x−2y = −1
=> y = $\frac{(x+1)}{2}$

A-এর অন্তর্ভুক্ত মানের জন্য R = {(-1,0),(1,1)}
অতএব ডোমেন = {−1,1} এবং রেঞ্জ = {0,1}

B = 0
=> p²−√13p+1 = 0
=> p+$\frac{1}{p}$ = √13

=> (p−$\frac{1}{p}$)² = 9
=> p−$\frac{1}{p}$ = ±3
p²+$\frac{1}{p²}$ = 11

p⁵−$\frac{1}{p⁵}$ = (p−$\frac{1}{p}$)⁵+5(p−$\frac{1}{p}$)³+5(p−$\frac{1}{p}$)
= ±243±135±15
= ±393

A = 0
=> y³+3y = b(3y²+1)
=> $\frac{(y³+3y)}{(3y²+1)}$ = b

যোজন-বিয়োজন করে পাই $\frac{(y+1)³}{(y−1)³}$ = $\frac{(b+1)}{(b−1)}$
ঘনমূল করে পুনরায় যোজন-বিয়োজন করলে y = $\frac{[∛(b+1)+∛(b−1)]}{[∛(b+1)−∛(b−1)]}$

মূল ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$×6×4 = 12 বর্গসেমি

নতুন ভূমি = 6×1.05 = 6.3 সেমি এবং নতুন উচ্চতা = 4×0.90 = 3.6 সেমি
নতুন ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}$×6.3×3.6 = 11.34 বর্গসেমি

শতকরা পরিবর্তন = [$\frac{(11.34−12)}{12}$]×100%
= −5.5%
অতএব ক্ষেত্রফল 5.5% হ্রাস পাবে

বিশেষ নির্বচন: কর্ণদ্বয় 7.5 সেমি ও 5 সেমি এবং একটি বাহু 5.5 সেমি এমন সামান্তরিক আঁকতে হবে
অঙ্কন: AB = 5.5 সেমি আঁকি, A কেন্দ্র করে 3.75 সেমি ও B কেন্দ্র করে 2.5 সেমি ব্যাসার্ধের চাপদ্বয় O-তে ছেদ করাই

AO-এর সমান OC এবং BO-এর সমান OD বিপরীত দিকে কাটি
AD, DC ও CB যোগ করি
কর্ণদ্বয় O-তে পরস্পরকে সমদ্বিখণ্ডিত করে বলে ABCD-ই নির্ণেয় সামান্তরিক

বিশেষ নির্বচন: 3 সেমি ব্যাসার্ধের বৃত্তে 55° অন্তর্ভুক্ত কোণবিশিষ্ট দুটি স্পর্শক আঁকতে হবে

O কেন্দ্রে 180°−55° = 125° কোণ নির্মাণ করে এর বাহুদ্বয় বৃত্তকে A ও B-তে ছেদ করাই
A ও B-তে যথাক্রমে OA ও OB-এর ওপর লম্ব রেখা আঁকি

লম্ব রেখাদ্বয় P-তে মিললে PA ও PB বৃত্তের স্পর্শক
∠APB = 180°−∠AOB = 55°
অতএব PA ও PB-ই নির্ণেয় স্পর্শক

বিশেষ নির্বচন: KMTS বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, প্রমাণ করতে হবে ∠STM+∠SKM = 180°
অঙ্কন: OM ও OS যোগ করি

প্রমাণ: চাপ SKM-এর ওপর কেন্দ্রস্থ ∠SOM = 2∠STM এবং অবশিষ্ট চাপ STM-এর ওপর প্রবৃদ্ধ ∠SOM = 2∠SKM
দুটি কেন্দ্রস্থ কোণের যোগ 360° বলে 2∠STM+2∠SKM = 360°
অতএব ∠STM+∠SKM = 180°

বিশেষ নির্বচন: বহিঃস্থ N থেকে MN ও SN সমান স্পর্শক এবং ON জ্যা MS-কে F-তে ছেদ করে, প্রমাণ করতে হবে MF = SF ও ON ⟂ MS
অঙ্কন: OM ও OS যোগ করি

△OMN ও △OSN-এ OM = OS, MN = SN এবং ON সাধারণ
তাই বাহু-বাহু-বাহু উপপাদ্যে △OMN ≅ △OSN
=> ∠MOF = ∠FOS

△OMF ও △OSF-এ OM = OS, OF সাধারণ এবং ∠MOF = ∠FOS
তাই বাহু-কোণ-বাহু উপপাদ্যে △OMF ≅ △OSF
=> MF = SF এবং ∠MFO = ∠SFO = 90°
অতএব ON হলো MS-এর লম্বদ্বিখণ্ডক

mn = (cotθ+cosθ)(cotθ−cosθ)
= cot²θ−cos²θ
= $\frac{\cos⁴θ}{\sin²θ}$

√mn sec²θ = ($\frac{\cos²θ}{\sinθ}$)×$\frac{1}{\cos²θ}$
= $\frac{1}{\sinθ}$
= cosecθ

চিত্রের সমকোণী △PQR-এ sinP = $\frac{√3}{2}$ এবং cosR = $\frac{√3}{2}$
তাই ∠P = 60° ও ∠R = 30°

=> 3α−2β = 60°
=> α+2β = 30°

সমীকরণ দুটি যোগ করে পাই 4α = 90°
=> α = 22.5° এবং β = 3.75°
অতএব α+β = 26.25°

চিত্র-১-এ সামান্তরিকের বাহুদ্বয় 10 মিটার ও 16 মিটার এবং কর্ণ AC = 12 মিটার

সামান্তরিকের সূত্রে AC²+BD² = 2(AB²+BC²)
=> 12²+BD² = 2(10²+16²)
=> BD² = 568
=> BD = √568
= 2√142 মিটার
≈ 23.83 মিটার

চিত্র-২-এ বৃত্তের ব্যাস = বর্গের কর্ণ = 54 মিটার
তাই বৃত্তের ব্যাসার্ধ = 27 মিটার

বর্গের ক্ষেত্রফল = কর্ণ$\frac{²}{2}$ = $\frac{54²}{2}$ = 1458 বর্গমিটার
অনধিকৃত ক্ষেত্রফল = π×27²−1458 ≈ 832.2264 বর্গমিটার

মোট খরচ = 832.2264×10 টাকা
≈ 8322.26 টাকা

অনুমিত গড় a = 45.5, শ্রেণিব্যাপ্তি h = 10, Σf = 60 এবং Σfu = 4

গড় = a+($\frac{Σfu}{Σf}$)h
= 45.5+($\frac{4}{60}$)×10
≈ 46.17

শ্রেণিগুলোর প্রকৃত উচ্চসীমা 30.5, 40.5, 50.5, 60.5 ও 70.5

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা যথাক্রমে 8, 20, 35, 53 ও 60
প্রারম্ভিক বিন্দু হবে (20.5,0)

ছক কাগজে (20.5,0), (30.5,8), (40.5,20), (50.5,35), (60.5,53) ও (70.5,60) বিন্দুগুলো মসৃণ রেখায় যোগ করলে অজিভ পাওয়া যায়

শ্রেণি 35–39, 40–44, 45–49, 50–54, 55–59, 60–64 ও 65–69-এর গণসংখ্যা যথাক্রমে 2, 2, 5, 3, 5, 7 ও 6

N = 30, $\frac{N}{2}$ = 15 এবং মধ্যক শ্রেণি 55–59
এখানে L = 55, F = 12, f = 5 ও h = 5
মধ্যক = 55+(15−12)×$\frac{5}{5}$
= 58

শ্রেণিমধ্যমান 37, 42, 47, 52, 57, 62 ও 67 এবং গণসংখ্যা 2, 2, 5, 3, 5, 7 ও 6

বহুভুজ বন্ধ করার জন্য দুই পাশের কাল্পনিক শ্রেণিমধ্যমান 32 ও 72-এ গণসংখ্যা 0 ধরি

ছক কাগজে (32,0), (37,2), (42,2), (47,5), (52,3), (57,5), (62,7), (67,6) ও (72,0) বিন্দুগুলো সরলরেখায় যোগ করলে গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়