$2x-y=2$
=> $y=2x-2$
$M=\{3,4,5,6,8\}$ থেকে $x=3,4,5$ নিলে যথাক্রমে $y=4,6,8$, যা M-এর অন্তর্ভুক্ত

অতএব $R=\{(3,4),(4,6),(5,8)\}$
রেঞ্জ $R=\{4,6,8\}$

$P=√10+√7$
$\frac{3}{P}=√10-√7$
=> $P+\frac{3}{P}=2√10$

$\frac{P⁶+27}{P³}$
$=P³+\frac{27}{P³}$
$=(P+\frac{3}{P})³-3×P×\frac{3}{P}(P+\frac{3}{P})$

$=(2√10)³-9×2√10$
$=80√10-18√10$
$=62√10$

পরিবর্তিত দৈর্ঘ্য $=0.95a$
পরিবর্তিত প্রস্থ $=1.02b$

পরিবর্তিত ক্ষেত্রফল $=0.95a×1.02b=0.969ab$
হ্রাস $=(1-0.969)×100\%=3.1\%$

কর্ণের উপর অঙ্কিত বর্গের ক্ষেত্রফল $=a²+b²$
শর্তানুসারে $ab=\frac{a²+b²}{m}$
=> $m=\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

ধরি, $x=\frac{a}{b}$, যেখানে $a>b$
$x+\frac{1}{x}=m$
=> $x²-mx+1=0$
=> $x=\frac{m+√(m²-4)}{2}$

অনুপাতের ধর্মানুসারে, $a:b=x:1$
$\frac{√(m+2)+√(m-2)}{√(m+2)-√(m-2)}$
$=\frac{[√(m+2)+√(m-2)]²}{4}$
$=\frac{m+√(m²-4)}{2}=x$
অতএব $a:b=(√(m+2)+√(m-2)):(√(m+2)-√(m-2))$

ভূমি $BC=5.5$ সে.মি., ভূমিসংলগ্ন কোণ 30° এবং $AB-AC=2.5$ সে.মি. বিশিষ্ট ত্রিভুজ আঁকতে হবে

অঙ্কন: $BC=5.5$ সে.মি. আঁকি
B বিন্দুতে $\angle CBX=30°$ নির্মাণ করি
BX রশ্মিতে $BD=2.5$ সে.মি. কাটি
D ও C যোগ করে DC-এর লম্ব সমদ্বিখণ্ডক আঁকি, যা BX-কে A-তে ছেদ করে
A ও C যোগ করি
$AD=AC$ হওয়ায় $AB-AC=AB-AD=BD=2.5$ সে.মি.
অতএব $△ABC$-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ

$a=5.5$ সে.মি. বাহুবিশিষ্ট সমবাহু ত্রিভুজের অন্তঃকেন্দ্র নির্ণয় করে অন্তর্বৃত্ত আঁকতে হবে

$BC=5.5$ সে.মি. আঁকি
B ও C বিন্দুতে 60° কোণ নির্মাণ করি
রশ্মিদ্বয় A-তে ছেদ করলে $△ABC$ সমবাহু ত্রিভুজ হয়

$\angle ABC$ ও $\angle ACB$ সমদ্বিখণ্ডন করি, সমদ্বিখণ্ডকদ্বয় I-তে ছেদ করে
I থেকে BC-এর উপর $ID⊥BC$ আঁকি
I কেন্দ্র ও ID ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকি
এই বৃত্তই $△ABC$-এর নির্ণেয় অন্তর্বৃত্ত

একই বহিঃস্থ বিন্দু A থেকে অঙ্কিত AM ও AN স্পর্শকদ্বয়ের দৈর্ঘ্য সমান, অর্থাৎ $AM=AN$ প্রমাণ করতে হবে
অঙ্কন: O ও A, O ও M এবং O ও N যোগ করি

প্রমাণ: $OM⊥AM$ এবং $ON⊥AN$
$OM=ON$ বৃত্তের ব্যাসার্ধ
OA উভয় ত্রিভুজের সাধারণ অতিভুজ
অতিভুজ-বাহু উপপাদ্যে $△OMA≅△ONA$
=> $AM=AN$

$\angle MON$ একই MN চাপের উপর দণ্ডায়মান কেন্দ্রস্থ কোণ এবং $\angle MLN$ একই চাপের উপর দণ্ডায়মান বৃত্তস্থ কোণ, তাই প্রথমটি দ্বিতীয়টির দ্বিগুণ

বিশেষ নির্বচন: O কেন্দ্রবিশিষ্ট LMN বৃত্তে প্রমাণ করতে হবে $\angle MON=2\angle MLN$
অঙ্কন: OM, ON, LM ও LN যোগ করি

প্রমাণ: $\angle MON=$ MN চাপের পরিমাণ
$\angle MLN=$ $\frac{1}{2}$ × MN চাপের পরিমাণ
=> $\angle MON=2\angle MLN$

$a²-b²=\cot²A-\cos²A$
$=\frac{\cos²A}{\sin²A}-\cos²A$
$=\frac{\cos⁴A}{\sin²A}$

A সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় $√(a²-b²)=\frac{\cos²A}{\sin A}$
আবার $ab=\cot A\cos A=\frac{\cos²A}{\sin A}$
অতএব $√(a²-b²)=ab$

$ab=\cot A\cos A=\frac{\cos²A}{\sin A}=\frac{1}{√2}$

ধরি, $x=\sin A$
$1-x²=\frac{x}{√2}$
=> $√2x²+x-√2=0$
$=(√2x-1)(x+√2)$

A সূক্ষ্মকোণ হওয়ায় $x>0$
=> $x=\frac{1}{√2}$
=> $\sin A=\sin45°$
=> $A=45°$

বৃত্তকলার ক্ষেত্রফল $=\frac{θ}{360°}×π×4²=\frac{8π}{3}$
=> $θ=60°$

BFD চাপের দৈর্ঘ্য $=\frac{60°}{360°}×2π×4=\frac{4π}{3}$ সে.মি.

$△BEC$-এ $BE=CE$ এবং $\angle E=90°$
$BE²+CE²=BC²$
=> $2BE²=16$
=> $BE=CE=2√2$ সে.মি.
$△BEC$-এর ক্ষেত্রফল $=\frac{1}{2}×2√2×2√2=4$ বর্গ সে.মি.

ABCD রম্বসের ক্ষেত্রফল $=AB×AD×\sin60°$
$=4×4×\frac{√3}{2}=8√3$ বর্গ সে.মি.
BFDC অংশের ক্ষেত্রফল $=8√3-\frac{8π}{3}$ বর্গ সে.মি.

গাঢ় অংশের ক্ষেত্রফল $=4+8√3-\frac{8π}{3}$ বর্গ সে.মি.
$≈9.48$ বর্গ সে.মি.

আনুমানিক গড় $A=53$ ও শ্রেণিব্যাপ্তি $h=5$ নিই
শ্রেণিমধ্যমান x: 43, 48, 53, 58, 63, 68
গণসংখ্যা f: 7, 11, 18, 12, 8, 4
ধাপ-বিচ্যুতি u: −2, −1, 0, 1, 2, 3
fu: −14, −11, 0, 12, 16, 12

$Σf=60$ এবং $Σfu=15$
গড় $=A+h\frac{Σfu}{Σf}$
$=53+5×\frac{15}{60}$
$=54.25$

প্রকৃত উচ্চসীমা: 40.5, 45.5, 50.5, 55.5, 60.5, 65.5, 70.5
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা: 0, 7, 18, 36, 48, 56, 60

$x$-অক্ষে প্রকৃত উচ্চসীমা ও $y$-অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে সংশ্লিষ্ট সাতটি বিন্দু বসাই

বিন্দুগুলো ক্রমানুসারে মসৃণ রেখায় যুক্ত করলে সংযুক্ত চিত্রের কম-সূচক অজিভ রেখাটি পাওয়া যায়

প্রচুরক শ্রেণি 52–57, যেখানে $L=51.5$, $f₁=15$, $f₀=10$, $f₂=9$ এবং $h=6$

প্রচুরক $=L+\frac{f₁-f₀}{2f₁-f₀-f₂}×h$
$=51.5+\frac{15-10}{30-10-9}×6$
$≈54.23$ কেজি

শ্রেণিমধ্যমান: 42.5, 48.5, 54.5, 60.5, 66.5, 72.5
গণসংখ্যা: 7, 10, 15, 9, 6, 3

$x$-অক্ষে শ্রেণিমধ্যমান ও $y$-অক্ষে গণসংখ্যা নিয়ে বিন্দুগুলো বসাই, দুই প্রান্তে শূন্য গণসংখ্যার $(36.5,0)$ ও $(78.5,0)$ বিন্দু নিই

সব বিন্দুকে ক্রমানুসারে সরলরেখাংশে যুক্ত করলে সংযুক্ত চিত্রের গণসংখ্যা বহুভুজটি পাওয়া যায়