উত্তর A = {x ∈ N : x মৌলিক সংখ্যা এবং 10 < x < 20}

উত্তর

x − y = 1 শর্তে P থেকে প্রাপ্ত ক্রমজোড়গুলো
R = {(−1, −2), (0, −1), (1, 0), (2, 1)}

অতএব, R-এর ডোমেন = {−1, 0, 1, 2}

উত্তর

g($\frac{1}{x}$) = $\frac{[(\frac{1}{x})³ − 3(\frac{1}{x})² + 1]}{[(\frac{1}{x})(1 − \frac{1}{x})]}$

লব ও হরকে x³ দ্বারা গুণ করে পাই,
g($\frac{1}{x}$) = $\frac{(x³ − 3x + 1)}{[x(x − 1)]}$

আবার, g(1 − x) = $\frac{[(1 − x)³ − 3(1 − x)² + 1]}{[(1 − x)x]}$
= $\frac{[−(x³ − 3x + 1)]}{[−x(x − 1)]}$
= $\frac{(x³ − 3x + 1)}{[x(x − 1)]}$
অতএব, g($\frac{1}{x}$) = g(1 − x)

উত্তর 1, x, 16 ক্রমিক সমানুপাতী
=> 1 : x = x : 16
=> x² = 16
মধ্য সমানুপাতী ধনাত্মক হওয়ায় x = 4

উত্তর

p⁶ + 1 = (p² + 1)(p⁴ − p² + 1)
= (p² + 1)D

D = 0 হলে p⁶ + 1 = 0
অতএব, $\frac{(p⁶ + 1)}{p³}$ = 0

উত্তর

y = $\frac{(√E + √F)}{(√E − √F)}$
=> y(√E − √F) = √E + √F
=> (y − 1)√E = (y + 1)√F

উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
E(y − 1)² = F(y + 1)²
=> (2a + 3b)(y − 1)² = (2a − 3b)(y + 1)²

বিস্তার করে বিয়োজন করে পাই,
6by² − 8ay + 6b = 0
উভয় পক্ষকে 2 দ্বারা ভাগ করে পাই,
3by² − 4ay + 3b = 0

উত্তর সমবাহু ত্রিভুজের প্রতিটি বাহু = $\frac{11}{3}$ সেমি
AB = $\frac{11}{3}$ সেমি রেখাংশ আঁকি
A ও B কেন্দ্র করে AB ব্যাসার্ধে দুটি চাপ আঁকি, যা C বিন্দুতে ছেদ করে
AC ও BC যোগ করলে △ABC-ই নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ

উত্তর

অঙ্কন: BC = 10 সেমি আঁকি
B বিন্দুতে ∠CBX = 35° আঁকি
BX রশ্মিতে BD = 3 সেমি কাটি
D ও C যোগ করি
DC-এর লম্বদ্বিখণ্ডক BX-কে A বিন্দুতে ছেদ করে
A ও C যোগ করি

বিবরণ: লম্বদ্বিখণ্ডকের A বিন্দু থেকে AD = AC
আবার, AB = AD + DB
=> AB − AC = DB = 3 সেমি
অতএব, △ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ

উত্তর

প্রয়োজনীয় কর্ণদ্বয়ের দৈর্ঘ্য
$\frac{(a + 6)}{2}$ = $\frac{(10 + 6)}{2}$ = 8 সেমি
এবং 2d = 6 সেমি
অন্তর্ভুক্ত কোণ = 35° + 5° = 40°

অঙ্কন: AC = 8 সেমি আঁকি এবং এর মধ্যবিন্দু O নির্ণয় করি
O বিন্দুতে AC-এর সঙ্গে 40° কোণ করে একটি সরলরেখা আঁকি
ঐ সরলরেখার বিপরীত দিকে OB = OD = 3 সেমি কাটি

A, B, C ও D ক্রমানুসারে যোগ করি
কর্ণদ্বয় O বিন্দুতে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে
অতএব, ABCD-ই নির্ণেয় সামান্তরিক

উত্তর পরিধি 22 সেমি হলে ব্যাসার্ধ r = $\frac{22}{(2 × \frac{22}{7})}$ = 3.5 সেমি
O কেন্দ্র নিয়ে 3.5 সেমি ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকলে সেটিই নির্ণেয় বৃত্ত

উত্তর

PQRS চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয়ের সমষ্টি দুই সমকোণ
অর্থাৎ ∠P + ∠R = 180°

কোনো চতুর্ভুজের এক জোড়া বিপরীত কোণের সমষ্টি 180° হলে চতুর্ভুজটি বৃত্তে অন্তর্লিখিত
অতএব, P, Q, R ও S বিন্দু চারটি সমবৃত্ত

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: বৃত্তে অন্তর্লিখিত PQRS চতুর্ভুজে PR রেখা ∠QPS-এর সমদ্বিখণ্ডক, প্রমাণ করতে হবে RS = QR

অঙ্কন: P ও R যোগ করে PR জ্যা আঁকা হলো

প্রমাণ: PR রেখা ∠QPS-এর সমদ্বিখণ্ডক
=> ∠QPR = ∠RPS
একই বৃত্তের সমান বৃত্তস্থ কোণদ্বয় সমান জ্যা উৎপন্ন করে
অতএব, QR = RS

উত্তর tan θ = $\frac{5}{12}$
=> sec² θ = 1 + tan² θ
= 1 + $\frac{25}{144}$
= $\frac{169}{144}$
θ সূক্ষ্মকোণ হলে sec θ = $\frac{13}{12}$

উত্তর

2cos(A + B) = 1
=> A + B = 60°
2sin(A − B) = 1
=> A − B = 30°

যোগ করে পাই, 2A = 90°
=> A = 45°
অতএব, cosec 2A = cosec 90° = 1

উত্তর

R = 0 হলে 2x² + 3y − 3 = 0
=> 2cos² θ + 3sin θ − 3 = 0

cos² θ = 1 − sin² θ বসিয়ে পাই,
2(1 − sin² θ) + 3sin θ − 3 = 0
=> 2sin² θ − 3sin θ + 1 = 0

=> (2sin θ − 1)(sin θ − 1) = 0
=> sin θ = $\frac{1}{2}$ অথবা 1
যেহেতু 0° ≤ θ ≤ 90°, তাই θ = 30° অথবা 90°

উত্তর সুষম ষড়ভুজের ক্ষেত্রফল = 6 × $\frac{√3}{4}$ × a²
= 6 × $\frac{√3}{4}$ × 5²
= $\frac{75√3}{2}$ বর্গমিমি

উত্তর

আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল = 50 × 40
= 2000 বর্গমিটার
পুকুরের দৈর্ঘ্য = 50 − 2 × 2.5 = 45 মিটার
পুকুরের প্রস্থ = 40 − 2 × 2.5 = 35 মিটার

পুকুরের ক্ষেত্রফল = 45 × 35
= 1575 বর্গমিটার
পাড়ের ক্ষেত্রফল = 2000 − 1575
= 425 বর্গমিটার

উত্তর

সামান্তরিকের বাহু দুটি a = 50 মিটার ও b = 40 মিটার
একটি কর্ণ p = 30 মিটার

সামান্তরিক সূত্র অনুসারে,
p² + q² = 2(a² + b²)

q² = 2(50² + 40²) − 30²
= 8200 − 900
= 7300
অতএব, q = 10√73 মিটার

উত্তর সর্বাধিক গণসংখ্যা 15 হওয়ায় প্রচুরক শ্রেণি 44–47
প্রচুরক শ্রেণির মধ্যমান = $\frac{(44 + 47)}{2}$ = 45.5 কেজি

উত্তর

মোট গণসংখ্যা N = 60
$\frac{N}{2}$ = 30
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা 7, 16, 27, 42, 55, 60
অতএব, মধ্যক শ্রেণি 44–47

এখানে L = 43.5, F = 27, fₘ = 15 এবং h = 4
মধ্যক = L + [$\frac{(\frac{N}{2} − F)}{f}$ₘ] × h
= 43.5 + [$\frac{(30 − 27)}{15}$] × 4
= 44.3 কেজি

উত্তর

শ্রেণিমধ্যমান ও গণসংখ্যার বিন্দুগুলো হলো (33.5, 7), (37.5, 9), (41.5, 11), (45.5, 15), (49.5, 13) ও (53.5, 5)

বহুভুজটি বন্ধ করার জন্য দুই প্রান্তে (29.5, 0) ও (57.5, 0) বিন্দু নিই

অনুভূমিক অক্ষে শ্রেণিমধ্যমান ও উল্লম্ব অক্ষে গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো সরলরেখায় যুক্ত করলে নির্ণেয় গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়

উত্তর সর্বোচ্চ মান = 91
সর্বনিম্ন মান = 30
পরিসর = 91 − 30 = 61

উত্তর

শ্রেণি 30–39, 40–49, 50–59, 60–69, 70–79, 80–89 ও 90–99-এর গণসংখ্যা যথাক্রমে 4, 6, 5, 12, 9, 7 ও 2
ধরি, অনুমিত গড় A = 64.5 এবং শ্রেণিব্যাপ্তি h = 10
u-এর মান যথাক্রমে −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3
Σfu = 4(−3) + 6(−2) + 5(−1) + 12(0) + 9(1) + 7(2) + 2(3) = 0

Σf = 45
গড় = A + ($\frac{Σfu}{Σf}$) × h
= 64.5 + ($\frac{0}{45}$) × 10
= 64.5

উত্তর

ক্রমযোজিত গণসংখ্যার বিন্দুগুলো হলো (29.5, 0), (39.5, 4), (49.5, 10), (59.5, 15), (69.5, 27), (79.5, 36), (89.5, 43) ও (99.5, 45)

অনুভূমিক অক্ষে শ্রেণির প্রকৃত উচ্চসীমা এবং উল্লম্ব অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো স্থাপন করি

বিন্দুগুলো মসৃণভাবে যোগ করলে প্রদত্ত উপাত্তের কম-থেকে অজিভ রেখা পাওয়া যায়