$

A ঝুড়িতে মোট বলের সংখ্যা,

= 10 + 14 + 9

= 33

প্রতিস্থাপন না করে পরপর চারটি হলুদ বল পাওয়ার সম্ভাবনা,

$=\frac{9}{33}\times\frac{8}{32}\times\frac{7}{31}\times\frac{6}{30}$

$=\frac{3}{11}\times\frac{1}{4}\times\frac{7}{31}\times\frac{1}{5}$

$=\frac{21}{6820}$