$=b²-(c-1)²$
$=(b-c+1)(b+c-1)$
$U=\{2,3,5,7\}$
$x²-3x+2=0$
=> $(x-1)(x-2)=0$
=> $x=1$ অথবা $x=2$
=> $A=\{1,2\}$
=> $A'=U-A=\{3,5,7\}$
অতএব, $P(A')$
$=\{∅,\{3\},\{5\},\{7\},$
$\{3,5\},\{3,7\},\{5,7\},\{3,5,7\}\}$
$f(a)=1$
=> $\frac{7a-1}{a²}=1$
=> $a²-7a+1=0$
=> $a+\frac{1}{a}=7$
উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
$a²+2+\frac{1}{a²}=49$
=> $a²+\frac{1}{a²}=47$
আবার বর্গ করে,
$a⁴+2+\frac{1}{a⁴}=47²$
=> $a⁴+\frac{1}{a⁴}=2207$
=> $a⁴=2207-\frac{1}{a⁴}$
(i) $m^2 - \frac{2m}{x} + 1 = 0$.
(ii) $\frac{y+11a}{y-11a} + \frac{y+11b}{y-11b} = 2$.
=> $96x=88y$
=> $12x=11y$
=> $x:y=11:12$
অতএব, $\frac{x+y}{x-y}$
$=\frac{11+12}{11-12}$
$=-23$
$m²-\frac{2m}{x}+1=0$
=> $m²+1=\frac{2m}{x}$
=> $x=\frac{2m}{m²+1}$
ধরি, $R=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
হর-মুক্ত করে, $R=\frac{1+\sqrt{1-x²}}{x}$
এখানে, $\sqrt{1-x²}=\frac{m²-1}{m²+1}$ বসালে,
$R=\frac{1+\frac{m²-1}{m²+1}}{\frac{2m}{m²+1}}$
$=m$
অতএব, $m=\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}}{\sqrt{1+x}-\sqrt{1-x}}$
প্রদত্ত সমীকরণের বাম পক্ষকে এক হরে এনে পাই,
$\frac{(y+11a)(y-11b)+(y+11b)(y-11a)}{(y-11a)(y-11b)}=2$
=> $2y²-242ab=2(y-11a)(y-11b)$
=> $2y²-242ab=2y²-22(a+b)y+242ab$
=> $22(a+b)y=484ab$
যেহেতু $a+b≠0$,
=> $y=\frac{484ab}{22(a+b)}$
$=\frac{22ab}{a+b}$
বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে ∠QPS বৃত্তস্থ কোণ এবং ∠QOS একই চাপ QS-এর ওপর কেন্দ্রস্থ কোণ প্রমাণ করতে হবে, ∠QPS=$\frac{1}{2}$∠QOS
অঙ্কন: OP, OQ ও OS যোগ করি এবং PO-কে O-এর দিকে বাড়িয়ে বৃত্তকে T বিন্দুতে ছেদ করাই
প্রমাণ: OP=OQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
অতএব, △POQ সমদ্বিবাহু
∠OPQ=∠OQP
△POQ-এর বহিঃস্থ কোণ,
∠QOT=∠OPQ+∠OQP
=2∠OPQ
আবার, OP=OS
একইভাবে, ∠TOS=2∠OPS
এখন, ∠QOS=∠QOT+∠TOS
=2∠OPQ+2∠OPS
=2(∠OPQ+∠OPS)
=2∠QPS
অতএব, ∠QPS=$\frac{1}{2}$∠QOS (প্রমাণিত)
বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট বৃত্তে R বহিঃস্থ বিন্দু থেকে RP ও RQ স্পর্শক প্রমাণ করতে হবে, OR রেখা PQ জ্যার লম্ব সমদ্বিখণ্ডক
অঙ্কন: OP, OQ ও OR যোগ করি OR ও PQ-এর ছেদবিন্দু M ধরি
প্রমাণ: OP=OQ (একই বৃত্তের ব্যাসার্ধ)
RP=RQ (একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শক)
OR=OR (সাধারণ বাহু)
অতএব, △OPR≅△OQR (বাহু-বাহু-বাহু)
=> ∠POR=∠ROQ
M বিন্দু OR-এর ওপর অবস্থিত
=> ∠POM=∠MOQ
এখন, △OPM ও △OQM-এ,
OP=OQ, OM সাধারণ বাহু
এবং ∠POM=∠MOQ
অতএব, △OPM≅△OQM (বাহু-কোণ-বাহু)
=> PM=MQ
এবং ∠PMO=∠OMQ
কোণ দুটি সন্নিহিত সরলকোণ
=> ∠PMO=∠OMQ=90°
অতএব, OR⊥PQ এবং PM=MQ
সুতরাং, OR রেখা PQ জ্যার লম্ব সমদ্বিখণ্ডক (প্রমাণিত)
O-তে 90° ও 120° রশ্মি নির্মাণ করি;
মধ্যবর্তী 30° কোণটি সমদ্বিখণ্ডিত করি;
তাহলে, ∠EOA=105°
DE=11 সে.মি. আঁকি
D-তে 37.5° কোণ আঁকি
E-তে 30° কোণ আঁকি
রশ্মি দুটির ছেদবিন্দু A নিই
AD-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক DE-কে B-তে ছেদ করে
AE-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক DE-কে C-তে ছেদ করে
তখন ∠ABC=75°, ∠ACB=60° এবং AB+BC+CA=DE=11 সে.মি.
অতএব, ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ
ত্রিভুজটির পরিসীমা = 11 সে.মি.
তাই, বর্গের এক বাহু = 11÷4 = 2.75 সে.মি.
11 সে.মি. রেখাংশকে দুইবার সমদ্বিখণ্ডিত করে AB=2.75 সে.মি. নিই
A ও B-তে AB-এর ওপর লম্ব আঁকি
লম্ব দুটিতে AD=BC=AB কাটি
C ও D যোগ করি
তাহলে, ABCD-ই সমান পরিসীমাবিশিষ্ট নির্ণেয় বর্গক্ষেত্র
=> $\cot A=\sqrt{3}$
=> $\cot A=\cot30°$
=> $A=30°$
$a=x+\frac{1}{z}$
$=\cscθ+\cotθ$
আবার, $(\cscθ+\cotθ)(\cscθ-\cotθ)=1$
=> $\cscθ-\cotθ=\frac{1}{a}$
সমীকরণ দুটি যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\cscθ=\frac{a²+1}{2a}$
এবং $\cotθ=\frac{a²-1}{2a}$
অতএব, $\cosθ=\frac{\cotθ}{\cscθ}$
$=\frac{a²-1}{a²+1}$
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=\sqrt{2}$
আবার, $\frac{1}{x}=\sinθ$ এবং $\frac{1}{y}=\cosθ$
=> $\sinθ+\cosθ=\sqrt{2}$
উভয় পক্ষ বর্গ করে,
=> $1+2\sinθ\cosθ=2$
=> $\sin2θ=1$
θ সূক্ষ্মকোণ হওয়ায়,
=> $2θ=90°$
=> $θ=45°$
(ii) একটি আয়তাকার ঘনবস্তুর দৈর্ঘ্য, প্রস্থ ও উচ্চতার অনুপাত যথাক্রমে $5:3:2$
$=4π$ সে.মি.
বাহুর বৃদ্ধির পরিমাণ = x সে.মি.
নতুন বাহু = $(8+x)$ সে.মি.
প্রশ্নমতে, $\frac{\sqrt{3}}{4}[(8+x)²-8²]=20\sqrt{3}$
=> $(8+x)²-64=80$
=> $(8+x)²=144$
=> $8+x=12$
=> $x=4$ সে.মি.
দৈর্ঘ্য = 5x সে.মি.
প্রস্থ = 3x সে.মি.
উচ্চতা = 2x সে.মি.
কর্ণের সূত্রে, $38x²=(2\sqrt{19})²$
=> $38x²=76$
=> $x²=2$
সমগ্র পৃষ্ঠের ক্ষেত্রফল $=2(15x²+6x²+10x²)$
$=62x²$
$=124$ বর্গ সে.মি.
নিচের গণসংখ্যা নিবেশন সারণিটি লক্ষ করো :
| শ্রেণিব্যাপ্তি | গণসংখ্যা |
|---|---|
| 41-50 | 5 |
| 51-60 | 11 |
| 61-70 | 12 |
| 71-80 | 10 |
| 81-90 | 8 |
| 91-100 | 4 |
= 2×34.5−31
= 38
মোট গণসংখ্যা, N=50
=> N÷2=25
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 5, 16, 28, 38, 46, 50
অতএব, মধ্যক শ্রেণি 61–70
এখানে L=60.5, F=16, f=12 ও h=10
মধ্যক $=L+\frac{\frac{N}{2}-F}{f}×h$
$=60.5+\frac{25-16}{12}×10$
$=68$
শ্রেণিমধ্যমান: 45.5, 55.5, 65.5, 75.5, 85.5, 95.5
সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা: 5, 11, 12, 10, 8, 4
বহুভুজ বন্ধ করতে উভয় পাশে শূন্য গণসংখ্যা নিই
অতিরিক্ত শ্রেণিমধ্যমান: 35.5 ও 105.5
বিন্দুগুলো যথাযথ স্কেলে বসাই
ধারাবাহিক সরলরেখায় যুক্ত করলে গণসংখ্যা বহুভুজটি পাওয়া যায়
দশম শ্রেণির 40 জন শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে প্রাপ্ত নম্বরের গণসংখ্যা নিবেশন সারণি নিচে দেওয়া হলো :
| শ্রেণিব্যাপ্তি | গণসংখ্যা |
|---|---|
| 33-42 | 3 |
| 43-52 | 7 |
| 53-62 | 9 |
| 63-72 | 10 |
| 73-82 | 6 |
| 83-92 | 5 |
শ্রেণিমধ্যমান: 37.5, 47.5, 57.5, 67.5, 77.5, 87.5
A=67.5 এবং h=10 নিলে, u-এর মান: −3, −2, −1, 0, 1, 2
fu-এর মান: −9, −14, −9, 0, 6, 10
=> Σfu=−16 এবং Σf=40
গড় $=A+\frac{Σfu}{Σf}×h$
$=67.5+\frac{-16}{40}×10$
$=63.5$
ঊর্ধ্বসীমা: 32.5, 42.5, 52.5, 62.5, 72.5, 82.5, 92.5
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 0, 3, 10, 19, 29, 35, 40
বিন্দুগুলো যথাযথ স্কেলে বসাই
মসৃণ রেখায় যুক্ত করলে অপেক্ষক অজিভ রেখা পাওয়া যায়
দেওয়া আছে, $\frac{1}{a}=2+\sqrt{5}$
=> $a=\frac{1}{2+\sqrt{5}}$
$=\frac{2-\sqrt{5}}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})}$
$=\frac{2-\sqrt{5}}{4-5}$
$=\sqrt{5}-2$
$m²+n²=4mn$
উভয় পক্ষকে mn দ্বারা ভাগ করে পাই,
=> $\frac{m}{n}+\frac{n}{m}=4$
উভয় পক্ষ বর্গ করে,
=> $\frac{m²}{n²}+2+\frac{n²}{m²}=16$
=> $\frac{m²}{n²}+\frac{n²}{m²}=14$
$\tan(90°-A)=\sqrt{3}$
=> $\cot A=\sqrt{3}$
=> $\cot A=\cot 30°$
=> $A=30°$
দেওয়া আছে, $\cos⁴A+\cos²A=1$
=> $1-\cos²A=\cos⁴A$
=> $\sin²A=\cos⁴A$
এখন, $\cot²A=\frac{\cos²A}{\sin²A}$
$=\frac{1}{\cos²A}$
অতএব, $\cot⁴A-\cot²A$
$=\frac{1}{\cos⁴A}-\frac{1}{\cos²A}$
$=\frac{1-\cos²A}{\cos⁴A}$
$=\frac{\cos⁴A}{\cos⁴A}$
$=1$
মূলধন, P = 500 টাকা
বার্ষিক মুনাফার হার, r = 10%
সময়, n = 5 বছর
সরল মুনাফা, I = $\frac{Pnr}{100}$
$=\frac{500×5×10}{100}$ টাকা
$=250$ টাকা
$f(x)=3x²-5x+2$
অতএব, $f(-\frac{1}{3})$
$=3(-\frac{1}{3})²-5(-\frac{1}{3})+2$
$=\frac{1}{3}+\frac{5}{3}+2$
$=2+2$
$=4$
অতএব, $f(-\frac{1}{3})=4$ প্রমাণিত
$A∩B=\{5,7\}$
=> $P(A∩B)=\{∅,\{5\},\{7\},\{5,7\}\}$
বৃত্তের ব্যাসার্ধ, r = 26÷2 = 13 সে.মি.
কেন্দ্র থেকে জ্যার দূরত্ব, d = 5 সে.মি.
অর্ধ-জ্যার দৈর্ঘ্য = $\sqrt{r²-d²}$
$=\sqrt{13²-5²}$ সে.মি.
$=\sqrt{144}$ সে.মি.
$=12$ সে.মি.
=> জ্যার দৈর্ঘ্য = 2×12 = 24 সে.মি.
AB = 4.5 সে.মি. রেখাংশ আঁকি
A কেন্দ্র করে 4.5 সে.মি. ব্যাসার্ধে একটি বৃত্তচাপ আঁকি
B কেন্দ্র করে একই ব্যাসার্ধে আরেকটি বৃত্তচাপ আঁকি
বৃত্তচাপ দুটি C বিন্দুতে ছেদ করে
AC ও BC যোগ করি
তাহলে AB = BC = CA = 4.5 সে.মি.; অতএব, ABC-ই নির্ণেয় সমবাহু ত্রিভুজ
কেন্দ্রীয় কোণ ∠QOS = 100°
=> ক্ষুদ্র চাপ QS = 100°
=> ∠QRS-এর বিপরীত বৃহৎ চাপ QS
= 360°−100°
= 260°
বৃত্তস্থ কোণ সংশ্লিষ্ট চাপের অর্ধেক
=> ∠QRS = 260°÷2
= 130°
পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুসারে,
আয়তক্ষেত্রের প্রস্থ = $\sqrt{10²-4²}$ সে.মি.
$=\sqrt{84}$ সে.মি.
$=2\sqrt{21}$ সে.মি.
পরিসীমা = $2(দৈর্ঘ্য+প্রস্থ)$
$=2(4+2\sqrt{21})$ সে.মি.
$=8+4\sqrt{21}$ সে.মি.
ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{1}{2}ab\sin C$
$=\frac{1}{2}×18×26×\sin45°$ বর্গ সে.মি.
$=234×\frac{1}{\sqrt{2}}$ বর্গ সে.মি.
$=117\sqrt{2}$ বর্গ সে.মি.
সংখ্যা দুটি 5x ও 6x ধরি
5 ও 6 পরস্পর সহমৌলিক
তাই, সংখ্যা দুটির ল.সা.গু. = 30x
প্রশ্নমতে, 30x = 150
=> x = 5
অতএব, সংখ্যা দুটি = 5×5 ও 6×5
= 25 ও 30
মোট সংখ্যা = 8টি
সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 8×16.5
= 132
আবার, পরিচিত সংখ্যাগুলোর সমষ্টি = 146
প্রশ্নমতে, x+146 = 132
=> x = −14
ক্রমবিন্যস্ত উপাত্ত: −14, 11, 13, 19, 21, 26, 27, 29
মধ্যক = $\frac{19+21}{2}$
= 20
সমবাহু ত্রিভুজের বাহু a একক ধরি
তাহলে, বর্গের বাহু = 2a একক
বর্গের ক্ষেত্রফল = 4a² বর্গ একক
সমবাহু ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল = $\frac{\sqrt{3}}{4}a²$ বর্গ একক
ক্ষেত্রফলের অনুপাত = $4a²: \frac{\sqrt{3}}{4}a²$
= $16:\sqrt{3}$