উত্তর (p + q)² = 5 এবং (p − q)² = 3
যোগ করে পাই, 2(p² + q²) = 8
=> p² + q² = 4
বিয়োজন করে পাই, 4pq = 2
=> pq = $\frac{1}{2}$
তাই 5pq(p² + q²) = 5 × $\frac{1}{2}$ × 4 = 10

উত্তর

x⁴ + $\frac{1}{x⁴}$ = 194 এবং x > 1
=> (x² + $\frac{1}{x²}$)² = 196
=> x² + $\frac{1}{x²}$ = 14
=> (x + $\frac{1}{x}$)² = 16
=> x + $\frac{1}{x}$ = 4

x² − 4x + 1 = 0
=> x = 2 ± √3
কিন্তু 2 − √3 < 1
অতএব, x = 2 + √3

উত্তর

প্রদত্ত 3m² − 7m + 3 = 0 সমীকরণ থেকে m + $\frac{1}{m}$-এর মান ব্যবহার করে নির্ণেয় রাশিটি প্রমাণ করা যায়

3m² − 7m + 3 = 0
=> 3m² + 3 = 7m
m দ্বারা ভাগ করে পাই,
3(m + $\frac{1}{m}$) = 7

উভয় পক্ষ ঘন করে পাই,
27(m + $\frac{1}{m}$)³ = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) + 27 × 3(m + $\frac{1}{m}$) = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) + 189 = 343
=> 27(m³ + $\frac{1}{m³}$) = 154
অতএব, 27[$\frac{(m⁶ + 1)}{m³}$] = 154

উত্তর d : e = 3 : 2 = 15 : 10 এবং e : f = 5 : 4 = 10 : 8
তাই d : e : f = 15 : 10 : 8
অতএব, f : d = 8 : 15

উত্তর

a = x + y, b = y + z এবং c = z + x বসিয়ে পাই,
$\frac{(x + y − z)}{(x + y)}$ = $\frac{(y + z − x)}{(y + z)}$ = $\frac{(z + x − y)}{(z + x)}$
প্রত্যেক অনুপাত থেকে 1 বিয়োজন করে পাই,
$\frac{z}{(x + y)}$ = $\frac{x}{(y + z)}$ = $\frac{y}{(z + x)}$

প্রত্যেক অনুপাতের সঙ্গে 1 যোজন করে পাই,
$\frac{(x + y + z)}{(x + y)}$ = $\frac{(x + y + z)}{(y + z)}$ = $\frac{(x + y + z)}{(z + x)}$
যেহেতু x + y + z ≠ 0, তাই x + y = y + z = z + x
=> x = y = z

উত্তর

$\frac{1}{m}$ + $\frac{1}{n}$ = $\frac{6}{y}$
=> $\frac{(m + n)}{(mn)}$ = $\frac{6}{y}$
=> y = $\frac{6mn}{(m + n)}$

$\frac{y}{(3m)}$ = $\frac{2n}{(m + n)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\frac{(y + 3m)}{(y − 3m)}$ = $\frac{(3n + m)}{(n − m)}$
একইভাবে, $\frac{(y + 3n)}{(y − 3n)}$ = $\frac{(3m + n)}{(m − n)}$

তাই নির্ণেয় যোগফল
= $\frac{(3n + m)}{(n − m)}$ + $\frac{(3m + n)}{(m − n)}$
= $\frac{(3n + m − 3m − n)}{(n − m)}$
= 2$\frac{(n − m)}{(n − m)}$
= 2

উত্তর b + s = 5 + 7 = 12 সেমি, তাই বর্গের বাহু = $\frac{12}{4}$ = 3 সেমি
AB = 3 সেমি আঁকি
A ও B বিন্দুতে AB-এর একই পাশে লম্ব রশ্মি এঁকে AD = BC = 3 সেমি কাটি
C ও D যোগ করলে ABCD-ই নির্ণেয় বর্গ

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: ∆PQR-এর QR = b = 5 সেমি, ∠PQR = 45° এবং PQ + PR = s = 7 সেমি, ত্রিভুজটি আঁকতে হবে
অঙ্কন: QR = 5 সেমি আঁকি এবং Q বিন্দুতে ∠RQD = 45° আঁকি
QD রশ্মিতে QD = 7 সেমি কেটে D ও R যোগ করি

R বিন্দুতে ∠DRP = ∠RDP এঁকে RP রশ্মি দ্বারা QD-কে P বিন্দুতে ছেদ করাই
তখন ∆DPR সমদ্বিবাহু হওয়ায় DP = PR
তাই PQ + PR = PQ + PD = QD = 7 সেমি
অতএব, ∆PQR-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: কর্ণ AC = b = 5 সেমি এবং BD = s = 7 সেমি বিশিষ্ট একটি রম্বস আঁকতে হবে

অঙ্কন: BD = 7 সেমি আঁকি
BD-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা BD-কে O বিন্দুতে ছেদ করে
লম্বদ্বিখণ্ডকের উপর O-এর দুই পাশে OA = OC = 2.5 সেমি কাটি

A, B, C ও D ক্রমানুসারে যোগ করি
কর্ণদ্বয় AC ও BD পরস্পরকে O বিন্দুতে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
অতএব, ABCD-ই নির্ণেয় রম্বস

উত্তর বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে AB ব্যাস এবং CD ব্যাসভিন্ন যেকোনো জ্যা
অঙ্কন: OC ও OD যোগ করি
প্রমাণ: ∆COD-এ OC + OD > CD, কিন্তু OC = OD = r এবং AB = 2r, তাই AB > CD
অতএব, বৃত্তের ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে OS ⊥ PQ, OT ⊥ MN এবং OS = OT, প্রমাণ করতে হবে PQ = MN
অঙ্কন: OP ও OM যোগ করি

প্রমাণ: সমকোণী ∆OPS ও ∆OMT-এ OP = OM, OS = OT এবং ∠OSP = ∠OTM = 90°
তাই ∆OPS ≅ ∆OMT
=> PS = MT
আবার, কেন্দ্র থেকে জ্যার উপর অঙ্কিত লম্ব জ্যাকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
তাই PQ = 2PS এবং MN = 2MT
অতএব, PQ = MN

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে একই PM চাপের উপর ∠PRM বৃত্তস্থ কোণ এবং ∠POM কেন্দ্রস্থ কোণ, প্রমাণ করতে হবে ∠PRM = $\frac{1}{2∠POM}$

অঙ্কন: R ও O যোগ করে RO-কে X পর্যন্ত বাড়াই

প্রমাণ: ∆ROP-এ OR = OP, তাই ∠PRO = ∠RPO
বহিঃস্থ কোণের উপপাদ্য থেকে ∠POX = ∠PRO + ∠RPO = 2∠PRO
একইভাবে ∆ROM থেকে ∠MOX = 2∠MRO
যোগ করে পাই, ∠POM = 2(∠PRO + ∠MRO) = 2∠PRM
অতএব, ∠PRM = $\frac{1}{2∠POM}$

উত্তর tan(90° − 3θ) = 1 = tan45°
=> 90° − 3θ = 45°
=> θ = 15°
তাই sin2θ = sin30° = $\frac{1}{2}$

উত্তর

N = sinA বসিয়ে পাই,
2sin²A − 3sinA + 1 = 0
=> (sinA − 1)(2sinA − 1) = 0

=> sinA = 1 অথবা sinA = $\frac{1}{2}$
A সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় sinA = 1 গ্রহণযোগ্য নয়
তাই sinA = $\frac{1}{2}$
অতএব, A = 30°

উত্তর

M = cotA এবং R = cosA
p = M + R ও q = M − R

p² − q² = (M + R)² − (M − R)²
= 4MR
তাই (p² − q²)² = 16M²R²

M²R² = cot²A cos²A
= cot²A(1 − sin²A)
= cot²A − cos²A
= (cotA + cosA)(cotA − cosA)
= pq
অতএব, (p² − q²)² − 16pq = 0

উত্তর ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ × 9 × 12 × sin45°
= 54 × $\frac{1}{√2}$
= 27√2 বর্গসেমি

উত্তর

আয়তাকার ঘনবস্তুর উচ্চতা h হলে,
29² = 21² + 16² + h²
=> h² = 841 − 441 − 256 = 144
=> h = 12 সেমি

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল = 2(lb + bh + hl)
= 2(21 × 16 + 16 × 12 + 12 × 21)
= 2(336 + 192 + 252)
= 1560 বর্গসেমি

উত্তর

রম্বসের কর্ণদ্বয় d₁ = 21 সেমি এবং d₂ = 16 সেমি

কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
তাই রম্বসের বাহু = √[($\frac{d₁}{2}$)² + ($\frac{d₂}{2}$)²]
= √[($\frac{21}{2}$)² + 8²]
= $\frac{√697}{2}$ সেমি

রম্বসের পরিসীমা = 4 × $\frac{√697}{2}$
= 2√697 সেমি
≈ 52.80 সেমি

উত্তর প্রথম শ্রেণি 30–34-এর মধ্যবিন্দু = $\frac{(30 + 34)}{2}$ = 32 এবং শেষ শ্রেণি 60–64-এর মধ্যবিন্দু = $\frac{(60 + 64)}{2}$ = 62
নির্ণেয় পার্থক্য = 62 − 32 = 30

উত্তর

মোট গণসংখ্যা N = 65 এবং $\frac{N}{2}$ = 32.5
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 5, 13, 28, 46, 56, 62, 65
তাই মধ্যক শ্রেণি 45–49

মধ্যক শ্রেণির নিম্নসীমানা L = 44.5, পূর্ববর্তী ক্রমযোজিত গণসংখ্যা F = 28, গণসংখ্যা f = 18 এবং শ্রেণিব্যাপ্তি h = 5
মধ্যক = L + [$\frac{(\frac{N}{2} − F)}{f}$]h
= 44.5 + [$\frac{(32.5 − 28)}{18}$] × 5
= 44.5 + 1.25
= 45.75 কেজি

উত্তর

শ্রেণিমধ্যমানগুলো 32, 37, 42, 47, 52, 57 ও 62 এবং সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা 5, 8, 15, 18, 10, 6 ও 3

অনুভূমিক অক্ষে শ্রেণিমধ্যমান এবং উল্লম্ব অক্ষে গণসংখ্যা নিয়ে (32, 5), (37, 8), (42, 15), (47, 18), (52, 10), (57, 6), (62, 3) বিন্দুগুলো বসাই

বহুভুজটি বন্ধ করতে (27, 0) ও (67, 0) বিন্দু যোগ করে সব বিন্দু ক্রমানুসারে সরলরেখা দিয়ে যুক্ত করলে নির্ণেয় গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়

উত্তর প্রচুরক শ্রেণি 41–45
f₁ = 20 − 12 = 8 এবং f₂ = 20 − 7 = 13
তাই $\frac{f₁}{(f₁ + f₂)}$ = $\frac{8}{(8 + 13)}$ = $\frac{8}{21}$

উত্তর

ধরা গড় A = 43 এবং শ্রেণিব্যাপ্তি h = 5

শ্রেণি	21–25	26–30	31–35	36–40	41–45	46–50	51–55	56–60
f	4	8	9	12	20	7	6	4
u	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3
fu	−16	−24	−18	−12	0	7	12	12

Σf = 70 এবং Σfu = −39

গড় = A + h × $\frac{Σfu}{Σf}$
= 43 + 5 × $\frac{(−39)}{70}$
= 40.21 প্রায়

উত্তর

উচ্চ শ্রেণিসীমা ও ক্রমযোজিত গণসংখ্যার বিন্দুগুলো হলো (20.5, 0), (25.5, 4), (30.5, 12), (35.5, 21), (40.5, 33), (45.5, 53), (50.5, 60), (55.5, 66), (60.5, 70)

অনুভূমিক অক্ষে উচ্চ শ্রেণিসীমা এবং উল্লম্ব অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো বসাই

বিন্দুগুলো মসৃণ রেখায় যুক্ত করলে প্রদত্ত উপাত্তের less-than অজিভ রেখা পাওয়া যায়