উত্তর P ∩ Q = ∅
অতএব, (P ∩ Q)′ = U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

উত্তর

z² − 6z − 1 = 0
z দিয়ে ভাগ করে পাই,
z − $\frac{1}{z}$ = 6
উভয় পক্ষ বর্গ করে পাই,
z² + $\frac{1}{z²}$ = 38

অতএব, z⁴ + $\frac{1}{z⁴}$
= (z² + $\frac{1}{z²}$)² − 2
= 38² − 2
= 1442

উত্তর

$\frac{1}{s}$ = √6 − √5
=> s = $\frac{1}{(√6 − √5)}$
= √6 + √5

=> s − $\frac{1}{s}$ = 2√5

s³ − $\frac{1}{s³}$
= (s − $\frac{1}{s}$)³ + 3(s − $\frac{1}{s}$)
= (2√5)³ + 3 × 2√5
= 46√5

উত্তর সংখ্যা দুটি = 5 × 6 ও 7 × 6 = 30 ও 42
অতএব, লসাগু = 5 × 7 × 6 = 210

উত্তর

ধরি, u = ∛(a + 1) এবং v = ∛(a − 1)
তাহলে y = $\frac{(u + v)}{(u − v)}$
যোজন-বিয়োজন করে পাই,
$\frac{(y + 1)}{(y − 1)}$ = $\frac{u}{v}$

উভয় পক্ষ ঘন করে পাই,
$\frac{(y + 1)³}{(y − 1)³}$ = $\frac{(a + 1)}{(a − 1)}$
=> (a − 1)(y + 1)³ = (a + 1)(y − 1)³
=> a[6y² + 2] − [2y³ + 6y] = 0
=> y³ − 3ay² + 3y − a = 0

উত্তর

p, q, r, s ক্রমিক সমানুপাতিক বলে ধরি, $\frac{q}{p}$ = $\frac{r}{q}$ = $\frac{s}{r}$ = k
তাহলে q = pk, r = pk² এবং s = pk³

বামপক্ষ
= [p²(1 − k² + k⁴)][p²(k² − k⁴ + k⁶)]
= p⁴k²(1 − k² + k⁴)²

ডানপক্ষ
= [p²k − p²k³ + p²k⁵]²
= p⁴k²(1 − k² + k⁴)²
অতএব, বামপক্ষ = ডানপক্ষ

উত্তর $\frac{p}{4}$ = $\frac{12}{4}$ = 3 সেমি ব্যাসার্ধে বৃত্ত এঁকে কেন্দ্র O এবং বৃত্তের ওপর P বিন্দু নিই
OP যোগ করে P বিন্দুতে OP-এর ওপর লম্ব PT আঁকি
তাহলে PT-ই নির্ণেয় স্পর্শক

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: ভূমিসংলগ্ন কোণ 45° ও 55° এবং পরিসীমা 12 সেমি বিশিষ্ট ∆ABC আঁকতে হবে
অঙ্কন: XY = 12 সেমি আঁকি, X ও Y বিন্দুতে যথাক্রমে $\frac{45°}{2}$ এবং $\frac{55°}{2}$ কোণ এঁকে রশ্মিদ্বয়ের ছেদবিন্দু A নিই

XA ও YA-এর লম্বদ্বিখণ্ডক XY-কে যথাক্রমে B ও C বিন্দুতে ছেদ করে
AB ও AC যোগ করলে AB = BX এবং AC = CY
তাই AB + BC + AC = XY = 12 সেমি এবং ভিত্তিসংলগ্ন কোণদ্বয় 45° ও 55°
অতএব, ∆ABC-ই নির্ণেয় ত্রিভুজ

উত্তর

সমবাহু ত্রিভুজটির প্রতি বাহু = $\frac{p}{3}$ = $\frac{12}{3}$ = 4 সেমি
BC = 4 সেমি আঁকি এবং B ও C কেন্দ্র করে 4 সেমি ব্যাসার্ধে দুইটি চাপ এঁকে ছেদবিন্দু A নিই

AB ও AC যোগ করলে AB = BC = CA = 4 সেমি
তাই ∆ABC সমবাহু ত্রিভুজ

AB ও AC-এর লম্বদ্বিখণ্ডক এঁকে ছেদবিন্দু O নিই
O কেন্দ্র এবং OA ব্যাসার্ধে বৃত্ত আঁকলে তা A, B ও C দিয়ে যায়
এটিই নির্ণেয় পরিবৃত্ত

উত্তর কেন্দ্র O থেকে বৃত্তের যেকোনো জ্যা AB-এর প্রান্তদ্বয় যোগ করলে ত্রিভুজের ধর্মে AB ≤ OA + OB = ব্যাস, আর সমতা কেবল জ্যাটি O দিয়ে গেলে হয়, তাই ব্যাসই বৃহত্তম জ্যা

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: KLMN বৃত্তস্থ চতুর্ভুজ, প্রমাণ করতে হবে ∠LKN + ∠LMN = 180°
অঙ্কন: KL, LM, MN ও NK যোগ করে KLMN চতুর্ভুজ সম্পূর্ণ করি

প্রমাণ: একই বৃত্তের ওপর অঙ্কিত চতুর্ভুজের বিপরীত কোণদ্বয় পরস্পর সম্পূরক
∠LKN ও ∠LMN বিপরীত কোণ
অতএব, ∠LKN + ∠LMN = 180°

উত্তর

বিশেষ নির্বচন: A বহিঃস্থ বিন্দু থেকে AK ও AM বৃত্তের দুইটি স্পর্শক এবং O কেন্দ্র, প্রমাণ করতে হবে OA স্পর্শজ্যা KM-এর লম্বদ্বিখণ্ডক

অঙ্কন: OK, OM ও OA যোগ করি এবং OA ও KM-এর ছেদবিন্দু B নিই

প্রমাণ: AK = AM, কারণ একই বহিঃস্থ বিন্দু থেকে অঙ্কিত স্পর্শকদ্বয় সমান এবং OK = OM, কারণ উভয়টি ব্যাসার্ধ
তাই A ও O উভয় বিন্দু K ও M থেকে সমদূরবর্তী
দুই বিন্দু থেকে সমদূরবর্তী বিন্দুগুলোর সঞ্চারপথ তাদের সংযোজক রেখাংশের লম্বদ্বিখণ্ডক
অতএব, OA হলো KM-এর লম্বদ্বিখণ্ডক

উত্তর $\frac{1}{(1 + cosR)}$ + $\frac{1}{(1 − cosR)}$ = $\frac{2}{(1 − \cos²R)}$ = $\frac{2}{\sin²R}$ = 2cosec²R

উত্তর

p = $\frac{2}{(3 − \sin²θ)}$ + $\frac{1}{(3 + 2tan²θ)}$
দ্বিতীয় ভগ্নাংশ
= $\frac{1}{[3 + \frac{2sin²θ}{\cos²θ}]}$
= $\frac{\cos²θ}{(3cos²θ + 2sin²θ)}$
= $\frac{(1 − \sin²θ)}{(3 − \sin²θ)}$

অতএব, p
= $\frac{2}{(3 − \sin²θ)}$ + $\frac{(1 − \sin²θ)}{(3 − \sin²θ)}$
= 1

উত্তর

q = 0
=> 2sin²A − 3sinA + 1 = 0

=> (2sinA − 1)(sinA − 1) = 0
=> sinA = $\frac{1}{2}$ অথবা sinA = 1

A সূক্ষ্মকোণ বলে sinA ≠ 1
তাই sinA = $\frac{1}{2}$ = sin30°
অতএব, A = 30°

উত্তর ঘনকের এক বাহু a সেমি হলে, 6a² = 38400
=> a = 80 সেমি
অতএব, আয়তন = a³ = 80³ = 512000 ঘন সেমি

উত্তর

পথের দৈর্ঘ্য = 1056 মিটার = 105600 সেমি
সামনের চাকার পরিধি = 2π × 42 = 264 সেমি
পিছনের চাকার পরিধি = 2π × 56 = 352 সেমি

সামনের চাকার ঘূর্ণনসংখ্যা = $\frac{105600}{264}$ = 400
পিছনের চাকার ঘূর্ণনসংখ্যা = $\frac{105600}{352}$ = 300
অতএব, সামনের চাকা 400 − 300 = 100 বার বেশি ঘুরবে

উত্তর

সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ r সেমি ও উচ্চতা h সেমি ধরি
2πrh = 460 এবং πr²h = 690

দ্বিতীয় সমীকরণকে প্রথম সমীকরণ দিয়ে ভাগ করে পাই,
$\frac{r}{2}$ = $\frac{690}{460}$
=> r = 3 সেমি

সমগ্রতলের ক্ষেত্রফল
= 2πrh + 2πr²
= 460 + 18π
π = 3.1416 বসিয়ে,
≈ 516.55 বর্গ সেমি

উত্তর N = 50 এবং $\frac{N}{2}$ = 25, তাই মধ্যক শ্রেণি 61–65 এবং এর মধ্যবিন্দু = $\frac{(61 + 65)}{2}$ = 63

উত্তর

প্রচুরক শ্রেণি 66–70
L = 65.5, f₁ = 14, f₀ = 12, f₂ = 7 এবং h = 5

প্রচুরক = L + [$\frac{(f₁ − f₀)}{(2f₁ − f₀ − f₂)}$]h
= 65.5 + [$\frac{(14 − 12)}{(28 − 12 − 7)}$] × 5
≈ 66.61 কেজি

উত্তর

শ্রেণিমধ্যমানগুলো 53, 58, 63, 68, 73 ও 78 এবং সংশ্লিষ্ট গণসংখ্যা 5, 8, 12, 14, 7 ও 4

অনুভূমিক অক্ষে শ্রেণিমধ্যমান এবং উল্লম্ব অক্ষে গণসংখ্যা নিয়ে (53, 5), (58, 8), (63, 12), (68, 14), (73, 7), (78, 4) বিন্দুগুলো বসাই

বহুভুজটি বন্ধ করতে (48, 0) ও (83, 0) বিন্দু যোগ করে ক্রমানুসারে সরলরেখা দিয়ে সংযুক্ত করলে নির্ণেয় গণসংখ্যা বহুভুজ পাওয়া যায়

উত্তর ঊর্ধ্বক্রমে সাজিয়ে পাই 19, 21, 22, 23, 25, 26, 29, 30
মধ্যক = $\frac{(23 + 25)}{2}$ = 24

উত্তর

ধরা গড় A = 75.5 এবং শ্রেণিব্যাপ্তি h = 10

মধ্যমান x	45.5	55.5	65.5	75.5	85.5	95.5
f	5	8	15	12	10	6
u = $\frac{(x − A)}{h}$	−3	−2	−1	0	1	2
fu	−15	−16	−15	0	10	12

Σf = 56 এবং Σfu = −24

গড় = A + h × $\frac{Σfu}{Σf}$
= 75.5 + 10 × $\frac{(−24)}{56}$
≈ 71.21

উত্তর

ক্রমযোজিত গণসংখ্যা সারণি

উচ্চ শ্রেণিসীমা	40.5	50.5	60.5	70.5	80.5	90.5	100.5
ক্রমযোজিত গণসংখ্যা	0	5	13	28	40	50	56

অনুভূমিক অক্ষে উচ্চ শ্রেণিসীমা এবং উল্লম্ব অক্ষে ক্রমযোজিত গণসংখ্যা নিয়ে (40.5, 0), (50.5, 5), (60.5, 13), (70.5, 28), (80.5, 40), (90.5, 50), (100.5, 56) বিন্দুগুলো বসাই

বিন্দুগুলো মসৃণ রেখায় যুক্ত করলে প্রদত্ত উপাত্তের less-than অজিভ রেখা পাওয়া যায়