x⁴−10x²+1=0
x² দ্বারা ভাগ করে পাই
x²+$\frac{1}{x²}$=10
=> (x−$\frac{1}{x}$)²=8
=> x−$\frac{1}{x}$=2√2

ধরি, z=x−$\frac{1}{x}$=2√2
তাহলে x⁵−$\frac{1}{x⁵}$=z⁵+5z³+5z
=2√2{(2√2)⁴+5(2√2)²+5}
=2√2(64+40+5)
=218√2

টাকায় pটি কমলা বিক্রি করে q% ক্ষতি হলে pটি কমলার ক্রয়মূল্য=$\frac{100}{(100−q)}$ টাকা

r% লাভে pটি কমলার বিক্রয়মূল্য={$\frac{100}{(100−q)}$}×{$\frac{(100+r)}{100}$}
=$\frac{(100+r)}{(100−q)}$ টাকা

অতএব 1 টাকায় বিক্রয় করতে হবে
p÷{$\frac{(100+r)}{(100−q)}$}
=p$\frac{(100−q)}{(100+r)}$ টি কমলা

M+N=2
=> $\frac{(x+3p)}{(x−3p)}$+$\frac{(x+3q)}{(x−3q)}$=2

=> 2x²−18pq=2x²−6x(p+q)+18pq
=> x(p+q)=6pq
উভয় পক্ষকে xpq দ্বারা ভাগ করে পাই
=> $\frac{6}{x}$=$\frac{1}{p}$+$\frac{1}{q}$

a²b−2a+b=0
=> b(a²+1)=2a
=> $\frac{(a²+1)}{(2a)}$=$\frac{1}{b}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{\{(a²+1)+2a\}}{\{(a²+1)−2a\}}$=$\frac{(1+b)}{(1−b)}$
=> $\frac{(a+1)}{(a−1)}$=$\frac{√(1+b)}{√(1−b)}$

পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{\{(a+1)+(a−1)\}}{\{(a+1)−(a−1)\}}$=$\frac{\{√(1+b)+√(1−b)\}}{\{√(1+b)−√(1−b)\}}$
=> a=$\frac{\{√(1+b)+√(1−b)\}}{\{√(1+b)−√(1−b)\}}$

AB=p=6 সেমি আঁকি এবং এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি
O কেন্দ্র করে OA ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি

A কেন্দ্র করে q=4 সেমি ব্যাসার্ধে চাপ এঁকে অর্ধবৃত্তকে C বিন্দুতে ছেদ করাই
AC ও BC যোগ করি
AB ব্যাসের উপর ∠ACB=90° এবং AC=4 সেমি
তাই △ABC প্রদত্ত সমকোণী ত্রিভুজ এবং আঁকা বৃত্তটি তার পরিবৃত্ত

O কেন্দ্র করে $\frac{p}{2}$=3 সেমি ব্যাসার্ধে একটি বৃত্ত আঁকি

O বিন্দুতে ∠AOB=180°−70°=110° নির্মাণ করি, যার বাহুদ্বয় বৃত্তকে A ও B বিন্দুতে ছেদ করে

A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে OA ও OB-এর উপর লম্ব আঁকি, লম্বদ্বয় P বিন্দুতে মিলিত হয়
তাহলে PA ও PB স্পর্শক এবং ∠APB=70°

বিশেষ নির্বচন: PQRS একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
অঙ্কন: P, Q, R ও S ক্রমান্বয়ে যোগ করি

প্রমাণ: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ
তাই ∠SPQ+∠SRQ=180°

বিশেষ নির্বচন: PR ও QS কর্ণদ্বয় N বিন্দুতে ছেদ করেছে

অঙ্কন: কেন্দ্র M থেকে P, Q, R ও S বিন্দুতে ব্যাসার্ধ যোগ করি

প্রমাণ: অভ্যন্তরে ছেদকারী জ্যার উপপাদ্য থেকে
∠PNQ=$\frac{1}{2}$(চাপ PQ+চাপ RS)
আবার ∠PMQ=চাপ PQ এবং ∠RMS=চাপ RS
তাই ∠PMQ+∠RMS=2∠PNQ

p²−q²=(p+q)(p−q)
=(2tanA)(2sinA)=4tanA sinA
তাই {$\frac{(p²−q²)}{4}$}²=tan²A sin²A

pq=(tanA+sinA)(tanA−sinA)
=tan²A−sin²A
=tan²A sin²A
অতএব {$\frac{(p²−q²)}{4}$}²=pq

$\frac{p}{q}$=$\frac{(tanA+sinA)}{(tanA−sinA)}$
=$\frac{(1+cosA)}{(1−cosA)}$

যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{(p+q)}{(p−q)}$=secA
আবার প্রদত্ত অনুপাত থেকে $\frac{(p+q)}{(p−q)}$=√2
তাই secA=√2

=> cosA=$\frac{1}{√2}$
=> A=45°
সুতরাং sin2A=sin90°=1

রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
তাই ($\frac{AC}{2}$)²+($\frac{54}{2}$)²=45²

=> ($\frac{AC}{2}$)²=2025−729=1296
=> AC=72 সেমি
ক্ষেত্রফল=$\frac{1}{2}$×54×72=1944 বর্গ সেমি

রম্বসের পরিসীমা=4×45=180 সেমি
তাই সমবাহু ত্রিভুজের বাহু=180÷3=60 সেমি

সমবাহু ত্রিভুজের উচ্চতা=$\frac{√3}{2}$×60
=30√3 সেমি

ক্ষেত্রফল=$\frac{√3}{4}$×60²
=900√3 বর্গ সেমি

A=65.5 এবং h=10 ধরে u-এর মান −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
সংশ্লিষ্ট fu-এর যোগফল Σfu=−19 এবং Σf=50

গড়=A+($\frac{Σfu}{Σf}$)×h
=65.5+(−$\frac{19}{50}$)×10
=61.7

কম-থেকে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 0, 6, 14, 24, 36, 41, 48, 50

অজিভের বিন্দুগুলো
(30.5,0), (40.5,6), (50.5,14), (60.5,24)
(70.5,36), (80.5,41), (90.5,48), (100.5,50)

অনুভূমিক অক্ষে উচ্চ শ্রেণিসীমা এবং উল্লম্ব অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিই
বিন্দুগুলো মসৃণ রেখায় যোগ করলে প্রয়োজনীয় অজিভ পাওয়া যায়

এখানে N=70 এবং $\frac{N}{2}$=35
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 3, 13, 31, 56, 64, 70
তাই মধ্যক শ্রেণি 56–60

L=55.5, F=31, f=25 এবং h=5
মধ্যক=L+{$\frac{(\frac{N}{2}−F)}{f}$}×h
=55.5+{$\frac{(35−31)}{25}$}×5
=56.3 সেকেন্ড

শ্রেণিমধ্যমান 43, 48, 53, 58, 63 ও 68
সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা 3, 10, 18, 25, 8 ও 6

বহুভুজ বন্ধ করতে দুই প্রান্তে শূন্য গণসংখ্যার বিন্দু নিই
(38,0), (43,3), (48,10), (53,18)
(58,25), (63,8), (68,6), (73,0)

অনুভূমিক অক্ষে শ্রেণিমধ্যমান এবং উল্লম্ব অক্ষে গণসংখ্যা নিই
বিন্দুগুলো সরলরেখায় যুক্ত করলে প্রয়োজনীয় গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়