দেওয়া আছে,

$f(y)=y³-7y²+5y+5$

তাই,

$f\left(-\frac{1}{2}\right)$

$=\left(-\frac{1}{2}\right)³-7\left(-\frac{1}{2}\right)²+5\left(-\frac{1}{2}\right)+5$

$=-\frac{1}{8}-\frac{7}{4}-\frac{5}{2}+5$

$=\frac{-1-14-20+40}{8}$

$=\frac{5}{8}$

y = 3 হলে,

$2y-1=5$

ধারাটি হয়,

$1+\frac{1}{5}+\frac{1}{5²}+\cdots$

এখানে a = 1 এবং $r=\frac{1}{5}$

প্রথম 15টি পদের সমষ্টি,

$S_{15}=\frac{a(1-r^{15})}{1-r}$

$=\frac{1-\left(\frac{1}{5}\right)^{15}}{1-\frac{1}{5}}$

$=\frac{5}{4}\left(1-\frac{1}{5^{15}}\right)$

ধারাটির প্রথম পদ a = 1 এবং সাধারণ অনুপাত,

$r=\frac{1}{2y-1}$

অসীমতক সমষ্টি থাকার শর্ত,

$\left|\frac{1}{2y-1}\right|<1$

$|2y-1|>1$

অতএব y > 1 অথবা y < 0

এখন,

$S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{2y-1}}$

$=\frac{2y-1}{2y-2}$

$=\frac{2y-1}{2(y-1)}$

অতএব y > 1 অথবা y < 0 হলে অসীমতক সমষ্টি $\frac{2y-1}{2(y-1)}$

ধরি,

$f(x)=2x³-11x²+17x-6$

x = 3 বসিয়ে পাই,

f(3) = 54 − 99 + 51 − 6

= 0

তাই (x − 3) একটি উৎপাদক

ভাগ করে পাই,

$2x³-11x²+17x-6$

$=(x-3)(2x²-5x+2)$

$=(x-3)(2x-1)(x-2)$

অতএব উৎপাদকে বিশ্লেষিত রাশি $(x-3)(2x-1)(x-2)$

m = 6 হলে,

$P\left(1-\frac{x}{4}\right)^5$

$=\left(1+\frac{x}{4}\right)^6\left(1-\frac{x}{4}\right)^5$

$=\left(1+\frac{x}{4}\right)\left(1-\frac{x²}{16}\right)^5$

$\left(1-\frac{x²}{16}\right)^5$-এ শুধু x-এর জোড় ঘাত আছে

তাই x⁷ পদটি পাওয়া যাবে $\frac{x}{4}$ এবং x⁶ পদের গুণফল থেকে

x⁶-এর সহগ,

$\binom{5}{3}\left(-\frac{1}{16}\right)^3$

$=-\frac{10}{4096}$

অতএব x⁷-এর সহগ,

$=\frac{1}{4}\left(-\frac{10}{4096}\right)$

$=-\frac{5}{8192}$

$Q=(y+1)(y²+4)$

ধরি,

$\frac{y}{(y+1)(y²+4)}=\frac{A}{y+1}+\frac{By+C}{y²+4}$

তাহলে,

y = A(y² + 4) + (By + C)(y + 1)

সহগ তুলনা করে পাই,

A + B = 0

B + C = 1

4A + C = 0

সমীকরণগুলো সমাধান করে পাই,

$A=-\frac{1}{5}$

$B=\frac{1}{5}$

$C=\frac{4}{5}$

অতএব,

$\frac{y}{Q}=-\frac{1}{5(y+1)}+\frac{y+4}{5(y²+4)}$

দেওয়া আছে,

$\log_8\left[62+\sqrt{x²-10x+25}\right]=2$

লগারিদমের সংজ্ঞা অনুযায়ী,

$62+\sqrt{(x-5)²}=8²$

$62+|x-5|=64$

|x − 5| = 2

তাই,

x − 5 = 2 অথবা x − 5 = −2

অতএব x = 7 অথবা x = 3

$f(x)=\ln\frac{7+x}{7-x}$

প্রথমে ডোমেনের শর্ত,

$\frac{7+x}{7-x}>0$

এ থেকে পাই,

−7 < x < 7

রেঞ্জ নির্ণয়ের জন্য ধরি,

$y=\ln\frac{7+x}{7-x}$

তাহলে,

$e^y=\frac{7+x}{7-x}$

সমাধান করে পাই,

$x=\frac{7(e^y-1)}{e^y+1}$

যেকোনো বাস্তব y-এর জন্য eʸ > 0 এবং প্রাপ্ত x সর্বদা −7 < x < 7 পূরণ করে

অতএব f(x)-এর রেঞ্জ সকল বাস্তব সংখ্যা

অর্থাৎ $(-\infty,\infty)$

ধরি,

$t=3^{\frac{1}{3}}$

তাহলে,

$M=t²+t^{-2}$

দেওয়া আছে,

b² − 2 = M

তাই,

b² = t² + t⁻² + 2

$=(t+t^{-1})²$

b ≥ 0 হওয়ায়,

$b=t+t^{-1}$

এখন,

$b³-3b=t³+t^{-3}$

$=3+\frac{1}{3}$

$=\frac{10}{3}$

উভয় পক্ষকে 3 দ্বারা গুণ করে পাই,

3b³ − 9b = 10

অতএব প্রমাণিত

Q(−3, 3) ও R(3, −3) বিন্দুদ্বয়ের সংযোজক রেখার ঢাল,

$m_{QR}=\frac{-3-3}{3-(-3)}$

$=\frac{-6}{6}$

= −1

রেখাটি x-অক্ষের ধনাত্মক দিকের সাথে α কোণ উৎপন্ন করলে,

tan α = −1

এবং 0 < α < π

তাই,

$\alpha=\frac{3\pi}{4}$

অর্থাৎ উৎপন্ন কোণ 135°

P(3, 3), Q(−3, 3) এবং R(3, −3)

PQ রেখাটি অনুভূমিক, কারণ P ও Q-এর y-স্থানাঙ্ক সমান

PR রেখাটি উল্লম্ব, কারণ P ও R-এর x-স্থানাঙ্ক সমান

তাই PQ ⊥ PR

অতএব ∠QPR = 90°

সুতরাং P, Q ও R একটি সমকোণী ত্রিভুজের শীর্ষবিন্দু

P(3, 3), Q(−3, 3), R(3, −3) এবং S(k, −3)

স্থানাঙ্ক সূত্রে PQRS-এর নির্দেশিত ক্ষেত্রফল,

$=\frac{1}{2}|\{3(3)+(-3)(-3)+3(-3)+k(3)\}-\{3(-3)+3(3)+(-3)k+(-3)(3)\}|$

$=|9+3k|$

বিন্দুগুলো ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তিত হওয়ায় নির্দেশিত ক্ষেত্রফল ধনাত্মক

তাই,

9 + 3k = 24

3k = 15

অতএব k = 5

মূলবিন্দু O(0, 0) থেকে (−4, 4) বিন্দুর দূরত্ব,

$=\sqrt{(-4)²+4²}$

$=\sqrt{32}$

মূলবিন্দু থেকে (4, k) বিন্দুর দূরত্ব,

$=\sqrt{4²+k²}$

$=\sqrt{16+k²}$

দূরত্বদ্বয় সমান হওয়ায়,

32 = 16 + k²

k² = 16

অতএব k = 4 অথবা k = −4

L, M ও K বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{l},\vec{m},\vec{k}$ ধরি

P, Q ও R যথাক্রমে LM, MK ও KL-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{p}=\frac{\vec{l}+\vec{m}}{2}$

$\vec{q}=\frac{\vec{m}+\vec{k}}{2}$

$\vec{r}=\frac{\vec{k}+\vec{l}}{2}$

এখন,

$\vec{KP}=\vec{p}-\vec{k}$

$\vec{LQ}=\vec{q}-\vec{l}$

$\vec{MR}=\vec{r}-\vec{m}$

তাই,

$\vec{KP}+\vec{LQ}+\vec{MR}$

$=\frac{\vec{l}+\vec{m}-2\vec{k}+\vec{m}+\vec{k}-2\vec{l}+\vec{k}+\vec{l}-2\vec{m}}{2}$

$=\vec{0}$

অতএব প্রমাণিত

L, M, R ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{l},\vec{m},\vec{r},\vec{q}$ ধরি

S ও T যথাক্রমে LR ও MQ-এর মধ্যবিন্দু

তাই,

$\vec{s}=\frac{\vec{l}+\vec{r}}{2}$

এবং

$\vec{t}=\frac{\vec{m}+\vec{q}}{2}$

অতএব,

$\vec{ST}=\vec{t}-\vec{s}$

$=\frac{1}{2}\{(\vec{m}-\vec{l})+(\vec{q}-\vec{r})\}$

$=\frac{1}{2}(\vec{LM}+\vec{RQ})$

P, Q ও R যথাক্রমে LM, MK ও KL-এর মধ্যবিন্দু হওয়ায়,

RQ ∥ LM

তাই $\vec{ST}$-ও তাদের সমান্তরাল

অতএব ST ∥ RQ ∥ LM

এবং,

$ST=\frac{1}{2}(LM+RQ)$

অতএব প্রমাণিত

$\cot\left(\theta-\frac{17\pi}{2}\right)$

$=\cot\left(\theta-8\pi-\frac{\pi}{2}\right)$

$=\cot\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$

এখন,

$\cot\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)$

$=\frac{\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}{\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right)}$

$=\frac{\sin\theta}{-\cos\theta}$

$=-\tan\theta$

অতএব মান $-\tan\theta$

চিত্রের সমকোণী ত্রিভুজে α কোণের বিপরীত বাহু m এবং সন্নিহিত বাহু n

তাই,

$\sin\alpha=\frac{m}{\sqrt{m²+n²}}$

এবং

$\cos\alpha=\frac{n}{\sqrt{m²+n²}}$

প্রদত্ত সমীকরণ,

$\frac{2m²}{m²+n²}+\frac{3n}{\sqrt{m²+n²}}-3=0$

তাই,

2sin²α + 3cos α − 3 = 0

$2(1-\cos²\alpha)+3\cos\alpha-3=0$

2cos²α − 3cos α + 1 = 0

(2cos α − 1)(cos α − 1) = 0

তাই,

$\cos\alpha=\frac{1}{2}$ অথবা cos α = 1

যেহেতু $0<\alpha<\frac{\pi}{2}$, তাই cos α = 1 গ্রহণযোগ্য নয়

অতএব $\alpha=\frac{\pi}{3}$

দেওয়া আছে,

P² + 2Q² = 2

এখানে P = sec θ এবং Q = tan θ

তাই,

sec²θ + 2tan²θ = 2

$\sec²\theta=1+\tan²\theta$ বসিয়ে পাই,

1 + 3tan²θ = 2

$\tan²\theta=\frac{1}{3}$

$\tan\theta=\pm\frac{1}{\sqrt{3}}$

যেহেতু 0 < θ < 2π, তাই

$\theta=\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6},\frac{7\pi}{6},\frac{11\pi}{6}$

একটি নিরপেক্ষ ছক্কার নমুনাক্ষেত্র,

S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3 দ্বারা বিভাজ্য ফল,

A = {3, 6}

তাই,

$P(A)=\frac{2}{6}$

$=\frac{1}{3}$

ছেলেটির বাসে না যাওয়ার সম্ভাবনা,

$=1-\frac{3}{7}$

$=\frac{4}{7}$

প্লেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা,

$=1-\frac{5}{8}$

$=\frac{3}{8}$

দুটি ভ্রমণ-মাধ্যমের সিদ্ধান্ত স্বাধীন ধরে probability tree অনুযায়ী,

বাসে না যাওয়া এবং প্লেনে না যাওয়ার সম্ভাবনা,

$=\frac{4}{7}\times\frac{3}{8}$

$=\frac{12}{56}$

$=\frac{3}{14}$

চিত্রে B = বাস, NB = বাস নয়, P = প্লেন এবং NP = প্লেন নয়

24 থেকে 60 পর্যন্ত মোট স্বাভাবিক সংখ্যা,

= 60 − 24 + 1

= 37

একই সঙ্গে বিজোড় ও 3-এর গুণিতক সংখ্যাগুলো,

27, 33, 39, 45, 51, 57

অনুকূল সংখ্যা = 6

অতএব নির্ণেয় সম্ভাবনা,

$=\frac{6}{37}$