(ii) $U = \{x \in \mathbb{N} : 3 \le x \le 8\}$, $A = \{x \in \mathbb{N} : x \text{ মৌলিক সংখ্যা এবং } x \le 7\}$ এবং $B = \{4, 6, 8\}$
P(C) = {∅, {p}, {q}, {r}, {p, q}, {p, r}, {q, r}, {p, q, r}}
D = {−3, −2, −1, 0, 1, 2}
2x − y = 1
=> y = 2x − 1
x, y ∈ D শর্ত পূরণকারী ক্রমজোড়গুলো হলো (−1, −3), (0, −1), (1, 1)
তাই S = {(−1, −3), (0, −1), (1, 1)}
S-এর দ্বিতীয় উপাদানগুলোর সেটই রেঞ্জ
অতএব Range S = {−3, −1, 1}
U = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A = {3, 5, 7}
B = {4, 6, 8}
A ∩ B = ∅
=> (A ∩ B)′ = U
= {3, 4, 5, 6, 7, 8}
A′ = {4, 6, 8} এবং B′ = {3, 5, 7}
A′ ∪ B′ = {3, 4, 5, 6, 7, 8}
অতএব (A ∩ B)′ = A′ ∪ B′
(ii) $\frac{x+a}{x-a} + \frac{x+b}{x-b} = 2; a \ne b$.
1 ঘন সে.মি. কাঠের ওজন = 6 ডেসিগ্রাম
প্রয়োজনীয় শতকরা হার = $\frac{6}{10}$ × 100%
= 60%
3nx² − 4mx + 3n = 0
=> 3n(x² + 1) = 4mx
=> $\frac{(x² + 1)}{(2x)}$ = $\frac{2m}{(3n)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{(x + 1)²}{(x − 1)²}$ = $\frac{(2m + 3n)}{(2m − 3n)}$
ধনাত্মক বর্গমূল নিয়ে পাই
$\frac{(x + 1)}{(x − 1)}$ = $\frac{√(2m + 3n)}{√(2m − 3n)}$
পুনরায় যোজন-বিয়োজন করে পাই
$\frac{[(x + 1) + (x − 1)]}{[(x + 1) − (x − 1)]}$
= $\frac{[√(2m + 3n) + √(2m − 3n)]}{[√(2m + 3n) − √(2m − 3n)]}$
=> x = $\frac{[√(2m + 3n) + √(2m − 3n)]}{[√(2m + 3n) − √(2m − 3n)]}$
প্রদত্ত সমীকরণকে লিখি
[$\frac{(x + a)}{(x − a)}$ − 1] + [$\frac{(x + b)}{(x − b)}$ − 1] = 0
=> $\frac{2a}{(x − a)}$ + $\frac{2b}{(x − b)}$ = 0
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে আড়গুণন করি
a(x − b) = −b(x − a)
=> ax − ab = −bx + ab
=> x(a + b) = 2ab
=> $\frac{2}{x}$ = $\frac{(a + b)}{(ab)}$
= $\frac{a}{(ab)}$ + $\frac{b}{(ab)}$
= $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{a}$
অতএব $\frac{2}{x}$ = $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$
অঙ্কন: প্রথমে AB = 5 সে.মি. নিয়ে ABCD বর্গ আঁকি
AC ও BD কর্ণদ্বয় এঁকে ছেদবিন্দু O নিই
O থেকে BC-এর ওপর OE লম্ব আঁকি
O কেন্দ্র ও OE = 2.5 সে.মি. ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি
অঙ্কিত বৃত্তটিই ABCD বর্গের অন্তর্বৃত্ত
বিশেষ নির্বচন: ∆ABC-এর পরিসীমা p = 12 সে.মি., ∠ABC = 50° এবং ∠ACB = 60° ধরে ত্রিভুজটি আঁকতে হবে
এ জন্য DE = 12 সে.মি. রেখাংশ নিই
D ও E বিন্দুতে যথাক্রমে 25° ও 30° কোণ এঁকে রশ্মিদ্বয়ের ছেদবিন্দু A নিই
অঙ্কন: AD ও AE-এর লম্বদ্বিখণ্ডক আঁকি
লম্বদ্বিখণ্ডক দুটি DE-কে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে
AB, AC যোগ করি
তাহলে AB = BD এবং AC = CE
=> AB + BC + AC = DE = 12 সে.মি.
আবার ∠ABC = 2∠ADB = 50° এবং ∠ACB = 2∠AEC = 60°
অতএব ∆ABC-ই উদ্দিষ্ট ত্রিভুজ
বৃত্তটির ব্যাসার্ধ r = $\frac{p}{3}$
= $\frac{12}{3}$
= 4 সে.মি.
O কেন্দ্র ও 4 সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি বৃত্ত আঁকি
স্পর্শকদ্বয়ের অন্তর্ভুক্ত কোণ 30° হলে স্পর্শবিন্দুদ্বয়ে উৎপন্ন কেন্দ্রস্থ কোণ = 180° − 30°
= 150°
O বিন্দুতে ∠AOB = 150° আঁকি, যেখানে A ও B বৃত্তের ওপর অবস্থিত
A ও B বিন্দুতে যথাক্রমে OA ও OB-এর ওপর AP ও BP লম্ব আঁকি
লম্বদ্বয় P বিন্দুতে ছেদ করে
OA ⟂ AP এবং OB ⟂ BP হওয়ায় AP ও BP বৃত্তের স্পর্শক
এবং ∠APB = 30°
অতএব AP ও BP-ই উদ্দিষ্ট স্পর্শকদ্বয়
(ii) DEFG চতুর্ভুজ-এ, ∠DEF + ∠DGF = 180°.
প্রমাণ করতে হবে ∠ACB = 90°
অঙ্কন: OC যোগ করি
প্রমাণ: OA = OC হওয়ায় ∠OAC = ∠ACO = x
আবার OB = OC হওয়ায় ∠OBC = ∠BCO = y
∆ABC-এ ∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°
=> x + y + x + y = 180°
=> 2(x + y) = 180°
=> x + y = 90°
কিন্তু ∠ACB = ∠ACO + ∠OCB
= x + y
= 90°
অতএব অর্ধবৃত্তস্থ কোণ এক সমকোণ
বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তের বহিঃস্থ P বিন্দু থেকে PQ ও PR স্পর্শক এবং OP রেখা QR-কে M বিন্দুতে ছেদ করেছে
প্রমাণ করতে হবে QM = RM এবং OM ⟂ QR
অঙ্কন: OQ ও OR যোগ করি
∆OPQ ও ∆OPR-এ OQ = OR, PQ = PR এবং OP সাধারণ
=> ∆OPQ ≅ ∆OPR
=> ∠QOM = ∠MOR
∆OQM ও ∆ORM-এ OQ = OR, OM সাধারণ এবং ∠QOM = ∠MOR
=> ∆OQM ≅ ∆ORM
=> QM = RM এবং ∠QMO = ∠OMR
কোণদ্বয় রৈখিক যুগল হওয়ায় ∠QMO + ∠OMR = 180°
=> 2∠QMO = 180°
=> ∠QMO = 90°
অতএব QM = RM এবং OM ⟂ QR
বিশেষ নির্বচন: DEFG চতুর্ভুজে ∠DEF + ∠DGF = 180°
প্রমাণ করতে হবে D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত
অঙ্কন: D, E ও F বিন্দুগামী বৃত্ত আঁকি
বৃত্তটি DG রেখা বা এর বর্ধিতাংশকে G′ বিন্দুতে ছেদ করে এবং FG′ যোগ করি
DEFG′ বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ
=> ∠DEF + ∠DG′F = 180°
প্রদত্ত ∠DEF + ∠DGF = 180°
=> ∠DG′F = ∠DGF
G ও G′ ভিন্ন হলে ∆FGG′-এর একটি বহিঃস্থ কোণ তার বিপরীত অন্তঃস্থ কোণের সমান হয়, যা অসম্ভব
অতএব G ও G′ একই বিন্দু
=> G বিন্দু D, E ও F বিন্দুগামী বৃত্তের ওপর অবস্থিত
সুতরাং D, E, F, G বিন্দু চারটি সমবৃত্ত
= sin(90° − p)
=> p + 30° = 90° − p + 360°n
=> p = 30° + 180°n, যেখানে n ∈ Z
p সূক্ষ্মকোণ হলে p = 30°
$\frac{1}{b}$ − a = 2 − √3
=> cosec A − cot A = 2 − √3
অর্ধকোণের সূত্রে cosec A − cot A = tan($\frac{A}{2}$)
এবং 2 − √3 = tan 15°
তাই tan($\frac{A}{2}$) = tan 15°
A সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় $\frac{A}{2}$ = 15°
=> A = 30°
p = a + c এবং q = a − c
p + q = 2a = 2cot A
p − q = 2c = 2cos A
p⁴ − 2p²q² + q⁴
= (p² − q²)²
= [(p + q)(p − q)]²
= (4cot A cos A)²
= 16cot²A cos²A
16pq = 16(a + c)(a − c)
= 16(cot²A − cos²A)
= 16cos²A($\frac{1}{\sin²A}$ − 1)
= 16cot²A cos²A
অতএব p⁴ − 2p²q² + q⁴ = 16pq
(ii) একটি সমবাহু ত্রিভুজের প্রত্যেক বাহুর দৈর্ঘ্য 5 মিটার করে বাড়ানো হলে এর ক্ষেত্রফল 25√3 বর্গমিটার বেড়ে যায়।
ব্যাসার্ধ r = 75 সে.মি.
চাপের দৈর্ঘ্য = $\frac{60°}{360°}$ × 2π × 75
= 25π সে.মি.
π = 3.1416 নিলে ≈ 78.54 সে.মি.
রম্বসের পরিসীমা = 200 সে.মি.
এক বাহু a = $\frac{200}{4}$
= 50 সে.মি.
একটি কর্ণ d₁ = 40 সে.মি.
রম্বসের কর্ণদ্বয় পরস্পরকে সমকোণে সমদ্বিখণ্ডিত করে
অর্ধেক অপর কর্ণ = √[50² − ($\frac{40}{2}$)²]
= √2100
= 10√21 সে.মি.
অপর কর্ণ d₂ = 20√21 সে.মি.
রম্বসের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$ d₁d₂
= $\frac{1}{2}$ × 40 × 20√21
= 400√21 বর্গ সে.মি.
≈ 1833.03 বর্গ সে.মি.
ধরি, সমবাহু ত্রিভুজটির মূল বাহু x মিটার
নতুন বাহু = x + 5 মিটার
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{√3}{4}$ × (বাহু)²
প্রশ্নমতে, $\frac{√3}{4}$[(x + 5)² − x²] = 25√3
=> 10x + 25 = 100
=> x = 7.5 মিটার
ত্রিভুজটির উচ্চতা = $\frac{√3}{2}$ × x
= $\frac{√3}{2}$ × 7.5
= $\frac{15√3}{4}$ মিটার
≈ 6.50 মিটার
নিচে 50 জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:
| প্রাপ্ত নম্বর (শ্রেণি ব্যাপ্তি) | 31–40 | 41–50 | 51–60 | 61–70 | 71–80 | 81–90 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| শিক্ষার্থীর সংখ্যা (গণসংখ্যা) | 6 | 8 | 10 | 12 | 8 | 6 |
18, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 28
উপাত্তের সংখ্যা n = 8
মধ্যক = $\frac{(4র্থ পদ + 5ম পদ)}{2}$
= $\frac{(22 + 24)}{2}$
= 23
| শ্রেণি | f | x | u = $\frac{(x − 65.5)}{10}$ | fu |
|---|---|---|---|---|
| 31–40 | 6 | 35.5 | −3 | −18 |
| 41–50 | 8 | 45.5 | −2 | −16 |
| 51–60 | 10 | 55.5 | −1 | −10 |
| 61–70 | 12 | 65.5 | 0 | 0 |
| 71–80 | 8 | 75.5 | 1 | 8 |
| 81–90 | 6 | 85.5 | 2 | 12 |
| মোট | 50 | −24 |
এখানে আনুমানিক গড় A = 65.5, শ্রেণিব্যবধান h = 10, Σf = 50 এবং Σfu = −24
গড় = A + $\frac{hΣfu}{Σf}$
= 65.5 + 10 × (−$\frac{24}{50}$)
= 60.7
প্রদত্ত শ্রেণিগুলোকে অবিচ্ছিন্ন করে উচ্চসীমা নিই 40.5, 50.5, 60.5, 70.5, 80.5 ও 90.5
এদের কম-ক্রমযোজিত গণসংখ্যা যথাক্রমে 6, 14, 24, 36, 44 ও 50
অজিভের সূচনাবিন্দু হলো প্রথম শ্রেণির নিম্নসীমা ও শূন্য গণসংখ্যার বিন্দু (30.5, 0)
অতএব স্থাপনীয় বিন্দুগুলো (30.5, 0), (40.5, 6), (50.5, 14), (60.5, 24), (70.5, 36), (80.5, 44), (90.5, 50)
X-অক্ষে শ্রেণির উচ্চসীমা এবং Y-অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করে মসৃণ রেখায় যোগ করি
প্রাপ্ত রেখাটিই প্রদত্ত উপাত্তের কম-ক্রমযোজিত অজিভ
নিচে 60 জন শ্রমিকের দৈনিক মজুরির গণসংখ্যা নিবেশন সারণি দেওয়া হলো:
| দৈনিক মজুরি (টাকায়) | 201–250 | 251–300 | 301–350 | 351–400 | 401–450 | 451–500 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| শ্রমিকের সংখ্যা (গণসংখ্যা) | 8 | 12 | 15 | 10 | 9 | 6 |
6 জনের মোট বয়স = 182 × 6 মাস
= 1092 মাস
নতুন শিক্ষার্থীর বয়স = 15 বছর 9 মাস
= 189 মাস
7 জনের মোট বয়স = 1092 + 189 মাস
= 1281 মাস
গড় বয়স = $\frac{1281}{7}$ মাস
= 183 মাস
= 15 বছর 3 মাস
| শ্রেণি | f | ক্রমযোজিত f |
|---|---|---|
| 201–250 | 8 | 8 |
| 251–300 | 12 | 20 |
| 301–350 | 15 | 35 |
| 351–400 | 10 | 45 |
| 401–450 | 9 | 54 |
| 451–500 | 6 | 60 |
এখানে N = 60
$\frac{N}{2}$ = 30
মধ্যক শ্রেণি = 301–350
এখানে L = 300.5, F = 20, f = 15 এবং h = 50
মধ্যক = L + [$\frac{(\frac{N}{2} − F)}{f}$] × h
= 300.5 + [$\frac{(30 − 20)}{15}$] × 50
= 333.83 প্রায়
শ্রেণিগুলোর মধ্যমান যথাক্রমে 225.5, 275.5, 325.5, 375.5, 425.5 ও 475.5
সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা যথাক্রমে 8, 12, 15, 10, 9 ও 6
বহুভুজটি বন্ধ করার জন্য আগের কাল্পনিক শ্রেণির মধ্যমান 175.5 এবং পরের কাল্পনিক শ্রেণির মধ্যমান 525.5-এ গণসংখ্যা শূন্য নিই
স্থাপনীয় বিন্দুগুলো (175.5, 0), (225.5, 8), (275.5, 12), (325.5, 15), (375.5, 10), (425.5, 9), (475.5, 6), (525.5, 0)
X-অক্ষে শ্রেণির মধ্যমান ও Y-অক্ষে গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করে সরলরেখায় যোগ করি
প্রাপ্ত রেখাচিত্রই প্রদত্ত উপাত্তের গণসংখ্যা বহুভুজ
x + 1/x = 5
উভয় পক্ষের বর্গের সম্পর্ক থেকে পাই
(x − 1/x)² = (x + 1/x)² − 4
= 25 − 4
= 21
=> x − 1/x = ±√21
x² − 1/x² = (x + 1/x)(x − 1/x)
= 5(±√21)
= ±5√21
x > 1 শর্ত দেওয়া থাকলে মানটি 5√21 হবে
p⁴ − 27p² + 1
= p⁴ − 2p² + 1 − 25p²
= (p² − 1)² − (5p)²
= (p² − 1 + 5p)(p² − 1 − 5p)
= (p² + 5p − 1)(p² − 5p − 1)
ক্ষতির হার = 12%
বিক্রয়মূল্য = ক্রয়মূল্যের (100 − 12)%
= ক্রয়মূল্যের 88%
প্রশ্নমতে, ক্রয়মূল্যের 88% = 264 টাকা
=> ক্রয়মূল্য = 264 × 100/88 টাকা
= 300 টাকা
f(x) = x³ + 3x² + ax + 9
f(−3) = (−3)³ + 3(−3)² + a(−3) + 9
= −27 + 27 − 3a + 9
= 9 − 3a
প্রশ্নমতে, f(−3) = 0
=> 9 − 3a = 0
=> a = 3
p + 1/p = 4
(p⁶ + 1)/p³ = p³ + 1/p³
= (p + 1/p)³ − 3(p + 1/p)
= 4³ − 3 × 4
= 64 − 12
= 52
A = {2, 3} এবং B = {3, 4}
A ∖ B = {2}
C = {x, y}
(A ∖ B) × C = {2} × {x, y}
= {(2, x), (2, y)}
প্রদত্ত, (p³ − q³)/(p + q + r) = p(p − q)
p³ − q³ = (p − q)(p² + pq + q²)
তাই (p − q)(p² + pq + q²)/(p + q + r) = p(p − q)
p ≠ q শর্তে উভয় পক্ষকে p − q দ্বারা ভাগ করে পাই
(p² + pq + q²)/(p + q + r) = p
আড়গুণন করে পাই
p² + pq + q² = p² + pq + pr
=> q² = pr
=> p/q = q/r
অতএব p, q, r ক্রমিক সমানুপাতী
তবে প্রশ্নে প্রয়োজনীয় p ≠ q শর্তটি অনুল্লিখিত
ধরি, ধান ও গমের প্রত্যেকটির পরিমাণ x একক
ধান থেকে চালের পরিমাণ = 3x/4 একক
গম থেকে সুজির পরিমাণ = 4x/5 একক
চাল : সুজি = 3x/4 : 4x/5
= 3/4 : 4/5
= 15 : 16
∆ABC-এ ∠B = 90° এবং ∠ACB = θ
তাই 0° < θ < 90°
=> sin θ > 0 এবং cos θ > 0
(sin θ + cos θ)² = sin²θ + cos²θ + 2sin θ cos θ
= 1 + 2sin θ cos θ
1
আবার sin θ + cos θ > 0
অতএব sin θ + cos θ > 1
বেলনের বক্রতলের ক্ষেত্রফল = 2πrh
এখানে 2πrh = 150 এবং h = 4 সে.মি.
=> 2πr × 4 = 150
=> r = 150/(8π)
= 75/(4π) সে.মি.
π = 3.1416 নিলে r ≈ 5.97 সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = 1/2 ab sin θ
প্রশ্নমতে, 1/2 × 20 × 10 × sin θ = 50
=> 100sin θ = 50
=> sin θ = 1/2
0° < θ < 180° হওয়ায়
θ = 30° অথবা 150°
কোণটি সূক্ষ্ম হলে θ = 30°
বিশেষ নির্বচন: ABCD একটি বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ এবং AD বাহুকে D-এর দিকে E পর্যন্ত বর্ধিত করা হয়েছে, প্রমাণ করতে হবে ∠ABC = ∠CDE
অঙ্কন: AB, BC, CD ও DA যোগ করে বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ ABCD আঁকি এবং AD-কে E পর্যন্ত বর্ধিত করি
প্রমাণ: বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
=> ∠ABC + ∠ADC = 180°
আবার ∠CDE ও ∠CDA একটি রৈখিক যুগল
=> ∠CDE + ∠CDA = 180°
এখানে ∠ADC = ∠CDA
তাই ∠ABC + ∠ADC = ∠CDE + ∠ADC
=> ∠ABC = ∠CDE
বিশেষ নির্বচন: ABCD একটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত সামান্তরিক, প্রমাণ করতে হবে ABCD একটি আয়ত
অঙ্কন: বৃত্তের উপর ক্রমানুসারে A, B, C ও D বিন্দু নিয়ে AB, BC, CD ও DA যোগ করি
প্রমাণ: সামান্তরিকের বিপরীত কোণ সমান
=> ∠A = ∠C
আবার বৃত্তস্থ চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি 180°
=> ∠A + ∠C = 180°
=> 2∠A = 180°
=> ∠A = 90°
অনুরূপভাবে প্রতিটি কোণ 90°
অতএব ABCD একটি আয়ত
অঙ্কন: O কেন্দ্র করে 4 সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি বৃত্ত আঁকি
বৃত্তের উপর P বিন্দু নিয়ে OP ব্যাসার্ধ যোগ করি
P বিন্দুতে OP-এর উপর TT′ লম্ব আঁকি
স্পর্শবিন্দুগামী ব্যাসার্ধ স্পর্শকের উপর লম্ব
অতএব TT′ বৃত্তটির P বিন্দুতে অঙ্কিত স্পর্শক
সর্বাধিক গণসংখ্যা 12
তাই প্রচুরক শ্রেণি = 61–70
প্রচুরক শ্রেণির নিম্ন শ্রেণিসীমা L = 60.5
f₁ = 12 − 10 = 2
f₂ = 12 − 9 = 3
শ্রেণিব্যাপ্তি h = 10
প্রচুরক = L + [f₁/(f₁ + f₂)] × h
= 60.5 + [2/(2 + 3)] × 10
= 60.5 + 4
= 64.5